84軌跡和軌跡方程（第1課時）

1、第八章第八章 圓錐曲線方程圓錐曲線方程第 講（第一課時）（第一課時）考點考點搜索搜索曲線的方程與方程的曲線的概念，曲線的方程與方程的曲線的概念，以及軌跡與軌跡方程的含義以及軌跡與軌跡方程的含義求軌跡方程的基本方法求軌跡方程的基本方法高考高考猜想猜想1.以直線與圓錐曲線為背景，求動以直線與圓錐曲線為背景，求動點的軌跡方程點的軌跡方程(或軌跡圖形或軌跡圖形).2.利用軌跡思想解決變量的取值范利用軌跡思想解決變量的取值范圍與最值問題圍與最值問題.1. 對于曲線對于曲線C和方程和方程F(x,y)=0,如果曲線如果曲線C上的點的坐標都是上的點的坐標都是_,且且以方程以方程F(x，y)=0的解為坐標的點都

2、在的解為坐標的點都在_,則方程則方程F(x,y)0叫做叫做_,曲線曲線C叫做叫做_.2. 直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線是直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線是基本的軌跡圖形，其中：基本的軌跡圖形，其中： (1)在平面內(nèi)，到兩定點的距離相等在平面內(nèi)，到兩定點的距離相等的點的軌跡是的點的軌跡是_.方程方程F(x，y)=0的解的解曲線曲線C上上曲線曲線C的方程的方程方程方程F(x，y)=0的曲線的曲線連結(jié)兩定點的線段的中垂線連結(jié)兩定點的線段的中垂線(2)平面內(nèi)到角兩邊距離相等的點的軌跡是平面內(nèi)到角兩邊距離相等的點的軌跡是_. (3)平面內(nèi)到定直線的距離等于某一定值的平面內(nèi)到定直線的距離等于某一定值的點的

3、軌跡是點的軌跡是_. (4)平面內(nèi)到定點的距離與到定直線距離之平面內(nèi)到定點的距離與到定直線距離之比等于常數(shù)的點的軌跡是圓錐曲線比等于常數(shù)的點的軌跡是圓錐曲線.當常數(shù)大于當常數(shù)大于1時，表示時，表示_;當常數(shù)等于當常數(shù)等于1時，表示時，表示_;當常數(shù)大于當常數(shù)大于0而小于而小于1時時,表示表示_. (5)平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是跡是 _.角平分線角平分線與這條直線平行的兩條直線與這條直線平行的兩條直線雙曲線雙曲線拋物線拋物線橢圓橢圓圓圓3. 求動點的軌跡方程的基本方法有：求動點的軌跡方程的基本方法有： (1)如果動點運動的條件就是一些幾何量的如果動

4、點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表達成含等量關(guān)系，這些條件簡單明確，易于表達成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為 _. (2)運用解析幾何中一些常用定義運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐例如圓錐曲線的定義曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程，這種方法稱之為出軌跡方程，這種方法稱之為 _.直接法直接法定義法定義法 (3)動點所滿足的條件不易表達或求出，但動點所滿足的條件不易表達或求出，但形成軌

5、跡的動點形成軌跡的動點P(x，y)卻隨另一動點卻隨另一動點Q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定的軌跡為給定或容易求得，則可先將或容易求得，則可先將x，y表示為表示為x、y的式子，的式子，再代入再代入Q的軌跡方程，然后整理得的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，的軌跡方程，這種方法稱之為這種方法稱之為 _. (4)求軌跡方程有時很難直接找出動點的橫求軌跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù)參數(shù))，使，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參

6、數(shù)，得出動點的軌跡方程，這種式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程，這種方法稱之為方法稱之為 _.代入法代入法參數(shù)法參數(shù)法1.已知兩點已知兩點M(-2，0)，N(2，0)，點，點P為為坐標平面內(nèi)的動點，且滿足坐標平面內(nèi)的動點，且滿足 則動點則動點P的軌跡方程是的軌跡方程是( )A. y2=8x B. y2=-8xC. y2=4x D. y2=-4x 解解:設(shè)點設(shè)點P(x,y),則則 由已知可得由已知可得 化簡得化簡得y2=-8x，故選，故選B.B| |0,MNMPMN NP (2, ),( -2, ),(4,0).MPxy NPxy MN 224 (2)4( -2)0,xyx2.點點P(4，-2)

7、與圓與圓x2+y2=4上任一點連線的中上任一點連線的中點的軌跡方程是點的軌跡方程是( ) A. (x-2)2+(y+1)2=1 B. (x-2)2+(y+1)2=4 C. (x+4)2+(y-2)2=4 D. (x+2)2+(y-1)2=1 解解:設(shè)圓上任一點為設(shè)圓上任一點為Q(s,t),PQ的中點為的中點為A(x,y), 則則 解得解得 將其代入圓的方程將其代入圓的方程, 得得(2x-4)2+(2y+2)2=4，整理得，整理得(x-2)2+(y+1)2=1.A42,-22sxty2 -4,22sxty3.已知已知A(0，7)、B(0，-7)、C(12，2)，以，以C為一個焦點作過為一個焦點作

8、過A、B的橢圓，則橢圓的另的橢圓，則橢圓的另一個焦點一個焦點F的軌跡方程是的軌跡方程是( )解：解：由題意由題意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14，又又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|，所以所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.22222222. -1(-1) . -14848. -1 . -14848xxA yyB yxyC yD xA故點故點F的軌跡是以的軌跡是以A、B為焦點，為焦點，實軸長為實軸長為2的雙曲線的下支的雙曲線的下支.又又c=7，a=1，所以，所以b2=48，所以點所以點F的軌跡方程為的軌跡方程為 (y-1).22-148xy1.(2010北京卷改

9、編北京卷改編)在平面直角坐標在平面直角坐標系系xOy中，點中，點B與點與點A(-1,1)關(guān)于原點關(guān)于原點O對稱，對稱，P是動點，且直線是動點，且直線AP與與BP的斜率之積等于的斜率之積等于- ，求動點，求動點P的軌跡方程的軌跡方程 題型題型1 直接法求軌跡方程直接法求軌跡方程13 解解：因點：因點B與點與點A(-1,1)關(guān)于原點關(guān)于原點O對稱，對稱，得點得點B的坐標為的坐標為(1，-1)設(shè)點設(shè)點P的坐標為的坐標為(x，y)，則，則kAP= ，kBP=，由題意得由題意得 =- ，化簡得：化簡得： + =1(x 1)即 動 點即 動 點 P 的 軌 跡 方 程 為的 軌 跡 方 程 為 + =1(

10、x 1)11yx11yx11yx11yx1324x3 24y24x3 24y點評：點評：本題的軌跡方程是用直接法求本題的軌跡方程是用直接法求得動點所滿足的條件已給出，只要設(shè)出得動點所滿足的條件已給出，只要設(shè)出動點坐標，代入條件即可列出方程，然后動點坐標，代入條件即可列出方程，然后化簡即可化簡即可 如圖，圓如圖，圓O1和和圓圓O2的半徑都等于的半徑都等于1,O1O2=4，過動點過動點P分別作圓分別作圓O1、圓、圓O2的切線的切線PM、PN(M、N為切為切點點),使得使得PM= PN,試建立試建立適當?shù)淖鴺讼担髣狱c適當?shù)淖鴺讼?，求動點P的軌跡方程的軌跡方程.解：解：以線段以線段O1O2的中點的中

11、點O為原點，為原點，O1O2所在直線為所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，軸，建立平面直角坐標系，則點則點O1(-2，0)，O2(2，0)，設(shè)點，設(shè)點P(x，y).2由已知由已知|PM|2=2|PN|2，所以所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).又又(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1，化簡得化簡得x2+y2-12x+3=0.故點故點P的軌跡方程是的軌跡方程是x2+y2-12x+3=0.2. 已知圓已知圓A:(x+2)2+y2=1 與點與點A(-2，0)，B(2，0)，分，分 別求出滿足下列條件的動點別求出滿足下列條件的動點 P的軌跡方程的軌跡方程. (1)PAB的周長為的

12、周長為10； (2)圓圓P過點過點B(2，0)且與且與 圓圓A外切外切(P為動圓圓心為動圓圓心)； (3)圓圓P與圓與圓A外切且與直線外切且與直線x=1相切相切(P為動圓圓心為動圓圓心). 題型題型2 定義法求軌跡方程定義法求軌跡方程解：解：(1)根據(jù)題意，知根據(jù)題意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即即PA+|PB|=64=|AB|.故故P點的軌跡是橢圓，且點的軌跡是橢圓，且2a=6，2c=4，即即a=3，c=2，b=5.因此其方程為因此其方程為 (y0). (2)設(shè)圓設(shè)圓P的半徑為的半徑為r，則，則|PA|=r+1，|PB|=r，因此因此|PA|-|PB|=1.由雙曲線的定義知，由雙

13、曲線的定義知，P點的軌跡為雙曲線的右支，點的軌跡為雙曲線的右支，22195xy且且2a=1，2c=4，即，即因此其方程為因此其方程為 (3)依題意，知動點依題意，知動點P到定點到定點A的距離等的距離等于它到定直線于它到定直線x=2的距離，故其軌跡為拋物的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，線，且開口向左，p=4. 因此其方程為因此其方程為y2=-8x. 點評：點評：根據(jù)給定的條件轉(zhuǎn)換得出所求軌根據(jù)給定的條件轉(zhuǎn)換得出所求軌跡是符合某種定義的圓錐曲線，然后按此圓跡是符合某種定義的圓錐曲線，然后按此圓錐曲線的方程形式求得其對應(yīng)的系數(shù)即可得錐曲線的方程形式求得其對應(yīng)的系數(shù)即可得出所求軌跡方程，這就是定

14、義法求軌跡方程出所求軌跡方程，這就是定義法求軌跡方程. 115,2,.22acb22414-1().152xyx 設(shè)點設(shè)點P為直線為直線l: x=- 上一動點上一動點,F(- ,0)為為定點，連結(jié)定點，連結(jié)PF并延長到點并延長到點M， 使使|PM|=|PF|FM|,求點求點M的的 軌跡方程軌跡方程. 解：解：設(shè)直線設(shè)直線l交交x軸于軸于A點，點， 作作MBl，垂足為，垂足為B， 則則PAFPBM， 所以所以 因為因為|PM|=|PF|FM|，8 332 3|.|PFAFPMBM所以所以 即即所以點所以點M的軌跡是以點的軌跡是以點F為左焦點，為左焦點，l為左準線的橢圓位于直線為左準線的橢圓位于直

15、線x=- 右側(cè)的部分右側(cè)的部分.由由可得可得a=4，b=2，c= .因為因為|OF|= =c，所以，所以O(shè)為橢圓的中心為橢圓的中心.故點故點M的軌跡方程是的軌跡方程是1|,|AFFMBM|13.|2MFMBAF2 3222232 3,|,23cbAFabcac2 32 3221(-2 34).164xyx1. 直接法求軌跡方程的一般步驟是：直接法求軌跡方程的一般步驟是： (1)建系建系建立適當?shù)淖鴺讼到⑦m當?shù)淖鴺讼? (2)設(shè)點設(shè)點設(shè)軌跡上的任一點設(shè)軌跡上的任一點P(x，y). (3)列式列式列出動點列出動點P所滿足的關(guān)系式所滿足的關(guān)系式. (4)代換代換依條件式的特點，選用距離依條件式的特

16、點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，的方程式，并化簡并化簡. (5)證明證明證明所求方程即為符合條件證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程的動點軌跡方程.2. 求出的軌跡方程中若有的解不合軌跡條求出的軌跡方程中若有的解不合軌跡條件件,從而使軌跡圖形上有不合軌跡條件的點存在從而使軌跡圖形上有不合軌跡條件的點存在,則該方程及其曲線不滿足純粹性；求出的軌跡則該方程及其曲線不滿足純粹性；求出的軌跡方程所表示的曲線若不是所有適合條件的點的方程所表示的曲線若不是所有適合條件的點的集合，即曲線之外還有適合條件的點存在，則集合，即曲線之外還有適合條件的點存在，則該方程及曲