第五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)

1、 第九章 第五節(jié)一、一個方程所確定的隱函數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 本節(jié)討論 :1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02cyx當(dāng) c 0 時, 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時, 研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問題 . 在一元函數(shù)微分學(xué)中我們已經(jīng)提出了隱函在一元函數(shù)微分學(xué)中我們已經(jīng)提出了隱函0),( yxf求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法。求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法。然而有一問題沒有解決：在什么條件下該方程然而有一問題沒有解決：在什么條件下該方程)(xy

2、y 并且函數(shù)并且函數(shù) 是可導(dǎo)的？是可導(dǎo)的？)(xyy 數(shù)的概念，并且通過舉例的方法指出了不經(jīng)過數(shù)的概念，并且通過舉例的方法指出了不經(jīng)過顯化直接由方程顯化直接由方程可以唯一確定函數(shù)可以唯一確定函數(shù)問題的提出問題的提出0),( yxf所確定的所確定的 y 是是 x 的隱函數(shù) y = f (x) , 如何求 xdyd例如：例如：0 xexyy兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)01)(xdexdxdydy,01)(xdydexexdydyyyyexexdyd 11由方程一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)問題：問題：(1) 沒有統(tǒng)一的公式?jīng)]有統(tǒng)一的公式;(2) 沒有回答隱函數(shù)是

3、否一定存在沒有回答隱函數(shù)是否一定存在. 隱函數(shù)的微分法可以看成復(fù)合函數(shù)微分法的一個應(yīng)用.在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，求出方程f(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù). 現(xiàn)在從另一個角度，即根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法來導(dǎo)出隱函數(shù)的求導(dǎo)公式.一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)),(00yxp),(yxf;0),(00yxf則方程00),(xyxf在點(diǎn)連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxffxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足0),(0

4、0yxfy滿足條件導(dǎo)數(shù)三個條件、三個結(jié)論三個條件、三個結(jié)論定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：0)(,(xfxf兩邊對 x 求導(dǎo)0ddxyyfxfyxffxydd0yf,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxfxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則問題：問題：如何給出如何給出 的計(jì)算公式？的計(jì)算公式？22xdyd若f( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxfffff3222yxyyyxyxyxxffffffffyxff)(yxffy)(2yxyxyyyyxfffffff二階導(dǎo)數(shù) :)(yxffxxyxxydd則還有例例1. 驗(yàn)證方程01sinyxeyx在點(diǎn)(0,0)某

5、鄰域可確定一連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxfx,0)0 , 0(f, yefxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yf0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則xyfy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在一個可且并求0ddxxy0 xffyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx, 1sin),(yxeyyxfx, yefxxxyfy cos0 xy30dd22xxy)(,

6、01sinxyyyxeyxyycos兩邊對 x 求導(dǎo)1兩邊再對 x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)解解令令則則,arctanln),(22xyyxyxf ,),(22yxyxyxfx ,),(22yxxyyxfy yxffdxdy .xyyx xyyxarctan)ln(2122定理定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxp),(zyxfzyzxffyzffxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0),(zyxf在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

7、, ),(000yxfz 定一個連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足0),(000zyxf0),(000zyxfz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確0),(,(yxfyxf兩邊對 x 求偏導(dǎo)xfzxffxzzyffyz同理可得( , )( , , )0,zf x yf x y z設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)則zfxz00),(000zfzyx的某鄰域內(nèi)在例例3. 設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對 x 求導(dǎo)解

8、法解法2 利用公式設(shè)zzyxzyxf4),(222則,2xfxzxffxz兩邊對 x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zfz例例3. 設(shè),04222zzyx.22xz求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 由方程由方程 確定。確定。),(yxzz yezzx232 yzxz3求求 。例例4解解法一法一(利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則)設(shè)設(shè)02),(32zyezyxfzxzxexf322 2 yf1332 zxezf則有則有zfxfxzzxzxee3232312于是于是zfyfyzzxe32312從而有從而有yzxz3zxzxee32323123zxe3

9、23122法二法二(利用全微分公式利用全微分公式)2(32yddedzzxdyzxdezx2)32(32dydzdxezx2)32(32有有 dydxedzezxzx22)31 (3232yezzx232 dyedxeedzzxzxzx323232312312從而有從而有zxzxeexz3232312zxeyz32312于是于是yzxz32法三法三(利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)法利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)法)把把z看成看成x,y的函數(shù)，兩邊同時對的函數(shù)，兩邊同時對x,y求導(dǎo)，有求導(dǎo)，有yezzx232 )32(32xzexzzx 2)3(32 yzeyzzx從而有從而有zxzxeexz3232312 zxe

10、yz32312 yzxz 3于是于是zxzxee32323123 zxe32312 2zx xz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf法一法一思路思路：法二法二利用全微分形式不變性同時求出各偏導(dǎo)數(shù).令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz （1）解出）解出 d z 得得dzdxxyffyzffvuvu 1兩邊微分得兩邊微分得dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dyxyffzfxfvuvu 1xz

11、,1vuvuxyffyzff 所以所以yz ,1vuvuxyffxzff （2）解出）解出 d x 得得dxdyfzyffzxfvuvu dvfdufdzvu )(dzdydxfu )(xydzxzdyyzdxfv dzfyzfyfxfvuvu 1yx ,vuvufzyffzxf-所以所以zx ,1vuvufyzffxyf （3）解出）解出 d y 得得dydxfzxffzyfvuvu dzfzxfyfxfvuvu 1所以所以xy ,vuvufzxffzyf -zy ,1vuvufxzffxyf zx xz21fzyf211fyxf211fyxf21fzyfyx 21fzxf21fzyf法三：

12、利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則法三：利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則xyzvzyxuzvufzyxf,),().(設(shè)則有則有21yzfffx21xzfffy121xyfffz于是于是例例6 已知已知0cossin020022zyxyxxttdttdtttde確定確定 z = z ( x , y ) ，yzxz,求解：解：令令zyxyxxttdttdtttdezyxf0200cossin),(22xf2)(4xxxe )(sinxyxyxyx2)()(cosxzyxzyx42xexxyxsin2)(coszyxzyyf0)(sinyyxyxyx2)()(cosyzyxzyxyyxsin2)(coszyxzxzf00 2)

13、()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx xzzxff 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyff 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin2)(coszyxzyyyxsin2)(coszyxzx2)(coszyxyxxfyfzfzxffxz xz例例7. 設(shè)f( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxf.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxf yz212fyfxfz211fyfxfzyyzxxzzdddzf11 1f)(2zx 2f)(2zyzf12

14、確定的隱函數(shù),)dd(2121yfxffyfxz則)()(2221zyzxff 已知方程故對方程兩邊求微分: 1f)dd(d2121yfxffyfxzz)dd(2zzxxzzzfyfxd221 zyfxfdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxf)dd(2zzyyz)(dzx 2f0)(dzy 1f 2f0二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vuyxgvuyxf),(),(yxvvyxuu由 f、g 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuggffvugfj),(),(稱為f、g 的雅可比雅可比( jacobi )

15、行列式(函數(shù)行列式).以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 , 即問題：問題：如何求偏導(dǎo)數(shù)如何求偏導(dǎo)數(shù)?,yvxvyuxu 雅可比雅可比(1804 1851)德國數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”, 并應(yīng)用在微積分中. 他的工作還包括代數(shù)學(xué), 變分法, 復(fù)變函數(shù)和微分方程, 在分析力學(xué), 動力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有貢獻(xiàn) . 他在柯尼斯堡大學(xué)任教18年, 形成了以他為首的學(xué)派.222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca2

16、2111babay 二元線性代數(shù)方程組解的公式定理定理3.3.,0),(0000vuyxf的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)),(0000vuyxp),(, ),(vuyxgvuyxf則方程組0),(,0),(vuyxgvuyxf),(00yx在點(diǎn)的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(pvugfpj;0),(0000vuyxg導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu ),(000yxvv ),(),(1vxgfjxu),(),(1vygfjyu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv定理證明略

17、.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：vvvuvugfggff1vvvuvugfggff1uuvuvugfggff1uuvuvugfggff1xxgfyygfxxgfyygf0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxgyxvyxuyxf,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxgvuyxf有隱函數(shù)組則兩邊對 x 求導(dǎo)得,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組,0vuvuggffj在點(diǎn)p 的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0故得系數(shù)行列式同樣可得),(),(1vygfjyu),(),(1vxgfjxu),(),(1xugfjxv),(),(1yugfjyv說明：定理的敘

18、述及計(jì)算公式都比較麻煩，實(shí)際計(jì)算中一般不套公式，而用推導(dǎo)公式的方法。xuxvxuxvxfufvf0 xgugvg0例例1. 設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxjjxu122yxvxuyyu方程組兩邊對 x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxjxv122yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由題設(shè)故有 vueyvuexuucossin例2：設(shè) xd解：將方程兩邊取微分得求求.,yvxvyuxu )sin()(vudedu udeu )cossin(vdvuvdu ydudeu)sincos

19、(vdvuvdu 整理得整理得xdvdvuduveu cos)sin(ydvdvuduveu sin)cos( ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevdvuuu 解得解得 vueyvuexuucossin例3：設(shè)解：將方程兩邊取微分得求求.,yvxvyuxu ,)cos(sincossin1 vveydvxdvduu)cos(sin)(sin)(cos1 vveuydevxdevdvuuu ,)cos(sinsin1 vvevxuu,)cos(sincos1 vvevyuu,)cos(sin)(cos1 vve

20、uevxvuu)cos(sin)(sin1 vveuevyvuu例例4.4.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內(nèi). ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令0),(),(vuxxvuyxf0),(),(vuyyvuyxg對 x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn) (u, v) 對應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式兩邊對 x 求導(dǎo), 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy則有),(),(vugfj,0),(),(vuyx由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). , 0j注意vyvxj011xuxv,1vyj uyj 1011uyuxj從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導(dǎo), 可得,1vxjyuuxjyv1xuxv例例4的應(yīng)用的應(yīng)用: 計(jì)算極坐標(biāo)變換sin,cosryrx的反變換的導(dǎo)數(shù) .),(),(ryxjxrx同樣有22yxyyr22yxxy所以由于vyj 1uyj 1cos1rrsin1rcossinsi