求導數(shù)的一般方法與高階導數(shù)

1、高等數(shù)學高等數(shù)學主要內(nèi)容n一、基本初等函數(shù)的導數(shù)一、基本初等函數(shù)的導數(shù)n二、函數(shù)四則運算求導法則二、函數(shù)四則運算求導法則n三、復(fù)合函數(shù)求導法則三、復(fù)合函數(shù)求導法則n四、隱函數(shù)求導法則四、隱函數(shù)求導法則高等數(shù)學高等數(shù)學一、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)一、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù) )(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()(xxxxxxxc )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc lnxaaxeaxln/1x/121/1

2、x 21/1x )1/(12x )1/(12x 高等數(shù)學高等數(shù)學2(1) ( )( )( )( );(2) ( )( )( ) ( )( )( );( )( ) ( )( )( )(3)( ( )0).( )( )f xg xfxg xf xg xfx g xf x g xf xfx g xf x g xg xg xgx 二、函數(shù)的四則運算的求導法則二、函數(shù)的四則運算的求導法則定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)( ),( )f xg x在點在點x處可導，則它處可導，則它們的和、差、積、商（分母不為零）在點們的和、差、積、商（分母不為零）在點x處可處可導，并且導，并且高等數(shù)學高等數(shù)學證證(3)(3),0

3、)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 高等數(shù)學高等數(shù)學hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf高等數(shù)學高等數(shù)學推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfcxcf ; )()()()()()()()(

4、)()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf高等數(shù)學高等數(shù)學vuvu )(vuvuuv )(2)(vvuvuvu 推論推論uccu )(高等數(shù)學高等數(shù)學例例1 1.sin223的導數(shù)的導數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2 求函數(shù)求函數(shù)3coslgyxx.cos x 的導數(shù)的導數(shù).解解13( sin )lg3cosln10yxxxx 3cos3sinlgln10 xxxx 高等數(shù)學高等數(shù)學例例3 3.tan的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossi

5、ncos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得高等數(shù)學高等數(shù)學例例4 4.sec的導數(shù)的導數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得高等數(shù)學高等數(shù)學定理定理3).()(,)(,)()(,)(xgufdxdyxxgfyxguufyxxgu 且其導數(shù)為且其導數(shù)為可導可導在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導可導在點在點而而可導可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變等于因變量對

6、中間變量求導量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則) )三、復(fù)合函數(shù)的求導法則三、復(fù)合函數(shù)的求導法則高等數(shù)學高等數(shù)學推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導數(shù)為的導數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 高等數(shù)學高等數(shù)學例例6 6.sinln的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .3的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解,3xueyu dxdududydxdy .33223xexexu 例例5 5高等數(shù)學高等數(shù)學例例7 7

7、.)1(102的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解xu2109 xx2)1(1092 .)1(2092 xxdxdududydxdy 1,210 xuuy高等數(shù)學高等數(shù)學例例6 6.sinln的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解xxsincos xcot .3的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解.323xex 3xe xxee )()(3 x)sin(ln xxsin1 xx1)(ln )(sin x)(3 xe例例5 5高等數(shù)學高等數(shù)學例例7 7.)1(102的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解92)1(10 xdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx91010)(xx )1(2 x

8、熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導法則后，中間變量默記在心，熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導法則后，中間變量默記在心，由外及里、逐層求導。由外及里、逐層求導。 高等數(shù)學高等數(shù)學復(fù)合函數(shù)的求導法則可推廣到有限次復(fù)合的情形。復(fù)合函數(shù)的求導法則可推廣到有限次復(fù)合的情形。 如設(shè)如設(shè) 那么對于復(fù)合函那么對于復(fù)合函數(shù)數(shù) ，我們有如下求導法則：，我們有如下求導法則： ( ),( ),( ),yf u uv vx ( )yfx vxuxyyuv( )( )( )yf uvx 例例8求求 的導數(shù)的導數(shù)2tan2xy 解：解： 設(shè)設(shè) ,2uy 2,tanxvvu由由 得得 ( )( )( )yfuvx2sec2tan21sectan2)2

9、(sec2)()(tan)(2222xxvvxvuvvuy 即即高等數(shù)學高等數(shù)學例例9 9.arcsin22222的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy22122xax.22xa )0( a2222222222121xaaxaxxa 222xa x20 22a2)(1ax a1xx21)( 211)(arcsinxx 高等數(shù)學高等數(shù)學例例1010.)2(21ln32的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy11212 xy)2(3112 xxx例例1111.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解xey

10、1sin xe1sin .1cos11sin2xexx x2 )2(31 x)1(sin xx1cos )1( x xe1sin.1cosx 21x 高等數(shù)學高等數(shù)學四、隱函數(shù)的導數(shù)四、隱函數(shù)的導數(shù)1.1.定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: :用復(fù)合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導用復(fù)合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.高等數(shù)學高等數(shù)學例例121222

11、22xyab求求由由方方程程+=1+=1所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)y.y 解解 將方程兩邊分別關(guān)于將方程兩邊分別關(guān)于x求導，求導，22220 xyyab 得得22b xya y 高等數(shù)學高等數(shù)學例例2 2.,)23,23(,333線通過原點線通過原點在該點的法在該點的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點點上上求過求過的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線ccxyyxc 解解:,求導求導方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,

12、xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.高等數(shù)學高等數(shù)學例例1414.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 高等數(shù)學高等數(shù)學例例1515生物群體總數(shù)的生長規(guī)律為生物群體總數(shù)的生長規(guī)律為011rtlxxle ( )xx t 為生物群體在為生物群體在t t時刻的總數(shù)，時刻的總數(shù)，0lrx、 、均為常數(shù)，且均為常數(shù)，且0.l 試求生長率試求生長率( ).x t 高等數(shù)學

13、高等數(shù)學解解 原方程原方程整理得整理得0(1)0rtxlexxl 方程兩邊對方程兩邊對t求導求導0rtrtxrlexlex1rtrtrlexxle 02(1)(1)rtrtx rll ele 高等數(shù)學高等數(shù)學參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?t高等數(shù)學高等數(shù)學),()(1xttx 具有單調(diào)

14、連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx高等數(shù)學高等數(shù)學例例9 9解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax高等數(shù)學高等數(shù)學.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程

15、為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即高等數(shù)學高等數(shù)學例例1010.)2(21ln32的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1111.1sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 高等數(shù)學高等數(shù)學五、高階導數(shù)的定義五、高階導數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度

16、加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 高等數(shù)學高等數(shù)學記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導數(shù)階導數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以

17、上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)高階導數(shù).)(;)(,稱為一階導數(shù)稱為一階導數(shù)稱為零階導數(shù)稱為零階導數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf高等數(shù)學高等數(shù)學高階導數(shù)求法舉例高階導數(shù)求法舉例例例1212).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 高等數(shù)學高等數(shù)學例例1313.),()(nyrxy求求設(shè)設(shè) 解解1

18、xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 高等數(shù)學高等數(shù)學例例1414.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得高等數(shù)學高等數(shù)學( )( )xtyt )(22dxdydxddxyd ( )()( )dtdxdttdt )(1)()()()()(2tttttt

19、.)()()()()(322tttttdxyd 即即例例15 15 求函數(shù)求函數(shù)的二階導數(shù)的二階導數(shù).解解高等數(shù)學高等數(shù)學小結(jié)小結(jié)1.注意注意);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 2.復(fù)合函數(shù)的求導法則復(fù)合函數(shù)的求導法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈導法）導法）;高等數(shù)學高等數(shù)學3.已能求導的函數(shù)已能求導的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或或初等函數(shù)的求導公式和上述求導法則求出初等函數(shù)的求導公式和上述求導法則求出.關(guān)鍵關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.4.任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本高等數(shù)學高等數(shù)學練習練習.,00 xyxdx