求導(dǎo)數(shù)的一般方法與高階導(dǎo)數(shù)

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)主要內(nèi)容n一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)n二、函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則二、函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則n三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則n四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則四、隱函數(shù)求導(dǎo)法則高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)一、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )(csc)(sec)(cot)(tan)(cos)(sin)()(xxxxxxxc )cot()(arctan)(arccos)(arcsin)(ln)(log)()(xarcxxxxxeaaxx01 xxcosxsin x2secx2csc xx tansec xx cotcsc lnxaaxeaxln/1x/121/1

2、x 21/1x )1/(12x )1/(12x 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)2(1) ( )( )( )( );(2) ( )( )( ) ( )( )( );( )( ) ( )( )( )(3)( ( )0).( )( )f xg xfxg xf xg xfx g xf x g xf xfx g xf x g xg xg xgx 二、函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則二、函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)( ),( )f xg x在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則它處可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)x處可處可導(dǎo)，并且導(dǎo)，并且高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)證證(3)(3),0

3、)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfcxcf ; )()()()()()()()(

4、)()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)vuvu )(vuvuuv )(2)(vvuvuvu 推論推論uccu )(高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1 1.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2 求函數(shù)求函數(shù)3coslgyxx.cos x 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解13( sin )lg3cosln10yxxxx 3cos3sinlgln10 xxxx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossi

5、ncos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例4 4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)定理定理3).()(,)(,)()(,)(xgufdxdyxxgfyxguufyxxgu 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變等于因變量對(duì)

6、中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例6 6.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .3的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解,3xueyu dxdududydxdy .33223xexexu 例例5 5高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例7 7

7、.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解xu2109 xx2)1(1092 .)1(2092 xxdxdududydxdy 1,210 xuuy高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例6 6.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解xxsincos xcot .3的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解.323xex 3xe xxee )()(3 x)sin(ln xxsin1 xx1)(ln )(sin x)(3 xe例例5 5高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例7 7.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解92)1(10 xdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx91010)(xx )1(2 x

8、熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量默記在心，熟悉了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量默記在心，由外及里、逐層求導(dǎo)。由外及里、逐層求導(dǎo)。 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到有限次復(fù)合的情形。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到有限次復(fù)合的情形。 如設(shè)如設(shè) 那么對(duì)于復(fù)合函那么對(duì)于復(fù)合函數(shù)數(shù) ，我們有如下求導(dǎo)法則：，我們有如下求導(dǎo)法則： ( ),( ),( ),yf u uv vx ( )yfx vxuxyyuv( )( )( )yf uvx 例例8求求 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)2tan2xy 解：解： 設(shè)設(shè) ,2uy 2,tanxvvu由由 得得 ( )( )( )yfuvx2sec2tan21sectan2)2

9、(sec2)()(tan)(2222xxvvxvuvvuy 即即高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例9 9.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy22122xax.22xa )0( a2222222222121xaaxaxxa 222xa x20 22a2)(1ax a1xx21)( 211)(arcsinxx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1010.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy11212 xy)2(3112 xxx例例1111.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解xey

10、1sin xe1sin .1cos11sin2xexx x2 )2(31 x)1(sin xx1cos )1( x xe1sin.1cosx 21x 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.1.定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例121222

11、22xyab求求由由方方程程+=1+=1所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y.y 解解 將方程兩邊分別關(guān)于將方程兩邊分別關(guān)于x求導(dǎo)，求導(dǎo)，22220 xyyab 得得22b xya y 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例2 2.,)23,23(,333線通過原點(diǎn)線通過原點(diǎn)在該點(diǎn)的法在該點(diǎn)的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點(diǎn)點(diǎn)上上求過求過的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線ccxyyxc 解解:,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,

12、xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1414.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1515生物群體總數(shù)的生長(zhǎng)規(guī)律為生物群體總數(shù)的生長(zhǎng)規(guī)律為011rtlxxle ( )xx t 為生物群體在為生物群體在t t時(shí)刻的總數(shù)，時(shí)刻的總數(shù)，0lrx、 、均為常數(shù)，且均為常數(shù)，且0.l 試求生長(zhǎng)率試求生長(zhǎng)率( ).x t 高等數(shù)學(xué)

13、高等數(shù)學(xué)解解 原方程原方程整理得整理得0(1)0rtxlexxl 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)t求導(dǎo)求導(dǎo)0rtrtxrlexlex1rtrtrlexxle 02(1)(1)rtrtx rll ele 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)),()(1xttx 具有單調(diào)

14、連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例9 9解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué).),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程

15、為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1010.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1111.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)五、高階導(dǎo)數(shù)的定義五、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時(shí)速度為則瞬時(shí)速度為的變化率的變化率對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間是速度是速度加速度

16、加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以

17、上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例例1212).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1313.),()(nyrxy求求設(shè)設(shè) 解解1

18、xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)例例1414.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)( )( )xtyt )(22dxdydxddxyd ( )()( )dtdxdttdt )(1)()()()()(2tttttt

19、.)()()()()(322tttttdxyd 即即例例15 15 求函數(shù)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解解高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)小結(jié)小結(jié)1.注意注意);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）導(dǎo)法）;高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)3.已能求導(dǎo)的函數(shù)已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或或初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.4.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)練習(xí)練習(xí).,00 xyxdx