第二章點、直線與平面的投影

1、第二章 正投影作圖基礎(chǔ)第一節(jié) 三視圖的形成及其投影規(guī)律一、投影法的種類1中心投影法投影線從一點發(fā)出，如上圖。該投影法的特點是，物體距離投影面的距離不同時，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能夠真實地反映物體的形狀和大小，所以機械制圖不采用這種投影法繪制。但中心投影法具有立體感強的特點，常用于繪制建筑物的外觀圖，也稱為透視圖。2平行投影法投影線相互平行，在投影面上作出物體投影的方法，就稱為平行投影法。如下圖。 平行投影法的正投影 平行投影法的斜投影 平行投影法的特點是，物體的投影與物體距投影面的距離無關(guān)，投影都能夠真實地反映物體的形狀和大小。平行投影法中又可分為兩種，一種是正投影，投影線方

2、向垂直于投影面。另一種是斜投影，投影線方向傾斜于投影面。在機械制圖中應(yīng)用的是正投影法，它是我們學(xué)習(xí)的重點。三視圖是多面視圖,是將物體向三個相互垂直的投影面作正投影所得到的一組圖形。下面將說明三視圖的形成及其投影規(guī)律。二、   三面視圖的形成1.三面投影體系的建立三面投影體系是由三個互相垂直的平面V、H、W構(gòu)成,如圖2-14所示。其中,V面稱為正立投影面;H面稱為水平投影面;W面稱為側(cè)立投影面;OX=VH,OY=HW,OZ=VW，稱為投影軸;O=VHW，稱為三面投影體系的原點。通常將三面投影體系簡稱為三面體系。2. 三視圖的形成(1)投影的形成：將物體置于三面體系中,再用正投

3、影法將物體分別向V、H、W投影面進行投射, 即得到物體的三個投影,如圖2-15所示。將物體在V面的投影稱為正面投影;在H面的投影稱為水平投影;在W面的投影稱為側(cè)面投影。投影中物體的可見輪廓用粗實線表示,不可見輪廓用虛線表示。 (2) 投影面的展開：將物體從三面體系中移開,令正立投影面V保持不動,水平投影面H繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°,側(cè)立投影面W繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°如圖2-16(a)所示,使V、H、W三個投影面展開在同一平面內(nèi),如圖2-16(b)所示。在國家機械制圖標準中規(guī)定物體的正面投影、水平投影、側(cè)面投影分別稱為主視圖、俯視圖、左視圖，它與人們正視、俯視、左視物體時所見到

4、的形象相當(dāng)。由于物體的形狀只和它的視圖如主視圖、俯視圖、左視圖有關(guān),而與投影面的大小及各視圖與投影軸的距離無關(guān),故在畫物體三視圖時不畫投影面邊框及投影軸,如圖2-17所示。三、    三面視圖之間的對應(yīng)關(guān)系1三視圖之間的相等關(guān)系一般將物體X方向定義為物體的“長”,Y方向定義為物體的“寬”,Z方向定義為物體的“高”,從圖2-16(b)中可看出,主視圖和俯視圖同時反映了物體的長度,故兩個視圖長要對正;主視圖與左視圖同時反映了物體的高度,所以兩個視圖橫向要對齊;俯視圖與左視圖同時反映了物體的寬度,故兩個視圖寬要相等。即: (1) 主、俯視圖長對正。(2)主、左視圖高平齊

5、。(3)俯、左視圖寬相等。2.三視圖和物體之間的關(guān)系從圖2-16(b)中可以看出三視圖和物體之間的以下關(guān)系:(1)主視圖反映了物體長和高兩個方向的形狀特征,上、下、左、右四個方位。(2)俯視圖反映了物體長和寬兩個方向的形狀特征,左、右、前、后四個方位。(3)左視圖反映了物體寬和高兩個方向的形狀特征,上、下、前、后四個方位。四、   正投影法基本特性1. 實形性當(dāng)直線或平面圖形平行于投影面時，其投影反映直線的實長或平面圖形的實形。2. 積聚性當(dāng)直線或平面圖形垂直于投影面時，直線的投影積聚成一點，平面圖形的投影積聚成一直線。3. 類似性當(dāng)直線或平面圖形傾斜于投影面時，直線的投影

6、仍為直線，但小于實長。平面圖形的投影小于真實形狀，但類似于空間平面圖形，圖形的基本特征不變。4. 平行性空間兩平行直線的投影必定互相平行。5. 從屬性點在直線上，則點的投影心在該直線的同面投影上，點或直線在平面上，它們的投影必在該平面的同面投影上。第二節(jié) 立體表面上點、直線、平面的投影 一、點的投影一）、多面投影的形成點在一個投影面中的投影不能夠反映點在空間的位置，如右圖，A、A0的投影都是a,這樣一來就不能唯一確定A點的空間位置。因此，利用相互垂直的的兩個或三個投影面 體系，作出多面正投影。點的投影二）、點在兩個投影面體系中的投影如圖點在兩面體系中的投影投影特性：（1）點的正面投影和水平投影

7、連線垂直O(jiān)X軸，即aaOX;（2）點的正面投影到OX軸的距離，反映該點到H面的距離，點的水平投影到OX軸的距離，反映該點到V面的距離，即aax=Aa, aax=Aa。三）、點在三個投影面體系中的投影點在兩面投影體系已能確定該點的空間位置，但為了更清楚地表達某些形體，有時需要在兩投影面體系基礎(chǔ)上，再增加一個與H面及V面垂直的側(cè)立的投影面W面，形成三面投影體系。如下圖。 點在三面體系中的投影投影特性：（1）aaOX, aa”O(jiān)Z, aayHOYH, a”ayWOYW （2）aax=Aa, aax=Aa。 aaZ=Aa”四）、點的投影與坐標根據(jù)點的三面投影可以確定點在空間位置，點在空間的位置也可以由

8、直角坐標值來確定。點的正面投影由點的X、Z坐標決定，點的水平投影由點的X、Y坐標決定，點的側(cè)面投影由點的Y、Z坐標決定。例題1 已知點A（20，15，10）、B（30，10，0）、C（15，0，0）求作各點的三面投影。分析：由于ZB=0，所以B點在H面上，YC=0，ZC=0，則點C在X軸上。在OX軸上量取oax=20;過ax作aaOX軸，并使aax=15, aaZ=10;過a作aa”O(jiān)Z軸，并使a”aZ= aax, a, a,a”即為所求A點的三面投影。 根據(jù)點的坐標求點的投影作B點的投影：在OX軸上量取obX=30;過bX作bbOX軸，并使bbX=0, bbX=10,由于ZB=0，b,bX

9、重合。即b在X軸上；因為ZB=0，b在OYW軸上，在該軸上量取Obyw=10,得b”，則b、b 、b”即為所求B點的三面投影。作C點的投影：在OX軸上量取OCX=15;由于Yc=0，Zc=0,c、c都在OX軸上，與c重合，c”與原點O重合。五）、兩點的相對位置空間點的相對位置，可以利用兩點在同面投影的坐標來判斷，其中左右由X坐標差判別，上下由Z坐標差判別，前后由Y坐標差判別。如圖。 兩點間的相對位置Za>ZbA點在B點上方，Ya>YbA點在B點的前方，Xa>XbA點在B點的左方。A點在B點的左前上方。六）、重影點重影點當(dāng)空間兩點位于垂直于某個投影面的同一投影線上時，兩點在該投

10、影面上的投影重 合，稱為重影點。如上圖。二、直線的投影一）、直線的投影直線可以由線上的兩點確定，所以直線的投影就是點的投影，然后將點的同面投影連接，即為直線的投影，如圖。 直線的三面投影二）、各種位置直線的投影投影面平行線直線平行于一個投影面與另外兩個投影面傾斜時，稱為投影面平行線。正平線平行于V面傾斜于H、W面；水平線平行于H面傾斜于V、W面；側(cè)平線平行于W面傾斜于H、V面。投影面平行線特性：平行于那個投影面，在那個投影面上的投影反映該直線的實長，而且投影與投影軸的夾角，也反映了該直線對另兩個投影面的夾角，而另外兩個投影都是類似形，比實長要短。P36表21。投影面垂直線直線垂直于一個投影面與

11、另外兩個投影面平行時，稱為投影面垂直線。正垂線垂直于V面平行于H、W面；鉛垂線垂直于H面平行于V、W面；側(cè)垂線垂直于W面平行于V、H面。投影面垂直線特性：垂直于那個投影面，在那個投影面上的投影積聚成一個點，而另外兩個投影面上的投影平行于投影軸且反映實長。表223一般位置直線直線與三個投影面都處于傾斜位置，稱為一般位置直線。一般位置直線一般位置直線在三個投影面上的投影都不反映實長，而且于投影軸的夾角也不反映空間直線對投影面的夾角。三）、一般位置直線的實長及其與投影面夾角一般位置直線的投影即不反映實長又不反映對投影面的真實傾斜角度。要求得實長和夾角，我們利用直角三角形法求得。如圖所示。 求一般位置

12、直線的實長及對投影面的夾角四）、直線上點的投影如果點在直線上，則點的各個投影必在該直線的同面投影上，并將直線的各個投影分割成和空間相同的比例。 直線上的點五）、兩直線的相對位置1兩直線平行兩直線平行兩直線空間平行，投影面上的投影也相互平行。2兩直線相交 兩直線相交空間兩直線相交，交點K是兩直線的共有點，K點的投影，符合點的投影規(guī)律。3兩直線交叉兩直線交叉空間兩直線不平行又不相交時稱為交叉。交叉兩直線的同面投影可能相交，但它們各個投影的交點不符合點的投影規(guī)律。六）、兩直線垂直相交空間兩直線垂直相交，其中有一直線平行于某投影面時，則兩直線在所平行的投影面上的投影反映直角。 垂直相交兩直線的投影證明

13、：因為ABBC，ABBb，所以AB必垂直于BC和Bb決定的平面Q及Q面上過垂足B的任何一直線（BC1、BC2）因ABab故ab也必垂直于Q面過垂足b的任一直線，即abbc。例題：如圖，已知點C及直線AB的兩面投影，試過C點作直線AB的垂線CD，D為垂足，并求CD的實長。 求點到直線的垂足及距離分析：因為abOX，所以AB是正平線，又因CD與AB垂直相交，D為交點，則ab cd,由d可在ab上求得d。利用直價三角形法可求得CD的實長。作法：1）c作cdab得交點d； 2）由d引投影連線與ab交得d; 3）連c和d，則cd、cd即為垂線CD的兩面投影； 4）用直角三角形法求得C與直線AB之間的真實

14、距離CD。三、平面的投影一）、平面的表示法用幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面用跡線表示平面 用跡線表示平面二）、各種位置平面的投影1投影面平行面平面在三投影面體系中，平行于一個投影面，而垂直于另外兩個投影面。正平面平行于V面而垂直于H、W面；水平面平行于H面而垂直于V、W面；側(cè)平面平行于W面而垂直于H、V面。投影面平行面特性：平面在所平行的投影面上的投影反映實形，其余的投影都是平行于投影軸的直線；2投影面垂直面在三投影面體系中，垂直于一個投影面，而對另外兩投影面傾斜的平面。正垂面垂直V面而傾斜于H、W面；鉛垂面垂直H面而傾斜于V、W面；側(cè)垂面垂直W面而傾斜于V、H面。投影面垂直面特性：平面

15、在所垂直的投影上的投影積聚成一直線，該直線于投影軸的夾角，就是該平面對另外兩個投影面的真實傾角，而另外兩個投影面上的投影是該平面的類似形。3一般位置平面平面對三個投影面都傾斜。平面對三個投影面的相對位置分析可得出平面的投影特性：（1）平面垂直于投影面時，它在該投影面上的投影積聚成一條直線積聚性；（2）平面平行于投影面時，它在該投影面上的投影反映實形實形性；（3）平面傾斜于投影面時，它在該投影面上的投影為類似圖形類似性。第三節(jié) 點在直線和平面上的投影作圖1平面上的直線（1）直線通過平面上的已知兩點，則該直線在該平面上。（2）直線通過平面上的一已知點，且又平行于平面上的一已知直線，則該直線在該平面

16、上。2平面上的點點在平面上的幾何條件是：如果點在平面上的一已知直線上，則該點必在平面上，因此在平面上找點時，必須先要在平面上取含該點的輔助直線，然后在所作輔助直線上求點。3平面上的投影面的平行線平面上的投影面平行線的投影，既有投影面平行線具有的特性，又要滿足直線在平面上的幾何條件。例題：已知三角形ABC的兩面投影，在三角形ABC平面上取一點K，使K點在A點之下15mm，在A點之前13mm，試求K點的兩面投影。（如下圖） 平面上取點 分析：由已知條件可知K點在A點之下15mm，之前13mm，我們可以利用平面上的投影面平行線作輔助線求得。K點在A點之下15mm，可利用平面上的水平線，K點在A點之前

17、13mm，可利用平面上的正平線，K點必在兩直線的交點上。作法：1）從a向下量取15mm，作一平行于OX軸的直線，與ab交于m，與ac交于n; 2）求水平線MN的水平投影m、n； 3）從a向前量取13mm，作一平行于OX軸的直線，與 ab交于g，與ac交于h，則mn 與gh 的交點即為k； 4）由g、h求g、h，則gh與mn交于k，k即為所求。4平面上的最大斜度線屬于定平面且垂直于該平面的投影面平行線的直線，稱為該平面的最大斜度線。平面上垂直于水平線的直線，稱為平面上對H面的最大斜度線；垂直于正平線的直線，稱為平面上對V面的最大斜度線；垂直于側(cè)平線的直線，稱為平面上對W面的最大斜度線。

18、*第四節(jié) 換面法作直線的實長和平面的實形一、求作直線的實長及其對投影面的傾角  直線是由兩個點所決定的，因此，在更換直線的投影時，只要把直線上的任意兩個點的投影加以變換，即可求得直線的新投影。1. 將一般位置直線變換為新投影面的平行線取V1平行于AB且垂直于H面，則在新體系V1/H中，AB就成為了正平線。只要注意到V1面距AB的距離是任意的，X1平行于ab,則可按變換規(guī)律求出直線的新投影，從而得到直線的實長和角。2. 將投影面平行線變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本€           &

19、#160;                                                                    要將投影面平行線AB變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本€ ， 則新投影面H1必須與AB垂直，在V/H1體系中，AB就成了垂直