利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值(高中數(shù)學(xué)人教A選修2-2)（課堂PPT）

1、1.3.2 函數(shù)的極值與函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件和充分條件的必要條件和充分條件2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求最高次冪不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)會(huì)用導(dǎo)數(shù)求最高次冪不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值的極大值、極小值復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則 為常數(shù)為常數(shù).0)( xf)(xf單調(diào)性的判斷方法有哪些？單調(diào)性的判斷方法有哪些？單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系? ?f (x)0f (x)0，則，則f(x)在此區(qū)間為增函數(shù)；在此區(qū)間為

2、增函數(shù)；如果如果f (x)0，則，則f(x)在此區(qū)間為減函數(shù)；在此區(qū)間為減函數(shù)；如果如果f (x)=0，則，則f(x)在此區(qū)間為常數(shù)函數(shù)；在此區(qū)間為常數(shù)函數(shù)； 練習(xí):判斷函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單的單調(diào)性調(diào)性。 函數(shù)函數(shù) y=f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x1 、x2 、x3 、x4處的處的函數(shù)值函數(shù)值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，與它們左右，與它們左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值，相比有什么特點(diǎn)近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值，相比有什么特點(diǎn)?觀察圖像：觀察圖像： yxOaby f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)5yxaob yf x(圖一圖一)

3、0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bfxy yf xohgfedc(圖二圖二)極大值極大值f(b)點(diǎn)點(diǎn)a a叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)，f(a a)叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的極小值極小值.點(diǎn)點(diǎn)b b叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn)，f(b b)叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的的極大值極大值.極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)統(tǒng)稱(chēng)極值點(diǎn)極值點(diǎn)，極大值極大值和和極小值極小值統(tǒng)稱(chēng)為統(tǒng)稱(chēng)為極值極值.極小值極小值f(a)觀察與思考：觀察與思考：極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？極值與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？在極值點(diǎn)處，曲線如果有切線，則切線是水平的。在極值點(diǎn)處

4、，曲線如果有切線，則切線是水平的。 f (x1) 0 f (x2) 0 f (x3) 0 f (b)=0y f(x) yxOabx1x2x3c結(jié)論：設(shè)結(jié)論：設(shè)x=x0是是y=f(x)的極值點(diǎn)，且的極值點(diǎn)，且f(x)在在x=x0是可導(dǎo)的，則必有是可導(dǎo)的，則必有f (x0)=0 f (x)0 yxOx1aby f(x) f (x)0 f (x)0 1、如果在、如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f (x)0，右側(cè)，右側(cè)f (x)0，則則f (x0)是極大值；是極大值； 2、如果在、如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f (x)0， 則則f (x0)是極小值；是極小值；已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處是處

5、是連續(xù)連續(xù)的，且的，且 f (x0)=0則則二、判斷函數(shù)極值的方法二、判斷函數(shù)極值的方法x2導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)；若極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則一定為若極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，則一定為0點(diǎn)評(píng)：可導(dǎo)函數(shù)點(diǎn)評(píng)：可導(dǎo)函數(shù))(xfy , 0)(oxf且在點(diǎn)且在點(diǎn)x0左側(cè)和右側(cè)，左側(cè)和右側(cè)， f (x)異號(hào)異號(hào).在點(diǎn)在點(diǎn)x0取得極值的充分必要條取得極值的充分必要條件是件是yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf 觀察上述圖象觀察上述圖象,試指出該函數(shù)的極值點(diǎn)與極值試指出該函數(shù)的極值點(diǎn)與極值,并說(shuō)出哪些是極大值點(diǎn)并說(shuō)出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn)哪些是極小

6、值點(diǎn).9102.2.下列函數(shù)存在極值的是（下列函數(shù)存在極值的是（ ）（A A）y= y= （B B）y=x-ey=x-ex x （C C）y=2 y=2 （D D）y=xy=x3 3提示：提示：選選B.y= B.y= 在定義域上不連續(xù)在定義域上不連續(xù), ,且且x0 x0時(shí)單調(diào)遞減時(shí)單調(diào)遞減,x,x0 0時(shí)時(shí)也單調(diào)遞減也單調(diào)遞減, ,因此因此y= y= 不存在極值不存在極值;y=x;y=x3 3是單調(diào)函數(shù)也不存在極是單調(diào)函數(shù)也不存在極值值. .1x1x1x注意注意：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是的，是局部性質(zhì)局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間

7、。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有上可能有多個(gè)極大值或極小值多個(gè)極大值或極小值，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來(lái)，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，在某說(shuō)，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。例例.判斷下面判斷下面4個(gè)命題，其中是真命題序號(hào)為個(gè)命題，其中是真命題序號(hào)為 。可導(dǎo)函數(shù)必有極值；可導(dǎo)函數(shù)必有極值；函數(shù)的極值點(diǎn)必在定義域內(nèi)；函數(shù)的極值點(diǎn)必在定義域內(nèi)；函數(shù)的極小值一定小于極大值。函數(shù)的極小值一定小于極大值。（設(shè)極小值、極大值都存在）；（設(shè)極小值、極大值都存在）；函數(shù)的極小值（或極大值）不會(huì)多于一個(gè)。函數(shù)的極小值（或極大值）不會(huì)多于一個(gè)。xy2 如如例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的

8、極值。的極值。44xx31y3 x-22 y00y解解：定義域?yàn)椋憾x域?yàn)镽，y=x2-4由由y=0可得可得x=-2或或 x=2當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)，變化時(shí)，y, y的變化情況如下表：的變化情況如下表：因此，當(dāng)因此，當(dāng)x=-2時(shí)，時(shí)， y極大值極大值=28/3 當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)，時(shí)， y極小值極小值=4/3(-，-2）(-2，2）(2，+）+極大值極大值28/3極小值極小值 -4/31、求可導(dǎo)函數(shù)、求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟：極值的步驟：(2)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根的根,得到極值點(diǎn)的可疑點(diǎn)；得到極值點(diǎn)的可疑點(diǎn)； (4)把定義域劃分為把定義域劃分為部分區(qū)間，并列成表格

9、部分區(qū)間，并列成表格檢查檢查f (x)在方程根左右的符號(hào)在方程根左右的符號(hào)如果如果左正右負(fù)左正右負(fù)（+ -），）， 那么那么f(x)在這個(gè)根處取得極在這個(gè)根處取得極大大值值如果如果左負(fù)右正左負(fù)右正（- +），）， 那么那么f(x)在這個(gè)根處取得極在這個(gè)根處取得極小小值；值；(1) 確定函數(shù)的確定函數(shù)的定義域定義域；練習(xí)練習(xí)1求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xxf (x)0f (x)+單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減 )121,(),121(

10、1212449所以所以, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值121x.2449)121(f求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)f (x)00f (x) +單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增5454所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 3 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 54 ;當(dāng)當(dāng) x = 3 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值 54 .練習(xí)練習(xí)2 1、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)概念及與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。、可導(dǎo)函數(shù)

11、的極值點(diǎn)概念及與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。2、求極值的方法步驟。、求極值的方法步驟。3、極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別。、極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別。4、求最值的方法步驟。、求最值的方法步驟。5、注意：不可導(dǎo)函數(shù)也可能有極值點(diǎn)、注意：不可導(dǎo)函數(shù)也可能有極值點(diǎn).例如例如函數(shù)函數(shù)y=|x|,它在點(diǎn)它在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo),但但x=0是是函數(shù)的極小值點(diǎn)函數(shù)的極小值點(diǎn).故函數(shù)故函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)處不在極值點(diǎn)處不一定存在導(dǎo)數(shù)一定存在導(dǎo)數(shù).小結(jié)1718193.3.函數(shù)函數(shù)f f（x x）=x=x3 3+x+x2 2+x+a+x+a的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）（A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3【解析】【解析】選選A.A.因?yàn)橐驗(yàn)閒f（x x）=3x=3x2 2+2x+1+2x+10 0，所以，所以f f（x x）在）在R R上上是增函數(shù)，故是增函數(shù)，故f f（x x）不存在極值點(diǎn)）不存在極值點(diǎn). .20例例2 求函數(shù)求函數(shù) y=(x2-1)3+1 的極值。的極值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y無(wú)極值無(wú)極值極小值極小值0無(wú)極無(wú)極值值解解：定義域?yàn)椋憾x域?yàn)镽， y=6x(x2-1)2。由由y=0可得可得x