談微元累加法在中學(xué)物理中的應(yīng)用

1、談微元累加法在中學(xué)物理中的應(yīng)用浙江省奉化市第二中學(xué) （315006） 陳輝達這里所說的“微元法”和“微元累加法”其實就是高等數(shù)學(xué)中的“極限”和“微積分”思想在中學(xué)物理中具體應(yīng)用時的一種通俗稱呼。下面先結(jié)合中學(xué)物理教材中與“微元法”和“微元累加法”相關(guān)的幾個具體問題作一些歸納。一、“位移微元”和“時間微元”人教版高一物理教科書（必修）在“瞬時速度的理解”的表述中提到：“從A點起所取的位移越小，汽車在該段時間內(nèi)的速度變化就越小，所得的平均速度就越能較精確地描述汽車經(jīng)過A點的快慢程度。當(dāng)位移足夠小（或時間足夠短）時，測量儀器已經(jīng)分辨不出勻速運動和變速運動的差別，就可以認為汽車在這段時間內(nèi)運動是勻速的

2、，所得的平均速度就等于汽車經(jīng)過A點的瞬時速度了?！痹凇跋蛐募铀俣裙降耐茖?dǎo)”中提到：“比值v/t是質(zhì)點在t時間內(nèi)的平均加速度，方向和v的方向相同。當(dāng)t足夠短，或者說t趨近于零時，v/t就表示出質(zhì)點在A點的瞬時加速度?！?這兩個例子，都是由“平均值”的定義出發(fā)，通過無限分割逐漸逼近的方法，把“位移微元s”和“時間微元t”推向極限，從而得出“瞬時值”的概念。二、“時間微元累加法”和“位移微元累加法”人教版高一物理（必修）在勻變速“位移公式的另一種推導(dǎo)”中提到：“設(shè)想把時間t分成許多小的時間間隔，在每一個小的時間間隔內(nèi)物體都做勻速運動，當(dāng)時間間隔分割得足夠小時，折線趨近于直線AP，設(shè)想的運動就代表了

3、真實的運動。由此可以求出勻變速運動在時間t內(nèi)的位移，它在數(shù)值上等于直線AP下方的梯形OAPQ的面積。”在“變力做功”中提到：“把曲線分成很多小段，每一段都足夠小，可認為是直線；物體通過每一小段的時間足夠短，在這樣短的時間里，力的變化很小，可以認為是恒定的。這樣，對每小段來說，就可以用公式W = Fs cos 計算功，把物體通過各個小段所做的功加在一起，就等于變力在整個過程中所做的功。這兩個例子，通過“時間微元”和“位移微元” ，解決了在研究的問題中某些物理量的“變化的”和“不變的”這一對既對立又統(tǒng)一的矛盾。通過無限分割，把“變化的”轉(zhuǎn)化為“不變的”。再經(jīng)過無限積累，從而能夠應(yīng)用已知的物理規(guī)律（

4、或公式）導(dǎo)出新的物理規(guī)律。細致地引導(dǎo)學(xué)生體會：在碰到新的問題時要積極地創(chuàng)造條件，應(yīng)用已有的知識解決新問題。三、“體積微元”“體積微元”在中學(xué)物理教材中雖然沒有直接提到，但是在說到對一些基本物理規(guī)律的進一步應(yīng)用時，應(yīng)該明確的向?qū)W生指出“體積微元”和“體積微元累加法”這一思想方法。如對于萬有引力定律和庫侖定律，定律本身的適用對象分別是質(zhì)點和點電荷這些理想模型，要把定律應(yīng)用到實際物體時，必須運用“體積微元累加法”這一思想方法。這樣做，對引導(dǎo)學(xué)生建立正確的物理世界圖景應(yīng)該是有利的。四、“微元累加法”在物理問題中的應(yīng)用.“微元累加法”作為一種思想方法在中學(xué)物理中有著廣泛的應(yīng)用,下面結(jié)合幾個例子具體分析.

5、例1如圖1所示，質(zhì)量為M的船靜止在平靜的水面上，不計水的阻力，現(xiàn)有一質(zhì)量為的人從長為L的船的船頭走到船尾時，問船的位移是多少？ 人船問題的分析，一些教師教導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用通常所說的平均動量守恒來解決問題。而忽視了在此問題中對思想方法的培養(yǎng)和訓(xùn)練。 我們知道動量守恒定律具有同時性，動量守恒定律表達公式的兩邊動量分別是系統(tǒng)在初、末狀態(tài)的總動量，初狀態(tài)的動量中的v1，v2是指相互作用前同一時刻兩物體的瞬時速度，末狀態(tài)動量中的v1，v2，是相互作用后同一時刻的瞬時速度這樣在人船模型中是不能直接用公式的解決問題的分析：把船和人作為系統(tǒng)，則系統(tǒng)所受的合外力為零，人在行走時，系統(tǒng)時時刻刻都滿足動量守恒的條件，由于

6、初狀態(tài)時系統(tǒng)的總動量為零，即有mv1，= M v2， 其中v1，、v2，代表任一時刻人、船的瞬時速度大小在這里人、船的瞬時速度大小是在變化的，不能直接用s = v t來計算位移。運用“微元累加法”，把整個過程的時間t分成許多時間微元，在每一個時間微元內(nèi)可以認為物體都做勻速運動，人、船在內(nèi)的位移微元分別為1= v1，、2= v2，. 由、得 1 = M2 對于整個過程，把所有的位移微元1，2分別累加起來，有1= M2 1是人的位移1，2是船2的位移2，將改寫為1 = M2 又1 +2 =L 得1M L（M）,2L（M） 用微元累加法來分析闡述人船問題，能夠使學(xué)生進一步加深人船問題中的物理過程認識

7、以及對動量守恒定律相對同時性（或瞬時性）的理解。 (2)變力的沖量問題沖量的定義I = Ft ，如果要用此公式直接計算，則要求力F在時間t內(nèi)是恒力，對于變力的沖量，也可以應(yīng)用微元累加法進行分析解決。解：最先的下落高度h1 =1800m的過程中，在時間微元內(nèi)可以認為速度v不變,由動量定理,得mg- kv= mv 式中的v就是在時間微元內(nèi)下落的高度，進一步應(yīng)用微元累加法，在下落所時間t1過程中有，mg1- kh1 = mvmax 且在最大速度下落時，有，mg = kvmax 代入數(shù)據(jù)(g取10m/s2)得：1 = 41(s)打開降落傘后的最先2 = 1s時間內(nèi)下落的高度h2 =( vmax+ v1

8、) 2= (50+5.0)X1=27.5(m)勻速下落時間3 =( h3 - h2)/ v1=( 200 27.5)/5.0=34.5(s)所以,運動員在空中運動時間t=(1 +2+3)=76.5(s)雖然這是一道會考要求的題目，但是題目的解決過程中包含了豐富的物理方法：首先是運動模型的建立，題目要求是進行估算，這里“估算”的含義就是對運動過程的合理建模，最先的1800m的下落過程中，由于阻力對運動的影響, 不是勻加速運動。可以假設(shè)空氣阻力f與速度v成正比，即f =kv（k為常量），而后應(yīng)用微元累加法得出變力的沖量的表達方式，再應(yīng)用動量定理。打開降落傘后的最先1s時間內(nèi)，要假設(shè)運動員是做勻減速運動。只有建立了這樣的正確合理的