高中物理競賽培訓技巧《運動學》

1、 高中物理競賽培訓高中物理競賽培訓運動學部分運動學部分 一、數形結合處理豎直上拋一、數形結合處理豎直上拋 對于某些較難求解的問題，按數形結合的思想分析處理，對于某些較難求解的問題，按數形結合的思想分析處理，物理過程將大大簡化，計算快速便捷。豎直上拋的統(tǒng)一物理物理過程將大大簡化，計算快速便捷。豎直上拋的統(tǒng)一物理公式是公式是 2021gttx位移實際上是時間的二次函數，其圖像是拋物線。位移實際上是時間的二次函數，其圖像是拋物線。 例題例題一個以一個以30m/s30m/s的初速度將小球上拋，每隔的初速度將小球上拋，每隔1 1秒拋出一球，秒拋出一球，假設空氣阻力，可以忽略不計，而且升降的球并不相碰，問

2、（假設空氣阻力，可以忽略不計，而且升降的球并不相碰，問（1 1）最多能有幾個球在空中？（最多能有幾個球在空中？（2 2）設在）設在t=0t=0時將第時將第1 1個球拋出，在哪個球拋出，在哪些時刻它和以后拋出的小球在空中相遇而過？些時刻它和以后拋出的小球在空中相遇而過？分析：子彈同地出發(fā)，設第一顆子彈射出分析：子彈同地出發(fā)，設第一顆子彈射出t t后經后和另一顆子彈相遇，則另一顆子彈后經后和另一顆子彈相遇，則另一顆子彈在空中的時間為在空中的時間為t-n(n=1,2)t-n(n=1,2)方法一：位移相等法方法一：位移相等法子彈同地出發(fā)，空中相遇時位移相等，由豎直上拋規(guī)律可得子彈同地出發(fā)，空中相遇時位

3、移相等，由豎直上拋規(guī)律可得220011()()22tgttng tn32nt 考慮到考慮到026tsg則則n=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5時所對應時所對應t t的為的為3.5s,4s,4.5s,5,5.5s3.5s,4s,4.5s,5,5.5s分別為第分別為第2 2，3 3，4 4，5 5，6 6顆子彈和第顆子彈和第1 1顆子彈相遇的時刻顆子彈相遇的時刻方法二：速率對稱法方法二：速率對稱法豎直上拋物體上升和下降經過空中同一位置時，速度總是大豎直上拋物體上升和下降經過空中同一位置時，速度總是大小相等，方向相反小相等，方向相反00()()gtg tn32nt 方法三：利用圖象法方法三：

4、利用圖象法作出子彈的運動的作出子彈的運動的s-ts-t圖圖拓展：雜技演員表演拋四球游戲時，每隔相等的時間就拋出一球，拓展：雜技演員表演拋四球游戲時，每隔相等的時間就拋出一球，若空中總有三球，手中總有一球，假設各球上升的最大高度都是若空中總有三球，手中總有一球，假設各球上升的最大高度都是1.25m1.25m，求每個球在手中停留的時間及當此人接住第一球時，其它，求每個球在手中停留的時間及當此人接住第一球時，其它三球的高度三球的高度分析：每個球上升的最大高度都是分析：每個球上升的最大高度都是1.25m1.25m，故各球在空中運動的時間都是，故各球在空中運動的時間都是1s1s要使空中總有三球，手中總有

5、一球，故當拋第四球時，要求第一要使空中總有三球，手中總有一球，故當拋第四球時，要求第一球恰好回到手中，位移拋物線如圖所示，球恰好回到手中，位移拋物線如圖所示，各球在手中停留的時間都是各球在手中停留的時間都是1/3s1/3s學生練習：一雜技演員，用一只手表演拋球、接球。每隔學生練習：一雜技演員，用一只手表演拋球、接球。每隔0.4s0.4s拋出一球，接到球后便立即把球拋出。已知除正在拋、接球的拋出一球，接到球后便立即把球拋出。已知除正在拋、接球的時刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。時刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。分析：手中無球時，空中球的個數即為表演用的球的個數，因此分析：手中無球時，

6、空中球的個數即為表演用的球的個數，因此本次表演共有本次表演共有4個球，由于不計球在手中停留的時間，因此可畫出個球，由于不計球在手中停留的時間，因此可畫出當第一個球恰好回到手中時，各球在空中的分布情況。當第一個球恰好回到手中時，各球在空中的分布情況。如圖，第如圖，第3 3個球位于最高點，個球位于最高點，2 2、4 4兩球等高，由于上半兩球等高，由于上半段平均速度小，下半段平均速度大，故段平均速度小，下半段平均速度大，故2 2、4 4兩球位于兩球位于半高度的上方半高度的上方。每個球空中的循球周期每個球空中的循球周期44 0.41.6Tts 上升的時間為上升的時間為/20.8tTs上升的高度為上升的

7、高度為213.22hgtm每隔每隔t t時間拋出一球，共有時間拋出一球，共有n n個球個球, ,試求每個球到達的最大高試求每個球到達的最大高度度h h每個球從手中拋出后都是經過每個球從手中拋出后都是經過T=nT=nt t的時間落回手中，的時間落回手中，經時間經時間t=T/2= nt=T/2= nt/2t/2上升到最高點，故最大高度上升到最高點，故最大高度2221128hgtgnt幾何上的相似性不一定帶來等價的物理原理上的相似性幾何上的相似性不一定帶來等價的物理原理上的相似性例題：攝制電影時，為了拍攝下落物體的特寫鏡頭，做了一個線度為例題：攝制電影時，為了拍攝下落物體的特寫鏡頭，做了一個線度為1

8、/491/49實實物的的模型。放電影時，走片速度為每秒物的的模型。放電影時，走片速度為每秒2424張，為了使動畫逼真，拍攝時走張，為了使動畫逼真，拍攝時走片速度應為多大？模型的運動速度應為實物運動速度的多少倍？片速度應為多大？模型的運動速度應為實物運動速度的多少倍？設實物在時間設實物在時間t t內下落的高度為內下落的高度為h,h,而模型用時間而模型用時間t t0 0下落了對應的高度下落了對應的高度h h0,0, ,則則由自由落體公式應有由自由落體公式應有22001212hgthgt利用的輔助條件利用的輔助條件0149hh017tt可見放電影時應將模型運動時間可見放電影時應將模型運動時間“放大放

9、大”7 7倍，才能使人們看電影時欣賞到逼真倍，才能使人們看電影時欣賞到逼真的畫面。為此，在拍攝電影時，拍攝的走片速度應為放映時走片速度的的畫面。為此，在拍攝電影時，拍攝的走片速度應為放映時走片速度的7 7倍。倍。24/7168/張 秒張 秒又設實物在某段時間又設實物在某段時間t t內以速度內以速度通過位移通過位移s s，而模型與之對應的量則分別是時間，而模型與之對應的量則分別是時間t t0 0 、速度、速度0 0 、位移、位移s s0 0 ，由于有，由于有017tt0149ss000/1/7stst最速路徑：例題最速路徑：例題1 二、二、最速路徑問題最速路徑問題何謂最速路徑問題？何謂最速路徑問

10、題？ AB 著名的著名的“伽利略最速路徑問題伽利略最速路徑問題”：伽利略的答案：圓弧曲線伽利略的答案：圓弧曲線 （錯誤）（錯誤）伯努利兄弟的答案：滾輪曲線的一部分伯努利兄弟的答案：滾輪曲線的一部分（正確）（正確）1 最速路徑問題最速路徑問題尋找一條運動時間最短的路徑尋找一條運動時間最短的路徑從兩條路經中找出運動時間較短的一條從兩條路經中找出運動時間較短的一條 問題問題1、如圖所示，地面上有一固定的球面，如圖所示，地面上有一固定的球面，球面的斜上方球面的斜上方P處有一小球?，F(xiàn)要確定一條從處有一小球?，F(xiàn)要確定一條從P到到球面的光滑傾斜直軌道，使小球從靜止開始沿軌球面的光滑傾斜直軌道，使小球從靜止開

11、始沿軌道滑行到球面所歷的時間最短。道滑行到球面所歷的時間最短。P分析：分析：先憑直覺猜一猜結果？先憑直覺猜一猜結果？最速路徑：例題最速路徑：例題1 先討論先討論 預備問題、預備問題、 如圖，地面附近有一空心球，過頂點如圖，地面附近有一空心球，過頂點P有很多光滑直軌道抵達球內表面。試證明小球沿任意有很多光滑直軌道抵達球內表面。試證明小球沿任意軌道從靜止出發(fā)到達球內表面所花的時間相同。軌道從靜止出發(fā)到達球內表面所花的時間相同。P證明：證明：任取一條軌道任取一條軌道PQ，PQ和水平面夾角為和水平面夾角為.PQ的長為的長為 sin2Rl 下滑的加速度下滑的加速度Qgg/ sin/gg 所以所以/2gl

12、tQP 由于由于QPt 與與無關，無關，故對應任意軌道的時間均相同。故對應任意軌道的時間均相同。gRgR2sinsin4 解原題：解原題：PQ 以以P為頂點作一球面，使其與所給球面相切于為頂點作一球面，使其與所給球面相切于Q，則線段則線段PQ即為所求的軌道。即為所求的軌道。（1）作圖確定線段）作圖確定線段PQ：ORRO關鍵是確定球心關鍵是確定球心O 過過P點作豎直線點作豎直線AB, 且使且使AP等于等于R，連接連接A、O，作作AO的中垂線與直線的中垂線與直線AP相相交，交點交，交點O即為所求的球心。即為所求的球心。連接連接O與與O所得交點即為所得交點即為Q.AB（2）證明線段）證明線段PQ為所

13、求：為所求：Q1Q2略。略。最速路徑：例題最速路徑：例題1 題后總結題后總結最后的作圖方法較困難最后的作圖方法較困難本題還可以用分析法解答本題還可以用分析法解答PKagPN212PMat222?PMPM PNtagPK2tanPM PNPTconst接下來如何思考呢？接下來如何思考呢？OPOcosPCHRLOP222()2cosRrLrLr222222 cos2LRLRrRLH22min2()2rLRtgHg相關變換：豎直平面內建立直角坐標系相關變換：豎直平面內建立直角坐標系xoyxoy，x x軸水平，過拋物軸水平，過拋物線線x x2 2 =2py=2py的焦點弦是一剛性的光滑軌道，一小物塊從

14、軌道上端的焦點弦是一剛性的光滑軌道，一小物塊從軌道上端A A無初速釋放，問滑到軌道底端無初速釋放，問滑到軌道底端B B所用時間最小為多少？此時所用時間最小為多少？此時ABAB與水平面的夾角滿足什么條件？與水平面的夾角滿足什么條件？焦點焦點F F（0 0、p/2)p/2)ABAB的直線方程的直線方程xtgpy2pyx220222pptgx22pxxptgxxBABA22cos2cos4)(cospxxxxxxBABABA2sin21tg 渡河中的流速線性變化問題渡河中的流速線性變化問題例題：河流寬度為例題：河流寬度為L L，流速與離岸的距離成正比，岸邊流速為零，流速與離岸的距離成正比，岸邊流速為

15、零，河中心流速為河中心流速為v v0 0，一小船以恒定的相對速度，一小船以恒定的相對速度v vr r垂直于流速方向，從垂直于流速方向，從一岸駛向另一岸，試求小船的運動軌跡。一岸駛向另一岸，試求小船的運動軌跡。kyu K K如何定？如何定？Lk02yLu02ryxyLu02020yrxaLatytaxrx22120yLxr拋物線？拋物線？LxLyr42011tyytatxxyxx0120121tyytLtxxrr120012消去消去t,得到什么？得到什么？另一岸時，另一岸時，y=Ly=L質點動態(tài)多邊形的會聚問題質點動態(tài)多邊形的會聚問題 例題、例題、A、B、C三個芭蕾舞演員同時從邊長為三個芭蕾舞演

16、員同時從邊長為l 的正三角形頂點出發(fā)，以相對地的相的正三角形頂點出發(fā)，以相對地的相同的速率同的速率v運動，運動中始終保持著運動，運動中始終保持著A朝著朝著B、B朝著朝著C、C朝著朝著A，試問經多少時間三人相，試問經多少時間三人相聚？每個演員跑了多少路程？聚？每個演員跑了多少路程？ABC解：解：三位演員的運動是勻速直線運動還是勻速曲線運動？三位演員的運動是勻速直線運動還是勻速曲線運動？在運動過程中三位演員的位置有什么關系？在運動過程中三位演員的位置有什么關系？三位演員作相同的勻速率曲線運動。三位演員作相同的勻速率曲線運動。 三位演員任何時候的位置均構成正三角形。但三位演員任何時候的位置均構成正三

17、角形。但諸三角形的邊長越來越短。諸三角形的邊長越來越短。 最后三位演員在何處相遇？最后三位演員在何處相遇？ 三位演員最終在三角形三位演員最終在三角形ABC的中心相遇。此時三的中心相遇。此時三角形邊長縮短為零。角形邊長縮短為零。 研究三角形的邊長的變化情況，設法找出研究三角形的邊長的變化情況，設法找出三角形邊長由三角形邊長由l 縮短為零所用的時間！縮短為零所用的時間！ ABC將從開始到相遇的時間將從開始到相遇的時間t分為分為n份小量時間份小量時間t：設每經過設每經過t 的時間后三角形的邊長依次縮短為：的時間后三角形的邊長依次縮短為：時，三演員相遇。時，三演員相遇。當當0nl，：1111lCBA

18、，2222:lCBA ，.nnnnlCBA： 1A1B1C2A2B2C如圖，依據小量近似有如圖，依據小量近似有60costvtvl 60cos11111BBAAlBAltvl 23tvtvl 21tvll 2312tvtvl 2323tvl 232tvnlln 23, n令令，則有則有0nl故有故有.230vtl 由此得由此得.32vlt . ttn 另解：另解： 設經過某一小量時間設經過某一小量時間t后，三角形的邊長后，三角形的邊長由由x變?yōu)樽優(yōu)閤.如圖，由余弦定理：如圖，由余弦定理：x tvx 60cos)(2)()(222tvxtvtvxtvx tv x222)(33tvtxvx 略去二

19、階小量得：略去二階小量得：txvxx 322由此式來研究在由此式來研究在t時間內三角形邊長的縮短時間內三角形邊長的縮短量（量（x - x）！進而找出縮短的速率?。∵M而找出縮短的速率！由此式有由此式有21)31(xtvxx 即得到即得到tvxx 23的速度縮短的。的速度縮短的。顯然三角形的邊長是以顯然三角形的邊長是以v23三角形的邊長縮短至零的時間即為所求時間：三角形的邊長縮短至零的時間即為所求時間：.3223vlvlt )231(xtvx 思考題思考題1 1：此類問題亦可進一步推而廣之，假設有個：此類問題亦可進一步推而廣之，假設有個人同時從邊長為的正邊形頂點出發(fā)，以相同速率運動，人同時從邊長

20、為的正邊形頂點出發(fā)，以相同速率運動，運動中始終保持運動中始終保持1 1朝著朝著2 2，2 2朝著朝著3 3，(n-1)(n-1)朝著朝著n,nn,n朝著朝著1,1,試問經過多少時間相遇？試問經過多少時間相遇？ 2(1 cos)tn思考題思考題2 2：假如演員的速率不變，加速度的大小如何變化？：假如演員的速率不變，加速度的大小如何變化？232a 光反射定律的類比應用光反射定律的類比應用某些質點的運動類似光的反射現(xiàn)象，若應用光的反射定某些質點的運動類似光的反射現(xiàn)象，若應用光的反射定律可使復雜的問題得到簡單的求解。律可使復雜的問題得到簡單的求解。 例題、例題、 如圖，光滑水平面上兩根剛性細桿如圖，光

21、滑水平面上兩根剛性細桿OM、ON成成15夾角交于夾角交于O點，小球在點，小球在OM的內側與的內側與O相距相距l(xiāng)=20cm的的P點處，以與點處，以與MO成成30角方向的初速朝角方向的初速朝ON桿運動，初速度桿運動，初速度大小為大小為v0=10cm/s. 試問小球能否回到試問小球能否回到P處？若能，則須經多少時間回到處？若能，則須經多少時間回到P處？處？解：解：小球作的是勻速折線運動。小球作的是勻速折線運動。MNPOl300150 而光線經鏡面反射后的行進等效而光線經鏡面反射后的行進等效于光線沿原入射方向的行進。于光線沿原入射方向的行進。 因此光線在兩平面鏡之間的不斷因此光線在兩平面鏡之間的不斷反

22、射可等效為光線沿反射可等效為光線沿PP直線傳播。直線傳播。 可將小球的運動類比為光線在平可將小球的運動類比為光線在平面鏡面鏡M、N之間的反射。之間的反射。由于由于，60154 PPO，所以所以090 OPP因此光線能夠沿原路返回到因此光線能夠沿原路返回到P點。點。所以小球從所以小球從P點出發(fā)到又回到點出發(fā)到又回到P點，總的路程即為點，總的路程即為PP=2PP.所經歷的時間為所經歷的時間為02vPPt 0030cos2vl PP)(32s MNPOlP300150P 題后總結題后總結這種解法的實質就是將折線運動等效這種解法的實質就是將折線運動等效變?yōu)橹本€運動從而使問題得以簡化。變?yōu)橹本€運動從而使

23、問題得以簡化。本題還有另一種常規(guī)解法：本題還有另一種常規(guī)解法：1、看小球多次彈碰后是否會與桿正碰、看小球多次彈碰后是否會與桿正碰2、確定在什么位置正碰、確定在什么位置正碰3、算出所有折線段的總長、算出所有折線段的總長4、計算時間、計算時間但這種解法需解三角形！試一試，但這種解法需解三角形！試一試，看能否用此法解答?？茨芊裼么朔ń獯?。拓展：如圖的示，拓展：如圖的示，MNMN為豎直墻，平面鏡為豎直墻，平面鏡OBOB繞繞O O的垂直于的垂直于紙面的水平軸以恒定的角速度紙面的水平軸以恒定的角速度轉動，在墻上的轉動，在墻上的A A點發(fā)點發(fā)出一水平光線投射到出一水平光線投射到OBOB上，并被反射到墻上上，

24、并被反射到墻上D D點。設點。設AOC=,AO=d,AOC=,AO=d,求求D D的速度。的速度。D D的速度方向總是向上，大小則等于的速度方向總是向上，大小則等于ODOD長度的變化率長度的變化率DVDV2DODOD DVtgd22cos2拋體運動中的邊界和最值問題拋體運動中的邊界和最值問題例題：例題：迫擊炮和目標位于同一水平面上，它們之間有高為迫擊炮和目標位于同一水平面上，它們之間有高為h h的小山。的小山。迫擊炮到山頂的水平距離為迫擊炮到山頂的水平距離為a a目標到山的距離為目標到山的距離為b b。試求為擊毀目標。試求為擊毀目標炮彈必需具有的最小初速度以及發(fā)射角（空氣阻力不計）炮彈必需具有

25、的最小初速度以及發(fā)射角（空氣阻力不計）如何找到切入點呢？如何找到切入點呢？思維的障礙在哪里？思維的障礙在哪里？小山？小山？20021sincosgttytx消去消去t)1 (22202tggxxtgy要擊中目標，滿足什么條件？要擊中目標，滿足什么條件？0,ybax)1 (2)()(02202tgbagtgbatgbaxxy)1 (說明什么？說明什么？tgbaxxy)1 (當當為從為從0 0到到/2/2范圍內的不同值時，得到所范圍內的不同值時，得到所有的一切軌道。有的一切軌道。接下去的轉折點在哪呢？接下去的轉折點在哪呢？當當為為/4/4時，標出的軌道為時，標出的軌道為)1 (baxxy在滿足什么

26、條件下這條軌道從山的上方通過？為此，求當軌道上在滿足什么條件下這條軌道從山的上方通過？為此，求當軌道上x=a這點的高度這點的高度h1baabbaaah)1 (1baabh)(min0bagbaabhtgbaaah)1 (abbahtg1habbabaxxy)1 (2min0)(12abbahhgab例題：例題：從離地面上同一高度從離地面上同一高度h h，相距，相距L L的兩處同時各拋出一個石塊：的兩處同時各拋出一個石塊：一個以初速度一個以初速度V1豎直向上拋；另一石塊以速度豎直向上拋；另一石塊以速度V V2 2水平拋出。求這兩水平拋出。求這兩個石塊在運動過程中它們之間的最短距離？（兩個石塊初速

27、度位于個石塊在運動過程中它們之間的最短距離？（兩個石塊初速度位于同一豎直平面內）同一豎直平面內）V1V2-V1dL22211sind22212cos相tgh222212 將曲線運動分割成的無限小曲線段處理為將曲線運動分割成的無限小曲線段處理為一小段圓弧，將質點在該小段圓弧上的運動視一小段圓弧，將質點在該小段圓弧上的運動視為一段圓弧運動。就可利用處理圓運動的方法為一段圓弧運動。就可利用處理圓運動的方法來研究一般的曲線運動。來研究一般的曲線運動。xyop1p1 （三）（三）曲率圓及曲率半徑曲率圓及曲率半徑 1、曲率圓：平面光滑曲線某處的無限小圓曲率圓：平面光滑曲線某處的無限小圓弧段所屬的圓稱為曲線

28、該處的曲率圓?；《嗡鶎俚膱A稱為曲線該處的曲率圓。 2、曲率半徑：上述曲率圓的半徑即為曲線曲率半徑：上述曲率圓的半徑即為曲線該處曲率半徑。該處曲率半徑。曲線某處的曲率半徑曲線某處的曲率半徑能反映該能反映該 處的彎處的彎 大處彎曲程度小大處彎曲程度小，小處彎曲程度大。對一條小處彎曲程度大。對一條給定的曲線，其上各處的給定的曲線，其上各處的也是確定的。也是確定的。彎曲程度：彎曲程度： 2、化曲為圓化曲為圓如果知道質點軌道曲線各處的如果知道質點軌道曲線各處的,又知道質點在軌道各處的又知道質點在軌道各處的v，則質，則質點在各處的點在各處的a心心可求出。可求出。 （四）（四）從曲率圓的角度看平面光滑曲線運

29、動的速度和加速度從曲率圓的角度看平面光滑曲線運動的速度和加速度心心切切aaa 22 va心心tva 切切相同或者相反）相同或者相反）方向與方向與v(表示速度大小的變化快慢表示速度大小的變化快慢表示速度方向的變化快慢表示速度方向的變化快慢切切a處處為零的運動為勻速率曲線運動。處處為零的運動為勻速率曲線運動。xyop1p1va切切a心心a 曲率半徑的物理求法（一）曲率半徑的物理求法（一）讓質點的運動軌跡為給定的曲線讓質點的運動軌跡為給定的曲線確定質點在運動軌跡上各處的確定質點在運動軌跡上各處的v和和a心心由向心加速度公式求由向心加速度公式求在選擇質點的運動時，盡量考慮如何方便得到曲線各處的在選擇質

30、點的運動時，盡量考慮如何方便得到曲線各處的v和和a心心1 例題、例題、試求橢圓試求橢圓 的頂點處的曲率半徑的頂點處的曲率半徑.12222 ByAx解：解：橢圓的參數方程為橢圓的參數方程為tAx cos tBy sin xy0AB所以可以選擇質點沿橢圓軌道的運動為：所以可以選擇質點沿橢圓軌道的運動為：在在x方向和方向和y方向的分運動為簡諧振動的運動方向的分運動為簡諧振動的運動.這樣的運動在橢圓的頂點處的這樣的運動在橢圓的頂點處的v和和a心心是易求得的。是易求得的。其簡諧振動方程即為以上橢圓的參數方程。其簡諧振動方程即為以上橢圓的參數方程。xy0AB;cossintBvtAvyx tBatAayx

31、 sincos22 在圖中頂點在圖中頂點A處：處：0 xvBvy Bv Aax2 0 yaAaax2 心心所以所以心心avA2 va心心同理可得同理可得BAB2 于是有于是有AB222 AB2 題后說明題后說明本題的解法屬于物理運動學的求法。本題的解法屬于物理運動學的求法。曲率半徑還有物理動力學的求法！曲率半徑還有物理動力學的求法！ 這將在以后研究。這將在以后研究。 例題、例題、求滾輪線的最高點的曲率半徑和求滾輪線的最高點的曲率半徑和1最低點的曲率半徑最低點的曲率半徑2。解：解：oPv0為方便計，設輪子做勻速的純滾動，為方便計，設輪子做勻速的純滾動，設輪心設輪心O相對地面的速度為相對地面的速度

32、為v0 .輪邊緣上的任意一點輪邊緣上的任意一點P相相對輪心對輪心O的速度為多大？的速度為多大？ P在最高點處相對于地面的速度大小為在最高點處相對于地面的速度大小為012vv P在最低點處相對于地面的速度大小為在最低點處相對于地面的速度大小為02 v，由于由于00 aaa aaa 0故故aaa 0則則 總是指向輪心但是否總是指總是指向輪心但是否總是指向滾輪線的曲率圓圓心？向滾輪線的曲率圓圓心？aPPP，速度為速度為點相對輪心參照系的加點相對輪心參照系的加速度為速度為點相對地面參照系的加點相對地面參照系的加設設aPaP ,oooaa 率半徑為率半徑為故滾輪線最高處的曲故滾輪線最高處的曲oPv0aa

33、 aa 滾輪線最低處的曲率半徑為滾輪線最低處的曲率半徑為PPP 題后總結題后總結 曲率圓上某點處的向心加速度指的是相對于靜止參照系且曲率圓上某點處的向心加速度指的是相對于靜止參照系且 指向曲率圓心的加速度指向曲率圓心的加速度;一般而言，在數學上總是可以認為拐點處的曲率半徑為零一般而言，在數學上總是可以認為拐點處的曲率半徑為零.在滾輪線的最高點處和最低點處，在滾輪線的最高點處和最低點處，率圓圓心的，率圓圓心的，正好又是指向該處的曲正好又是指向該處的曲a度度，完完全全用用作作向向心心加加速速所所以以在在此此兩兩處處的的 aaaa 心心故故心心av211 oooaa Rv20 RRvv422020

34、心心av222 0020 Rv 曲率半徑問題曲率半徑問題例題：一條光滑的拋物線軌道，在直角坐標系中的方程為例題：一條光滑的拋物線軌道，在直角坐標系中的方程為y y2 2=2x,=2x,式中式中x x、y y的單位為米。有一質點從起始位置（的單位為米。有一質點從起始位置（2 2，2 2）無初速地滑）無初速地滑下，問質點在何處離開拋物線軌道。下，問質點在何處離開拋物線軌道。mgr分析：設質點在分析：設質點在M M（x,y)x,y)處飛離拋物線，處飛離拋物線，)2(2ygMrmmgM2costy022021tx20 xaxarasin20ra)1 ()()(2202020202202yytaxrar

35、2sin122yarr)2(212yytgyxytgx1lim00433 yy如圖所示如圖所示, ,在光滑水平面上有質量為在光滑水平面上有質量為M M且均勻分布、半徑且均勻分布、半徑為為R R的圓環(huán)，質量為的圓環(huán)，質量為m m的質點可在環(huán)內壁做無摩擦的滑動的質點可在環(huán)內壁做無摩擦的滑動(Mm)(Mm)。開始時，圓環(huán)靜止，環(huán)心在。開始時，圓環(huán)靜止，環(huán)心在O O點，質點位于（點，質點位于（0 0，R R）處，速度沿）處，速度沿x x方向，大小為方向，大小為o o（1 1）試導出質點的運動方程；）試導出質點的運動方程；（2 2）試求質點運動軌跡轉折處的曲率半徑。）試求質點運動軌跡轉折處的曲率半徑。x

36、OyMm0OyMm0 xCcmMmRrccrmMmRrMmMMRrm0mMmc質心的速度質心的速度R0m m、M M繞質心的角速度繞質心的角速度trxmsintrymcostxccRmMmyc)cos(costMmmMRtryymc)sin(1sin0tMRtmmMtrxxmc)sin(1sin0tMRtmmMtrxxmc)cos(costMmmMRtryymc求相關物體速度的一種有效方法求相關物體速度的一種有效方法-基點法基點法 當剛體作平面運動時，其上任意兩點的速度在這兩點當剛體作平面運動時，其上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。因此我們也就有桿或繩約束物系各點連線上的投影相等。因此

37、我們也就有桿或繩約束物系各點速度的相關特征是：在同一時刻必有相同的沿桿、繩方向速度的相關特征是：在同一時刻必有相同的沿桿、繩方向的分速度；接觸物系觸點速度的是相關特征是：沿接觸面的分速度；接觸物系觸點速度的是相關特征是：沿接觸面法向的分速度相同，沿接觸面切向的分速度在無相對滑動法向的分速度相同，沿接觸面切向的分速度在無相對滑動時相同。時相同。 依據物系相關速度特征，運用基點法，結合速度的合依據物系相關速度特征，運用基點法，結合速度的合成法則、相對運動法則，這類問題便會迎刃而解。成法則、相對運動法則，這類問題便會迎刃而解。【物理模型】一個半徑為【物理模型】一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向的半圓

38、柱體沿水平方向向右做加速度為右做加速度為a加速運動。在半圓柱體上擱置一根豎加速運動。在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動。當半圓柱體的速度直桿，此桿只能沿豎直方向運動。當半圓柱體的速度為為時，桿與半圓柱體的接觸點時，桿與半圓柱體的接觸點P與柱心的連線與豎直與柱心的連線與豎直方向的夾角為方向的夾角為，求此時豎直桿運動的速度和加速度，求此時豎直桿運動的速度和加速度 桿柱柱地桿地tgtg柱地桿地tana柱地a桿地a【物理模型】【物理模型】長均長均為的兩桿用鉸鏈為的兩桿用鉸鏈P P相連，相連，其中一根桿的自由端用鉸鏈其中一根桿的自由端用鉸鏈O O固定，而另一固定，而另一根自由端以大小和方向均恒定的速度根自由端以大小和方向均恒定的速度0 0開開始運動，并且開始時刻始運動，并且開始時刻0 0平行于此時兩桿平行于此時兩桿夾角夾角22的角平分線，求開始運動后經非常的角平分線，求開始運動后經非常短的時間。連接兩桿的鉸鏈短的時間。連接兩桿的鉸鏈P P的加速度大小的加速度大小和方向。和方向。 2sincos0P220sin4nacossin420acossin4220a例題：例題：圖中所示為用三角形剛性細桿圖中所示為用三角形剛性細桿ABAB、BCBC、CDCD連成的平面連桿結連成的平