冪級數(shù)在近似計算中的應剖析

1、謝文清 江權霞(指導老師：陳引蘭)數(shù)學與統(tǒng)計學院1001班qQ摘要：形如 V an(x -Xo)n = a。 a/x -Xo) a 2(x - Xof 爲X - x oj-的函數(shù)n z0項級數(shù)稱為幕級數(shù)，幕級數(shù)可以看成是一個“無限次多項式”它無論在理論上還是實踐上都是一個有力的工具本文主要運用幕級數(shù)的展開式，對無理數(shù)二，e,ln 2等，利用計算機相關軟件，進行近似計算關鍵詞：幕級數(shù)、近似計算1.理論依據(jù)以某個幕級數(shù)展開式為基礎，然后把所需要求的量表達成級數(shù)的和，并依據(jù)要求，選取部分和作這個量的近似值，誤差用余項rn(x)估計.我們先給出一些基本初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式及它們對應的余項nx+n!-

2、 n23X“ xx1 xn!2!3!n 2xrn ：(n 1)! (n 2)!00 1)nJLx2 arctanx 八 () -n二2n -1n 2n：1n 1 2n：；3(1) x (1) x rn :2n 12n 3 arcsinx 二x +(2n 川n=1 (2n)!(2n +1)! x2n卅十(2n+3)! 邛 _ (2n 2)! 2n 3(2n 4)!n n2(1) xxx -n23n 1 n 2(-1) Xn +2ex八n z0n 1x In(1+x)二n 4n n 1 (-1) x rn ： n +12 .二的近似計算35n 1 2njjx x(1) x=X 3!5!2n12n

3、1 x2n 12n 3x2n 53nJ nx (-1) x"I * * # I I * *n本節(jié)利用兩個函數(shù)的幕級數(shù)展開式來近似計算二，在相同的誤差條件下,取不同的x，若取級數(shù)的前n項和作為二的近似值，對應的n值不一樣，這就為幕級數(shù)在近似計算中的應用提供了很大的空間由函數(shù)y =arctanx的幕級數(shù)展開式知arctanxn2n-1衆(zhòng)(j) Xn d 2n -1若取x =1時,一=1_ 1 -(_1)n 143 52n-1(1)1 1 1=二-4(1+(-1)n)352n 1等式的右端是一個交錯級數(shù)且是收斂的，實際計算時，我們只能使用有限項。如果取級數(shù)前n項之和作為二的近似值1 1 1

4、即一 4（q*）n），其誤差為n2n 12n+1為了保證誤差不超過10-，就要取級數(shù)（1）的前20000項進行計算，計算 量之大可以想象.它的收斂速度很慢.對于arctanx展開式而言，當x越小收斂越快，恰恰在端點x=1收斂最慢.以下取的求和的級數(shù)相應它的收斂速度要稍快現(xiàn)若取x=f帶入展開式得 (6、33.3(r)5( -1)心 一(1)2n5、3A二2出（1一3nJ 11 1 丄-1 丄(-1)2n 11尹)若取級數(shù)的前n項和作為二的近似值，其誤差為rn11111-： - 2.3(1 1 11丄一12(一1嚴 1_3 35327332n -1 3nJ1)2.3<(2n+1) 3nF面實

5、現(xiàn) 式的計算，若要求誤差小于10（計算二的程序見附錄1）當n=8時,19 39理=2、.3(1 -131現(xiàn)取X二-211! - 1!，1!) =3.141673 5 32 7 3315 371口口兀，:詢ct形，顯見4,記 '蔦，而1 - 1 tan ：二 ta n( ) ，所以：二 arcta n 433兀11 二 arc tan arc tan 42，就是111 1 1 二 4(一2 3 235 25+13 213+ 1丄+1 丄 + +($413 3 335 3513 313)F面實現(xiàn) 的計算，若要求誤差小于10*（計算二的程序見附錄2）當n=7時,: =4（- -11 45 .

6、 亠 1 一1 1 1 丄.（一1嚴 亠）=3.141562 3 235 2513 23 3 335 313 3對于y=arctanx ,誤差一樣（如要求誤差小于10二）,取不同的x，對應部分和的項數(shù)n與近似計算的二值如下表x1312n20000873.141673.141561對于arc sin x的展開式而言，取 -二1 丄（2n-1）!1十匚62 nA （2n 川 2n 1F面實現(xiàn) 的計算，若要求誤差小于10*（計算二的程序見附錄3）當n=4時,7!98! 9 2:10*二 11!3!= I !622! 3 234! 5 25 5!6! 7 27= 3.14115綜上，知當誤差確定時，對

7、相同的幕級數(shù)展開式， x的取值不同，所取部分 和的項數(shù)不同，近似計算二的值也不同，對不同的幕級數(shù)展開式結果亦然.當然, 當誤差改變時，我們同樣可以利用幕級數(shù)展開式估算出 二的值，其精確度更高.3.數(shù)e的近似計算以ex的幕級數(shù)展開式為基礎進行討論n23nex二 1 卜 x 詡n為 n!2!3!n!11當x=1時，e =1 1 亠 亠 亠 2!n!11rn = e -(1 1)2!n! 亠亠.(n 1)! (n 2)! (n 3)!1(1丄) (n 1)! ' (n 2) (n 2)(n 3)1 “ 1(1(1 2 )(n 1)! n 1 (n 1)n!n11所以取11 丄丄作為近似值，則

8、誤差為 2!n!1 11例如:精確到丄，則需要rn :： 1110n! n鬲蔚=心0（見附錄4）.e =1 T 111 =2.7182818 .2!3!10!擴廣：利用幕級數(shù)推導e是無理數(shù).0 ：e-(1 1 丄 x2!n!=0 ： n! n e-(1 1 n!n|L丄工）-n!:12!令k,ne -(1 1 丄IL2!.0 ： k : 1n! n1 1e二1亠1亠2!1=11-2!n!n!n1xn1不廠)n!反證法：假設e是有理數(shù)，則p,q N,（p, q）=1,p qe二衛(wèi)才丄.丄丄=.衛(wèi)心 q 2!n! n!nn!n(1+1 +丄 + +丄)+ k q2! n!等式左邊是一個整數(shù)，右端第

9、一項是整數(shù)，而k是小數(shù)；即右端不是整數(shù)，矛盾.故e是無理數(shù).4.對數(shù)的計算利用對數(shù)的幕級數(shù)展開式，作對數(shù)的近似計算。根據(jù)對數(shù)的特征，只要計算 出正整數(shù)的特征，那么由對數(shù)的運算，其它有理數(shù)的對數(shù)也就知道了 以In(1+x)的麥克勞林級數(shù)作為出發(fā)點nd n23n_1n(-1) x x x(-1) xIn(1+ x)=x -n23n1 1 1當 x=1 時，In 2 =1 _ _2 34當取前n項作為其近似值，其誤差Rn =ln2-(1- 1 1ln2t 3V 57 1 _丄 (一1)x)234n如要精確到10-就要截取一萬項來計算，另外上面的展開式的收斂域為-1乞x ： 1,這就不能直接用它來計算

10、其它整數(shù)的對數(shù)F面用一個收斂較快的幕級數(shù)來計算In21+x利用In的幕級數(shù)展開式23x xIn(1 _x)二 _x _231 -xn352n 4x xx.Inln(1 x) -1n(1 - x) = 2(x)1 -x352n -11亠x1令=2,即X帶入(5),有1 -x3.1 )(2n_1) 322估計余項如下rn =2( (2n+1) 32n+1 + (2n+3) 32n+3<2n+1(2n+1) 32 “ 1 1(1 + 22+32+)=4(2n+1)32n-1如要精確到10*，即使rn：10二只要n =4(見附錄5)1111ln 2 ： 2(357)3 3 35 '37

11、3=2(0.33333+0.02135+0.00084+0.00007) =0.69311 + x11拓展:令x2N 1，有1 1 1 1In(1 ) = 2(3弓亠 亠N 2N +1 3 (2N +1) 5 (2N +1)(2n- 1)(2N+1)=In(1 N) =l nN 2(1135)2N +1 3 (2N+1)52N+1)(2n -1)，(2N+1)這是一個遞推公式,所以據(jù)此可求任何正整數(shù)的對數(shù)，相應的也可求有理數(shù)的對數(shù).1如:當N=2時，即x=，51 訂)=1.09861 1 In 3 =In 2 2(3-53 535 52（k=1麗尹的結果見附錄6）1當N=4時，即x=，有91

12、1 1In 5 =2In 2 2(3 弓 )=1.609493 95 9（Jy的結果見附錄7）k=1 （2k-1）9（ ）如此進行下去，可得In6,ln7,的值In x利用上述計算方法，通過換底公式，我們可以計算得到了 g “而的一些近似計算結果并與數(shù)學用表中Igx值進行比較（見表）表 Igx的幕級數(shù)近似計算結果與數(shù)學用表中數(shù)值的比較12345678910幕級00.301030.477060.602060.69870.778090.845040.900900.954121數(shù)算數(shù)學用表00.30100.47710.60210.69900.77820.84510.90310.95421通過此表，知

13、幕級數(shù)作為近似計算的工具，結果與真實值很相近參考文獻1 董延闿級數(shù)M.上海：上?？茖W技術出版社，1982.2 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析.M.北京:高等教育出版社,19993 周曉陽.數(shù)學實驗與Matlab.武漢：華中科技大學出版社,2002附錄1. s=0; n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=(-1F(門-1)*2*3八(1/2)/(2* n-1)*3( n-1)+s;n=n+1;ends,n程序所得結果為s=3.14167431n = 8即為使計算結果精確到小數(shù)后第四位，只需求對應級數(shù)前7項的和利用Matlab軟件算得7 (-1嚴 2、32-7n =1

14、 2n T3n 一1syms ksymsum(-1F(k-1)*xA(2*k-1)/(2*k-1),k,1,8)ans =x-1/3*xA3+1/5*xA5-1/7*xA7+1/9*xA9-1/11*xA11+1/13*xA13-1/15*xA15syms kf=6*(-1)A(k-1)*(1/sqrt(3)A(2*k-1)/(2*k-1)symsum(f,k,1,7)結果為ans =3.141674312. s=0; n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=4*(-1)A( n-1)/(2* n-1)*1/2A(2* n-1)+1/3A(2* n-1)+s;n=

15、n+1;ends,n計算結果為s =3.141561583. s=3 ;n=1;ps=pi;while abs(s-ps)>1e-4s=(2* n-1)!/(2* n)!*(2* n+1)*2(2* n+1)+s;n=n+1;ends,n計算結果為s=3.14115n=44. ff=sym('n*n!=10八7');solve(ff,' n') ans =1010 1先算1k=i k!syms k nsymsum(1/sym('k!'), k ,1,10) ans =1.718281810 1則 e=1+、=2.7182818k=1 k!5. ff=