二次根式輔導(dǎo)講義

1、二次根式一、知識(shí)梳理1、二次根式的概念和性質(zhì)二次根式的定義：形如 盧(a 0)的式子叫做二次根式.注意點(diǎn)：(1)被開方數(shù)是正數(shù)或 0; (2)二次根式aa (a 0)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根.二次根式的性質(zhì)：(1)二次根式的非負(fù)性：、后0 ;(2)(向2 a (a 0)；a (a 0)(3) 4a2|a| a (a 0);a (a 0)(4)當(dāng)a 0時(shí)，(加2 面.2、最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(分母中不含根號(hào))；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式.最簡(jiǎn)二次根式的滿足條件：(1)被開放數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式

2、(被開方數(shù)不能存在小數(shù)、分?jǐn)?shù)形式)；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；(3)分母中不含二次根式.說(shuō)明：二次根式的計(jì)算結(jié)果要寫成最簡(jiǎn)根式的形式.3、二次根式的加減同類二次根式幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式.二次根式的加減同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次 根式.合并同類二次根式：aJX bQ (a b)豉，同類二次根式才可加減合并.分母有理化分母有理化：把分母中的根號(hào)化去叫做分母有理化.互為有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有

3、 理化因式.五 而與百 赤互為有理化因式；分式有理化時(shí)，一定要保證有理化因式不為0.4、二次根式綜合運(yùn)算二次根式的綜合運(yùn)算法則：先算乘除法，再算加減法，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，最終結(jié)果二次根式部分要 化為最簡(jiǎn)二次根式.注意：在二次根式的計(jì)算題中，如果題目中沒(méi)有明確說(shuō)明字母的取值范圍，按照字母使二次根式有意義計(jì)算.5、二次根式化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的加減乘除運(yùn)算，化為較為簡(jiǎn)單 的一個(gè)式子(或直接得出結(jié)果)，最后代入未知數(shù)的值求解，有時(shí)候也會(huì)存在整體代入的情況.注意：對(duì)于二次根式的化簡(jiǎn)求值如果字母沒(méi)有明確說(shuō)明取值范圍，必須要進(jìn)行分類討論.6、根式

4、的大小比較比較大小的方法0 , a b1 .作差法：比較a、b的大小，a b 0 , a b0 , a b1 , a ba2 .作商法：比較a、b的大小，當(dāng)a 0 , b 0時(shí)，可以米用作商法， - 1, a bb1 , a b二次根式比較大小的方法(1) a b 0 a b(2)二次根式比較大小：能直接比較大小的直接比較；不能直接比較大小的，先平方再比較.(3)估算法(4)分子有理化(5)倒數(shù)法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法則：Ja bb v'ab (a 0, b 0).二次根式的除法法則：千 Ja (a 0 , b 0).說(shuō)明：利用乘除法則時(shí)注意 a、b的取值范

5、圍，對(duì)于 ab 4 而，a、b都非負(fù)，否則不成立.二、典型例題題型一、二次根式的概念和性質(zhì)例1 :函數(shù)y x 中自變量x的取值范圍是()x 1A. x 1B. x 1 且 x 0C. x 1D. x 1 且 x 0【答案】C【解析】該題考查的是函數(shù)的定義域.根式下的式子在非負(fù)條件下有意義，分?jǐn)?shù)在分母不為0的條件下有意義，綜上所述，x 1 0 ,且xx1 0 ,x 1 ,故本題答案為C.例2：若&"方|y 2| 0,則yx的值為A. 8B. 6C. 5D. 9【答案】A【解析】該題考查的是的非負(fù)性.x 3 0根據(jù)題意得： y 2 0解得：x 3y 2yx 23,故選 A .變式

6、：已知：y "x 23戲x 5,求yx的值. x 12012【答案】25【解析】該題考查的是二次根式的性質(zhì).y "53 J2 x 5 有意義x 120121 2 02 x 03x 12012 0所以 x 2, y 0 5 5 x _2 y 525題型二、最簡(jiǎn)二次根式例1、下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）A,2x2B.而？c. xT7D后【答案】C【解析】該題考查最簡(jiǎn)二次根式.A、52x2 J2|x|被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;b、而5 口至，被開方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 22C、& y2滿足最簡(jiǎn)二次根式的定義,是

7、最簡(jiǎn)二次根式；D、口近，被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式. ' x x故選C.例2、若最簡(jiǎn)二次根式3曲4與2/6a 666 1是同類二次根式,則a 【答案】1【解析】該題考查的是二次根式.滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式. 22根據(jù)題意可列：a 4 6a 1解得：a 1變式、若2, m, 4為三角形三邊，化簡(jiǎn)：J-m一'2，m_6' =【答案】4【解析】該題考查的是根式的化簡(jiǎn)求值.2

8、, m, 4為三角形三邊，可知包括如下關(guān)系：2 4 m ,即m 62 m 4 ,即m 2，原式 m 2 6 m 4題型三、二次根式的加減例1、計(jì)算而濟(jì)8 J1=.【答案】.6【解析】該題考查的是二次根式的計(jì)算.原式 <4 6 9 2 32 6 3 2 -3314例 2、1111155 3 313T3174【解析】該題考查根式的分母有理化.11115 1 3513 3 J713、17 115,5 3 313131744444變式、已知x/72, y J3應(yīng)，則x3y xy3【答案】10【解析】因?yàn)閤點(diǎn)了，y洞衣，所以xy屈屈點(diǎn)近 1 , x y273 ,所以3322x y xy xy x

9、y2xy x y 2xy22 32 110題型四、二次根式綜合運(yùn)算例1、化簡(jiǎn)：>/4024a1 函2aa2 ( 1 < a < 1)2【答案】3a 2【解析】44a2 4a 1 V1 2a a2 2a了，012 怙a 1 |a 1 ,因?yàn)?1 < a < 1 ,所以原式2a 1 a 1 2a 1 a 1 3a 2例2、若x y M<5x y 石右55，求xy .【答案】【解析】(x y)2 3褥虎；(x y)2 3版 蕊.xy (x y)2 (x y)2 3.忠(3"函而 & 44變式、化簡(jiǎn)收6a 9 Ja2 10a 25【答案】當(dāng)a3時(shí)，

10、原式2a 2;當(dāng) 3 a5時(shí)，原式 8;當(dāng)a5時(shí)，原式 2a 2;【解析】/6a 9 Ja210a 25 J a 32J a 5 2 |a 3| |a5| ,當(dāng) a 3時(shí)，原式卜 311a 5| a 3 a 5 2a 2;當(dāng) 3 a 5時(shí)，原式 |a 3 |a 51a 3 a 5 8;當(dāng) a 5 時(shí)，原式a 3| a 5 a 3 a 5 2a 2題型五、二次根式化簡(jiǎn)求值 2例1、化簡(jiǎn)：/2xJx2 6x 9【答案】4 3x【解析】該題考查根式的化簡(jiǎn).2x 2.x2 6x 9 1 2x . x 3 2由題得 1 2x 0 , x 12，原式 1 2x 3 x 4 3x.故答案為4 3x .例2、

11、化簡(jiǎn)：40 83 242 .【答案】42【解析】10 8 3 2 2,10 8 ,(12)210 8(12). 18 8 2J42)2 42變式、化簡(jiǎn):(2) J4 照【答案】(1)/1 (2)歷褥 2【解析】(1)也衣寸4 2席 J召1 2 <3 1 d5 正向至蓿叵(疾73)叵*6 222題型六、根式的大小比較例1、比較大小：U-.(填一、"”或"二)22【答案】 【解析】該題考查的是二次根式比大小.5 115 2221一.2例 2、設(shè) A J2008 J2006, BJ,比較大?。?A B .2007【答案】A B【解析】2 t 21>>2008 &

12、lt;2006 , 2/ 222007 ; 2008 42006 2V 2007A 20082006B 2007.22AB A B變式、已知a 立1, b 2j2 76, c 3 2 ,那么a , b , c的大小關(guān)系是（）A. a b cB. b a cC. c b aD. c b a【答案】B【解析】122b a 蝕2 曲11）72（1網(wǎng)*）噂（2貶273）0, b a題型七、二次根式的乘除例1、下列計(jì)算正確的是（）A. 五點(diǎn)而B. 五芯近C. 忘4D. a 3）2 3【答案】B【解析】根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則，可得亞出 J6,故答案為B選項(xiàng).例2、下列計(jì)算結(jié)果正確的是（B.2510C.

13、D.5 10【解析】該題考查的是二次根式計(jì)算.A選項(xiàng) 五與卡不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;b選項(xiàng) 五庭 應(yīng)"5n10,故本選項(xiàng)正確;& 2也,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D選項(xiàng),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤. 5故答案是B.變式、已知:b 4 3a 2 2 2 3a2,求1的平方根.a b【解析】該題考查的是二次根式.b 4V3a 2 2V2 3a 2,根據(jù)被開方數(shù)的非負(fù)性我們知道3a 2 022 3a 0,所以a代入得b 4屈W 2721a 2 2,113 1所以a b 2 22,平方根為2三、課堂鞏固11、函數(shù)y -J一：中自變量的取值范圍是（B ）x 1A. x 1B. x 1C. x 1D.

14、 x 12、對(duì)于所有實(shí)數(shù)a,b,下列等式總能成立的是（ C ）B. a2 b2ab13、函數(shù)y4中,自變量x的取值范圍是 x -2“x 24、實(shí)數(shù)P在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)HI寸h .012 p 342/027 <0.03 -0.18 , v'48 327 <3 =5.6、化簡(jiǎn)：石一或116x_9 4 3x .7、設(shè) A ,2008 J2006, BJ,比較大?。篈>B .20078、已知：x J2" 1,求x2 2x 3的值.x2 2x 3 x 1 x 32 2、2 229、已知：x,y 為實(shí)數(shù)，且 y3,化簡(jiǎn)：|y 3 Jy2 8y 16 .x 1 y 3 原式=|y 311y 413 y 4 y -1課后作業(yè)1、函數(shù)y /三中，自變量X的取值范圍是（A ）A. x2且x0B. x2C. x2 且x0D. x0E. 若 A JO4 4 ,則 >TA （ A ）A. a2 4 2B. a 222C. a 22 2D. a2 43、若（m 2）261 0 則 m n -3.產(chǎn)1-p,4，石 瓜 中，最簡(jiǎn)二次根式有 3.2224、在下列二次根式 >