分式方程章節(jié)練習(xí)

1、15.3分式方程章節(jié)練習(xí)1分式方程的概念分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程談重點(diǎn) 分式方程與整式方程的區(qū)別從分式方程的定義可以看出分式方程有兩個(gè)重要特征：一是方程；二是分母中含未知數(shù)因此整式方程和分式方程的根本區(qū)別就在于分母中是否含未知數(shù)【例1】 下列方程：1，2，5.其中是分式方程的有()A BC D解析：根據(jù)分式方程的定義知是分式方程，故選D.答案：D2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程整式方程(2)解分式方程的一般方法和步驟：去分母：即在方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；解這個(gè)整式方程；驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于0的根是原方程的

2、根，使最簡(jiǎn)公分母等于0的根不是原方程的根，必須舍去(3)對(duì)分式方程解法的理解：解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化，即把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，通過解整式方程從而確定分式方程的解；將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時(shí)，是將分式方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)所乘的整式不為零時(shí)，所得整式方程與原分式方程同解；當(dāng)所乘整式為零時(shí)，所求出的未知數(shù)的值就不是原分式方程的解；在解分式方程時(shí)，方程兩邊約去含有未知數(shù)的公因式時(shí)，若該公因式的值為零，會(huì)造成原方程失根，所以在解分式方程時(shí)，兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的公因式；驗(yàn)根的方法：代入原分式方程，看左右兩邊是否相等，但這種方法較麻煩，直接代入最簡(jiǎn)公分母驗(yàn)根較為簡(jiǎn)捷解技巧 分式方程驗(yàn)根

3、的方法把解得的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母較為簡(jiǎn)捷，但是不能檢查解方程的過程中出現(xiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤，我們可以采用另一種驗(yàn)根的方法，即把求得的未知數(shù)的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，這種方法可以檢查解方程時(shí)有無(wú)計(jì)算錯(cuò)誤【例2】 解下列方程：(1)；(2)1.解：(1)方程兩邊同乘x(x1)(x1)，得7(x1)3(x1)6x.解這個(gè)方程，得x1.檢驗(yàn)：當(dāng)x1時(shí)，x(x1)(x1)0，所以x1是原方程的增根，即原方程無(wú)解(2)方程兩邊同乘2x5，得x(2x5)5.解這個(gè)方程，得x10.檢驗(yàn)：當(dāng)x10時(shí)，2x50，所以x10是原方程的解3分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要是列方程解應(yīng)用題，它與列一元一次方程解應(yīng)用題的基本

4、思路和方法是一樣的列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審：審清題意；找：找出相等關(guān)系；設(shè)：設(shè)未知數(shù)；列：列出方程；解：解這個(gè)分式方程；驗(yàn)：既要檢驗(yàn)根是否是所列分式方程的根，又要檢驗(yàn)根是否符合題意；答：寫出答案解技巧 構(gòu)建分式方程的方法(1)在實(shí)際問題中，有時(shí)題目中包含多個(gè)相等的數(shù)量關(guān)系，在列方程時(shí)一定要選擇一個(gè)能夠體現(xiàn)全部(或大部分)題意的相等關(guān)系列方程；(2)在一些實(shí)際問題中，有時(shí)直接設(shè)出題中所求的未知數(shù)可能比較麻煩，需要間接地設(shè)出未知數(shù)，或設(shè)出一個(gè)未知數(shù)不好表示相等關(guān)系，還可設(shè)多個(gè)未知數(shù)，即設(shè)輔助未知數(shù)【例3】 今年春季我國(guó)西南五省持續(xù)干旱，旱情牽動(dòng)著全國(guó)人民的心“一方有難、八方支援”，某廠計(jì)劃

5、生產(chǎn)1 800噸純凈水支援災(zāi)區(qū)人民，為盡快把純凈水發(fā)往災(zāi)區(qū)，工人把每天的工作效率提高到原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前3天完成了生產(chǎn)任務(wù)求原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少噸純凈水？解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x噸純凈水，則依據(jù)題意，得3，整理，得4.5x900，解之，得x200.把x200代入原方程，成立，x200是原方程的解答：原計(jì)劃每天生產(chǎn)200噸純凈水4分式方程無(wú)解型問題解答分式方程無(wú)解型問題的方法是：首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后再將分式方程的增根(使分式方程的分母為零的未知數(shù)的值)代入整式方程(因?yàn)榉匠倘粲性龈?，則增根是通過解整式方程而得到的，故它滿足整式方程)，從而求出方程中的參數(shù)值5生活中的分式

6、方程列分式方程解實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是從實(shí)際問題中找出等量關(guān)系另外，還要注意對(duì)方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)檢驗(yàn)時(shí)，要注意雙重檢驗(yàn)：既要根據(jù)所列方程進(jìn)行檢驗(yàn)，又要根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行檢驗(yàn)舉例：甲、乙兩人加工同一種玩具，甲加工90個(gè)玩具所用的時(shí)間與乙加工120個(gè)玩具所用的時(shí)間相等已知甲、乙兩人每天共加工35個(gè)玩具，問甲、乙兩人每天各加工多少個(gè)玩具？解：設(shè)甲每天加工x個(gè)玩具，則乙每天加工(35x)個(gè)玩具根據(jù)題意，得，解得，x15.經(jīng)檢驗(yàn)，x15是原方程的解且符合實(shí)際意義所以35x351520(個(gè))答：甲每天加工15個(gè)玩具，乙每天加工20個(gè)玩具【例41】 已知關(guān)于x的分式方程1有增根，則a_.解析：去分母得a1x2，將x

7、2代入得a10，解得a1.答案：1【例42】 若關(guān)于x的方程2無(wú)解，求m的值解：方程兩邊同乘(x3)，得x2m2(x3)整理，得mx4.因?yàn)楫?dāng)x3時(shí)，分式方程無(wú)解，所以m1.【例5】 某文化用品商店用2 000元購(gòu)進(jìn)一批學(xué)生書包，面市后發(fā)現(xiàn)供不應(yīng)求，商店又購(gòu)進(jìn)第二批同樣的書包，所購(gòu)數(shù)量是第一批購(gòu)進(jìn)數(shù)量的3倍，但單價(jià)貴了4元，結(jié)果第二批用了6 300元(1)求第一批購(gòu)進(jìn)書包的單價(jià)是多少元？(2)若商店銷售這兩批書包時(shí)，每個(gè)售價(jià)都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？解：(1)設(shè)第一批購(gòu)進(jìn)書包的單價(jià)是x元，則第二批購(gòu)進(jìn)書包的單價(jià)為(x4)元根據(jù)題意，得×3，解得x80.經(jīng)檢驗(yàn)，x80

8、是原方程的解答：第一批購(gòu)進(jìn)書包的單價(jià)是80元(2)解法一：×(12080)×(12084)1 0002 7003 700(元)解法二：×(13)×120(2 0006 300)12 0008 3003 700(元)答：商店共盈利3 700元6分式方程中的閱讀題在解分式方程中的閱讀題時(shí)，首先要認(rèn)真閱讀題意，仔細(xì)觀察列舉的條件，觀察比較所給各方程的特點(diǎn)和它的解與原方程的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)解答過程的錯(cuò)誤或探究得出其中的規(guī)律，然后根據(jù)題目的要求改正題目中的錯(cuò)誤或者根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答提出的問題閱讀理解題是新課標(biāo)理念下的創(chuàng)新題型，應(yīng)予以重視7分式方程中的開放型問題分式方程中

9、的開放型問題，其答案一般不唯一有兩種類型：一是條件開放型問題，二是結(jié)論開放型問題解答這類題目的一般方法是：通過條件，聯(lián)想有關(guān)概念或法則，探求結(jié)論例如：請(qǐng)根據(jù)所給方程1聯(lián)系生活實(shí)際，編一道應(yīng)用題(要求題目完整，題意清楚，不要求解方程)解：甲、乙兩人合作加工一批零件，已知甲比乙每小時(shí)多加工5個(gè)零件，他們合作6 h完成了加工任務(wù)問：甲、乙每小時(shí)各加工零件多少個(gè)？這批零件共有幾個(gè)？8列分式方程解答綜合性問題解答應(yīng)用題的關(guān)鍵是弄清題目中的數(shù)量關(guān)系，選擇合適的關(guān)系式列出分式方程，求出方程的解來(lái)解決問題如果涉及用其他知識(shí)的綜合題，應(yīng)認(rèn)真分析題意建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解答例如：從甲地到乙地共50千米，其中開始的

10、10千米是平路，中間的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路小明騎自行車從甲地出發(fā)，經(jīng)過2小時(shí)10分鐘到達(dá)甲、乙兩地的中點(diǎn)，再經(jīng)過1小時(shí)50分鐘到達(dá)乙地，求小明在平路上的速度(假設(shè)小明在平路和上坡路上保持勻速)解：設(shè)小明在平路上的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，得3，解得x15.經(jīng)檢驗(yàn)，x15是所列方程的解，且符合題意答：小明在平路上的速度為15千米/時(shí)【例6】 先閱讀下列一段文字，然后解答問題：已知方程x1的解是x12，x2.方程x2的解是x13，x2.方程x3的解是x14，x2.方程x4的解是x15，x2.問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程x10的解把你解題得到的收獲用語(yǔ)言表述出來(lái)，和你

11、的同伴互相交流解：x111，x2.方程的左邊是未知數(shù)與其倒數(shù)的差，方程的右邊是比帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分大1的數(shù)與其倒數(shù)的差，此時(shí)方程的解就可以直接寫出了【例7】 請(qǐng)選擇一組a，b的值，寫出一個(gè)形如b的關(guān)于x的分式方程，使它的解為x2，這樣的分式方程可以是_解析：根據(jù)題意，把x2代入方程b中，化簡(jiǎn)整理，得a4b.再任意給出一對(duì)a，b的值，使其滿足a4b即可寫出一個(gè)題目所要求的分式方程，如當(dāng)a4，b1時(shí)，所寫的方程為1.答案：1(不唯一)【例8】 某市在道路改造過程中，需要鋪設(shè)一條長(zhǎng)為1 000米的管道，決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成這一工程已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)20米，且甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同(1)甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米？(2)如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊(duì)分配工程量(以百米為單位)的方案有幾種？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來(lái)解：(1)設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)x米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)(x20)米根據(jù)題意得