復變函數與積分變換第4章級數

1、4.1 復數項級數復數項級數4.2 冪級數冪級數4.3 泰勒泰勒(taylor)級數級數4.4 洛朗洛朗(laurent)級數級數第第 四四 章章 級級 數數& 1. 復數列的極限復數列的極限& 2. 級數的概念級數的概念4.1 復數項級數復數項級數 1. 復數列的極限復數列的極限定義定義,), 2 , 1(nnnnibaznz其中設復數列：，ibaz又設復常數：又設復常數：時的極限，當稱為復數列那么，恒有若nzzzznnnnn, 0, 0定理定理4.1.lim,limlimbbaazznnnnnn.,limzzzznzznnnn收斂于此時，也稱復數列時，或當記作2. 級數的概

2、念級數的概念nnnzzzz211niinnzzzzs121級數的前面級數的前面n項的和項的和-級數的部分和級數的部分和稱為級數的和稱為級數的和ssnn lim稱為收斂級數1nnz不收斂不收斂稱為發(fā)散級數1nnz-無窮級數無窮級數定義定義), 2 , 1(nibaznnn設復數列：設復數列： 收收斂斂若若部部分分和和數數列列ns例例1解解的斂散性。的斂散性。判別判別 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和為為級級數數收收斂斂定理定理4.2都收斂。和收斂級數111nnnnnnbaza 由定理由定理4.2，復數項級數的收斂問題可歸之為，復數項級數的收斂

3、問題可歸之為 兩個實數項級數的收斂問題。兩個實數項級數的收斂問題。得出由定理 . 4. 0lim:nnz收斂的必要條件級數1nnz定理定理4.3定理定理4.4.1111nnnnnnnnzzzz收斂，且收斂若證明證明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaibaz收斂。得由定理均絕對收斂，和由比較判定法1112nnnnnnzbaa 收收斂斂. .收收斂斂若若11nnnnzz?)1(:(1 nnni例例如如定義定義.11111條件收斂為收斂，則稱發(fā)散，而若為絕對收斂；收斂，則稱若nnnnnnnnnnzzzzz由定理由定理4.4的證明過程，及不等式的證明過程，及不等式 :22有有nnnn

4、baba 推論推論都收斂。和收斂級數111nnnnnnbaz解解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnninnn絕絕對對收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例例2否否絕絕對對收收斂斂？下下列列級級數數是是否否收收斂斂？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級級數數非非絕絕對對收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn例例3解解的斂散性。的斂散性。討論討論 011nnien 1111cossin11

5、1cos,1sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben 數 列收 斂 ,且 有& 1. 冪級數的概念冪級數的概念& 2. 收斂定理收斂定理& 3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑& 4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法& 5. 冪級數的運算和性質冪級數的運算和性質4.2 冪級數冪級數1. 冪級數的概念冪級數的概念定義定義設復變函數列：設復變函數列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( ndzzfn-稱為復變函數項級數稱為復變函數項級數級數的最前面級數的最前面n項的

6、和項的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(-級數的部分和級數的部分和,)1()(lim),(,)1(),()(lim000000發(fā)發(fā)散散不不存存在在，稱稱級級數數其其和和為為收收斂斂在在稱稱級級數數若若zszszzszsdznnnn 若級數若級數(1)在在d內處處收斂，其和為內處處收斂，其和為z的函數的函數)()()()(21zfzfzfzsn -級數級數(1)的和函數的和函數特殊情況，在級數特殊情況，在級數(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz當當稱為冪級數稱為冪級數并并不不失失一一般般性性。研研究究級級數數

7、中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2. 收斂定理收斂定理同實變函數一樣，復變冪級數也有所謂的收斂定理：同實變函數一樣，復變冪級數也有所謂的收斂定理：定理定理1 (阿貝爾阿貝爾(able)定理）定理）.,)0(000級級數數必必絕絕對對收收斂斂的的則則對對滿滿足足收收斂斂在在若若級級數數zzzzzzcnnn .,00級級數數必必發(fā)發(fā)散散的的則則對對滿滿足足發(fā)發(fā)散散若若級級數數在在zzzzz ,2,1 ,0,max00202010 nmzczczczccmnnnn故故取取 證明證明，即即則則收收斂斂0lim,)1(000 nnnnnnzczc nnzcnnn000，恒恒有有，1,0

8、0 qzzzz則則若若,00nnnnnnmqzzzczc ,0收收斂斂由由于于 nnmq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc絕對收斂。絕對收斂。 0nnnzc(2)用反證法，用反證法，收斂，收斂，有，有設設 01011,nnnzczzz！收收斂斂與與假假設設矛矛盾盾，得得證證知知由由 00)1(nnnzc3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑由由able定理，冪級數的收斂范圍不外乎下述定理，冪級數的收斂范圍不外乎下述三種情況：三種情況：(i)若對所有正實數都收斂，級數若對所有正實數都收斂，級數(3)在復平面上處在復平面上處處收斂。處收斂。(ii )除除z=0外，對所有的正實數都

9、是發(fā)散的，這時，外，對所有的正實數都是發(fā)散的，這時， 級數級數(3)在復平面上除在復平面上除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散使使得得收收斂斂使使得得 nnnnnncciii .)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數數外外，級級在在圓圓周周收收斂斂；內內，級級數數定定理理，在在圓圓周周由由 zczcable顯然，顯然， 否則，級數否則，級數(3)將在將在 處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色，將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍色， 逐漸變逐漸變大，在大，在c c 內部都是紅色內部都是紅色, , 逐漸變逐漸變小，在小，在c c 外部都是藍外部都是藍色，色，紅、藍色不

10、會交錯。紅、藍色不會交錯。故故藍藍兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅、一一定定,rzcr ：rrca ( (i) )冪級數在收斂圓內部收斂，在收斂圓外冪級數在收斂圓內部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。要具體分析。定義定義這個紅藍兩色的分界圓周這個紅藍兩色的分界圓周cr叫做冪級數的叫做冪級數的收斂圓；這個圓的半徑收斂圓；這個圓的半徑r叫做冪級數的收斂半徑。叫做冪級數的收斂半徑。(ii)冪級數冪級數(3)的收斂范圍是以的收斂范圍是以0為中心，半徑為為中心，半徑為r的圓域；冪級數的圓域；冪級數(2)的收斂范圍是以的收斂范

11、圍是以z0為中心為中心,半徑半徑為為r的圓域的圓域.4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法的的收收斂斂半半徑徑求求法法，有有關關于于冪冪級級數數)3(0 nnnzc根值法根值法 000/1limrcnnn，則則若若比值法比值法 000/1lim1rccnnn，則則若若例例1的收斂范圍及和函數。的收斂范圍及和函數。求冪級數求冪級數 nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 時，時，當當., 0lim1級級數數發(fā)發(fā)散散時時，當當 nnzz 綜上綜上 .1;111,0時時當當發(fā)發(fā)散散時時當當且且和和函函數數為為收收斂

12、斂zzzznn例例2 求下列冪級數的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形求下列冪級數的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnznnncc1lim 1)1(lim pnnn1 r,1時時當當 z,1時時當當 z,)1(1 nnn級級數數為為,11 nn級級數數為為該級數收斂該級數收斂該級數發(fā)散該級數發(fā)散p=1p=2,1上上在在圓圓周周 z 1122,1nnnnnz是是收收斂斂的的該級數在收斂圓上是該級數在收斂圓上是處處處處收斂的。收斂的。5. 冪級數的運算和性質冪級數的運算和性質q代數運算代數運算2010)()(rrzgzbrrzfzannnnnn 設設rzzg

13、zfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(21rrr 其中：其中：rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-冪級數的加、減運算冪級數的加、減運算-冪級數的乘法運算冪級數的乘法運算rzgrzzgrzzazfnnn )()(,)(0內內解解析析，且且在在設設rzzgazgfnnn 0)()(-冪級數的代換冪級數的代換(復合復合)運算運算a 冪級冪級數的代換運數的代換運算在函數展算在函數展成冪級數中成冪級數中很有用很有用.例例3.)(10abazcbznnn 這這里里，復復常常數數的的冪冪級級數數，表表成成形

14、形如如把把解解)()(11abazbz 代換代換 abzgabazab1)(11111rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122 abzgabazababazbz1)(11111)()(11razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代換代換展開展開還原還原q分析運算分析運算定理定理4rzzfzcnnn )(0設設.)()(內內解解析析在在rzzfi rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()( )(zdzcdzzcdzzfiiincnncnnnc 00)(

15、)(-冪級數的逐項求導運算冪級數的逐項求導運算-冪級數的逐項積分運算冪級數的逐項積分運算 0101)(nnnznzcdf 或或razcrz ,& 1. 泰勒展開定理泰勒展開定理& 2. 展開式的唯一性展開式的唯一性& 3. 簡單初等函數的泰勒展開式簡單初等函數的泰勒展開式4.3 泰勒泰勒(taylor)級數級數1. 泰勒泰勒(taylor)展開定理展開定理現在研究與此相反的問題：現在研究與此相反的問題：一個解析函數能否用冪級數表達一個解析函數能否用冪級數表達?(或者說或者說,一個解析函數能否展開成冪級數一個解析函數能否展開成冪級數? 解析函解析函數在解析點能否用冪級數表

16、示？）數在解析點能否用冪級數表示？）由由4.24.2冪級數的性質知冪級數的性質知:一個冪級數的和函數在一個冪級數的和函數在它的收斂圓內部是一個解析函數。它的收斂圓內部是一個解析函數。以下定理給出了肯定回答：以下定理給出了肯定回答：任何任何解析函數解析函數都一定都一定能用冪級數表示。能用冪級數表示。定理（泰勒展開定理）定理（泰勒展開定理）,2, 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfrzzdzrdzdzfnnnnn其其中中時時當當上上各各點點的的最最短短距距離離的的邊邊界界到到為為內內解解析析在在區(qū)區(qū)域域設設級數的處在taylorzzf0)(dk 0z rz

17、kdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析：分析：代入代入(1)得得dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比較較)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得證！得證！nnnzzzf)()

18、()(0010 收收斂斂圓圓周周上上. .只只能能在在收收斂斂半半徑徑還還可可以以擴擴不不然然的的話話, ,不不可可能能在在收收斂斂圓圓外外, ,奇奇點點又又不不可可能能在在收收斂斂圓圓內內. .所所以以奇奇點點圓圓內內解解析析在在收收斂斂這這是是因因為為在在收收斂斂圓圓上上, , 奇奇點點因因此此, ,大大, ,)()2(zfa 000,)()()(zrzfzrtalorzzfzf即即之之間間的的距距離離, ,的的最最近近的的一一個個奇奇點點到到等等于于從從展展開開式式的的收收斂斂半半徑徑的的在在解解析析點點那那么么有有奇奇點點, ,若若( (1 1) )2. 展開式的唯一性展開式的唯一性結

19、論結論 解析函數展開成冪級數是唯一的，就是它解析函數展開成冪級數是唯一的，就是它的的taylor級數級數。利用泰勒級數可把解析函數展開成冪級數，這樣利用泰勒級數可把解析函數展開成冪級數，這樣的展開式是否唯一？的展開式是否唯一？級數為：時當taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-間接法間接法直接通過計算系數直接通過計算系數:由展開式的唯一性，運用級數的代數運算、分由展開式的唯一性，運用級數的代數運算、分 析運算和析運算和 已知函數的展開式來展開已知函數的展開式來展開函數展開成函數展開成taylor級數的方法：級數的方法：), 2

20、 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn.!3!21), 2 , 1 , 0(1)(3200)( renzzzzeneeznzzzznz該該級級數數的的收收斂斂半半徑徑在在復復平平面面上上解解析析3. 簡單初等函數的泰勒展開式簡單初等函數的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求talorzzzezfz 例例1 解解 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 rzz它們的半徑它們的半徑在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212!)!12()1(!)!12

21、(221kkkkkkkzkzii 1121753!)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzza 上述求上述求sinz, cosz展開式的方法即為間接法展開式的方法即為間接法.例例2 把下列函數展開成把下列函數展開成 z 的冪級數的冪級數:)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn(2)由冪級數逐項求導性質得：由冪級數逐項求導性質得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01)3(逐逐項項積積分分得

22、得的的展展開開式式兩兩邊邊沿沿將將的的路路徑徑內內任任意意取取一一條條從從在在收收斂斂圓圓cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1定理定理.)()()2(.)()()() 1 (0000冪級數內可展成在內解析在區(qū)域函數冪級數的某一鄰域內可展成在解析在點函數dzfdzfzzczzfzzfnnn解析在點小結：0)(zzf級級數數。的的某某一一鄰鄰域域內內可可展展成成冪冪在在點點。正正向向封封閉閉路路線線的的積積分分為為鄰鄰域域內內的的任任一一條條的的某某一一鄰鄰域域內內連連續(xù)續(xù)且且沿沿在在點點方方程程。且且滿滿足足導導數

23、數的的某某一一鄰鄰域域內內有有連連續(xù)續(xù)偏偏的的實實部部和和虛虛部部在在點點的的某某一一鄰鄰域域內內可可導導。在在點點0000)()4(0)()3()()2()()1(zzfzzfrczzfzzf &1. 函數展開成雙邊冪級數函數展開成雙邊冪級數&2. 展開式的唯一性展開式的唯一性4.4洛朗洛朗(laurent)級數級數 由由4.34.3 知知, f (z) 在在 z0 解析解析，則，則 f (z)總可以總可以在在z0 的某一個圓域的某一個圓域 z - z0r 內內展開成展開成 z - z0 的冪級數。的冪級數。若若 f (z) 在在 z0 點不解析點不解析，在在 z0的鄰域中就

24、不可能展開成的鄰域中就不可能展開成 z - z0 的冪級數，但如果在圓環(huán)域的冪級數，但如果在圓環(huán)域 r1z - z0 r2 內解析，內解析，那么，那么，f (z)能否用能否用級數表示呢？級數表示呢？例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(內內處處處處解解析析及及圓圓環(huán)環(huán)域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10時時當當 )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz時時當當 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在r 1z - z0r2 內解

25、析內解析, , f (z) 可可以展開成級數，只是這個級數含有負冪次項以展開成級數，只是這個級數含有負冪次項,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz 本節(jié)將討論在以本節(jié)將討論在以z 0為中心的圓環(huán)域內解析為中心的圓環(huán)域內解析的函數的級數表示法。它是后面將要研究的解的函數的級數表示法。它是后面將要研究的解析函數在析函數在孤立奇點孤立奇點鄰域內的性質以及定義鄰域內的性質以及定義留數留數和計算留數的基礎。和計算留數的基礎。1. 雙邊冪級數雙邊冪級數-含有正負冪項的級數含有正負冪項的級數定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnn

26、zzczzcczzczzczzc-雙邊冪級數雙邊冪級數正冪項正冪項(包括常數項包括常數項)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常數都是常數及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn負冪項部分負冪項部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc級數級數(2)是一冪級數，設收斂半徑為是一冪級數，設收斂半徑為r2 ， 則級數則級數在在 z - z0 = =r2 內收斂，且和為內收斂，且和為s(z)+; 在在z - z0=r 2外發(fā)散。外發(fā)散。 則則若若令令對對于于級級數數,1),3(0zz 級級數數發(fā)發(fā)散散。級級數數收收斂斂則則當當設設

27、其其收收斂斂半半徑徑為為為為冪冪級級數數級級數數對對變變數數rrr ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc )4(,11,1100則則級級數數代代回回得得將將令令rrzzzz .;)(,1010發(fā)發(fā)散散當當且且和和為為收收斂斂當當rzzzsrzz z0r1r2有有公公共共收收斂斂域域21rr z0r2r1無無公公共共收收斂斂域域21rr 。且和且和收斂收斂稱稱，此時，此時，區(qū)域即圓環(huán)域：區(qū)域即圓環(huán)域：有公共收斂有公共收斂及及時，級數時，級數當且僅當當且僅當 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcrzzrrrnnn.)()4(2010以以逐逐項項求

28、求積積和和逐逐項項求求導導和和函函數數是是解解析析的的而而且且可可內內的的在在級級數數rzzrzzcnnn a 02100)3(zzrr：，收收斂斂域域為為此此時時可可以以可可以以。，發(fā)發(fā)散散處處處處稱稱時時當當 nnnzzcrr)()1(021(2)(2)在圓環(huán)域的邊界在圓環(huán)域的邊界z - z0=r1, z - z0 =r2上上, , nnnzzc。點點收收斂斂，有有些些點點發(fā)發(fā)散散可可能能有有些些)(01. 函數展開成雙邊冪級數函數展開成雙邊冪級數定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的的任任何何一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線內內繞繞是是其

29、其中中則則內內解解析析在在設設zdcndzzzzficzzczfrzzrdzfcnnnnn 級級數數內內的的在在稱稱為為laurentrzzrdzf201:)( 展展開開式式內內的的在在稱稱為為laurentrzzrdzf201:)( 證明證明 由復連通域上的由復連通域上的cauchy 積分公式：積分公式：dz0r1r2rrk1k2d1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 記為記為i1記為記為i2，時時，當當1002 zzzk ，時時，當當記記為為1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfii 的的推推導導得得：重重

30、復復 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfii :,2)(1逐項積分得逐項積分得并沿并沿兩邊乘以兩邊乘以kif 式式(*1),(*2)中系數中系數cn的積分分別是在的積分分別是在k2， k1上進上進行的，在行的，在d內取繞內取繞z0的簡單閉曲線的簡單閉曲線c，由復合閉路，由復合閉路定理可將定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：寫成統(tǒng)一式子：), 2, 1, 0()

31、()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0證畢！證畢！級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分。洛朗級數的解析部分和主要部分。a .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內不是處處內不是處處在在相同相同形式上與高階導數公式形式上與高階導數公式系數系數時時當當czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在許多實際應用中，經常遇到在許多實際應用中，經常遇到f (z)在奇點在奇點 z0的鄰域內解析，需要把的鄰域內解析，需要把f (z)展成級數，那么展成級數，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ laurent ）級

32、數來展開。）級數來展開。級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為級數中正整次冪部分和負整次冪部分分別稱為洛朗級數的解析部分和主要部分。洛朗級數的解析部分和主要部分。2. 展開式的唯一性展開式的唯一性結論結論 一個在某一一個在某一圓環(huán)域內解析圓環(huán)域內解析的函數展開為含的函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是有正、負冪項的級數是唯一的，這個級數就是f (z)的洛朗級數。的洛朗級數。事實上事實上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfrzzrdzf可可表表示示為為內內解解析析，在在設設 nnnzaf)()(0 dz0r1r2cczdc 的的簡簡單單閉閉曲曲線線，內內任任何何一一

33、條條繞繞為為設設0的的正正向向積積分分得得：并并沿沿為為任任一一整整數數將將上上式式兩兩邊邊乘乘以以cpzp),()(110 dz0r1r2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級級數數就就是是展展開開成成級級數數在在圓圓環(huán)環(huán)域域內內解解析析的的函函數數由由此此可可知知laurent nnnzaf)()(0 a 由唯一性，將函數展開成由唯一性，將函數展開成laurent級數，可級數，可用間接法。在大都數情況，均采用這一簡便的方用間接法。在大都數情況，均采用這一簡便的方法求函數在指定圓環(huán)域內的法求函數在指定圓環(huán)域內的laure

34、nt展開式，只有展開式，只有在個別情況下，才直接采用公式在個別情況下，才直接采用公式(5)求求laurent系系數的方法。數的方法。.03級級數數內內展展開開成成在在將將laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01級級數數內內展展成成在在將將laurentzez nttntte!1! 2112在在復復平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z ! 4! 31! 211123nzzzzzn例例4級級數數。的的內內展展開開成成（在在以以下下圓圓環(huán)環(huán)域域將將laurentzziiiziizizzzf02)(;21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn沒沒有有奇奇點點2112111