用二分法求方程的近似解47461

1、復(fù)習(xí)思考復(fù)習(xí)思考：1. 零點的定義零點的定義2.零點的存在性定理零點的存在性定理3.求函數(shù)零點的方法求函數(shù)零點的方法 對于函數(shù)對于函數(shù) ，我們把使，我們把使 的的實實 數(shù)數(shù) 叫作函數(shù)叫作函數(shù) 的零點。的零點。( )yf x( )0f x x( )yf x（幾何法）（幾何法）將它與函數(shù)將它與函數(shù) 的圖象聯(lián)系的圖象聯(lián)系起來起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點 。( )yf x( )0f x （代數(shù)法）求方程（代數(shù)法）求方程 的實數(shù)根；的實數(shù)根； 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上的圖象是上的圖象是連續(xù)連續(xù)不斷一條曲線不斷一條曲線，并且有，并且有f(

2、a)f(b)0f(a)f(b)0，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)內(nèi)有零點有零點。即存在。即存在c(a,b)c(a,b)，使得使得f(cf(c)=0)=0，這個，這個c c也就是方程也就是方程f(x)=0f(x)=0的根。的根。有有12個球個球,其中有一個比別的球重其中有一個比別的球重,你用天平你用天平稱幾次可以找出這個球稱幾次可以找出這個球?次數(shù)越少越好次數(shù)越少越好 。v第一次第一次,兩端各放兩端各放6個個,低的那端有重球。低的那端有重球。v第二次第二次,兩端各放兩端各放3個個,低的那端有重球。低的那端有重球。v第三次第三次,兩端個放兩端個放1

3、個個,如果平了如果平了,剩下的那剩下的那個就是個就是,否則低的那端那個就是否則低的那端那個就是! 在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪在一個風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條指揮部的電話線路發(fā)生了故障。這是一條10km長長的線路，如何迅速查出故障所在？的線路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多。每查一個點要爬一次電線桿子，每查一個點要爬一次電線桿子，10km長，大約有長，大約有200多根電線桿子呢。多根電線桿子呢。 想一想，維修線路的工人師傅要怎樣工作才想一想，維修線路的工人師傅要怎樣工

4、作才能最快把故障可能發(fā)生的范圍縮小到能最快把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50100m左右，即一兩根電線桿附近，要檢查多少次？左右，即一兩根電線桿附近，要檢查多少次？f(x)=lnx+2x-62 3已知函數(shù)在區(qū)間， 內(nèi)有零點，如何求出這個零點?26f( x)lnxx求函數(shù)的零點例例1：求方程：求方程lnx+2x-6=0的近似解的近似解(精確度為精確度為0.0 1)。思路：如果能夠?qū)⒘泓c所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點的近似值。所以所以x=2.53125為函數(shù)為函數(shù)f(x)=lnx+2x-6在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)的零點近似內(nèi)的零點近似值，也即方程值，也即方程lnx=2x

5、6的近似解的近似解x12.53。解：函數(shù)解：函數(shù)f(x)lnx+2x6在區(qū)間（在區(qū)間（2,3）內(nèi)有零點。）內(nèi)有零點。用計算器計算得：用計算器計算得：f(2.5)0 x1(2.5,3)f(2.5)0 x1(2.5,2.5625)f(2.53125)0 x1(2.53125,2.5625)f(2.53125)0 x1(2.53125,2.546875) f(2.5)0 x1(2.5,2.625)f(2)0 x1(2,3) f(2.5)0 x1(2.5,2.75)2.53906252.531250.0781250.01f(2.53125)0 x1(2.53125,2.5390625)例例1：求方程：

6、求方程lnx+2x-6=0的近似解的近似解(精確度為精確度為0.0 1)。二分法原理二分法原理: 對于在區(qū)間對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷上連續(xù)不斷且且f(a)f(b)0的函數(shù)的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把，通過不斷地把函數(shù)函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間的零點所在的區(qū)間一分為二一分為二，使，使區(qū)間的區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做零點近似值的方法叫做二分法二分法。給定精確度，用二分法求函數(shù)零點給定精確度，用二分法求函數(shù)零點x0的步驟：的步驟：v1：確定初始區(qū)間：確定初始區(qū)間a,b，驗證，驗證f(a)f(b)0v2：求區(qū)間：求區(qū)間a,b的中點的中

7、點x1v3：計算：計算：f(x1)判斷：判斷：v(1)如果如果f(x1)=0，則，則x1就是就是f(x)的零點，計算終止的零點，計算終止;v(2)如果如果f(a)f(x1)0，則令，則令a=x1(此時零點此時零點x0(x1,b)中中)v4：判斷是否達(dá)到精確度：判斷是否達(dá)到精確度：若達(dá)到，則得到零點近似值：若達(dá)到，則得到零點近似值是是(a,b)區(qū)間內(nèi)的一點；否則重復(fù)區(qū)間內(nèi)的一點；否則重復(fù)24步驟。步驟。2ba 利用二分法求方程實數(shù)解的過程利用二分法求方程實數(shù)解的過程選定初始區(qū)間選定初始區(qū)間取區(qū)間的中點取區(qū)間的中點中點函數(shù)值為中點函數(shù)值為0 0 找出新的端點異號區(qū)間找出新的端點異號區(qū)間n n結(jié)束結(jié)

8、束是是否否是是1.1.初始區(qū)間是一個兩端初始區(qū)間是一個兩端函數(shù)值符號相反的區(qū)間，函數(shù)值符號相反的區(qū)間，初始區(qū)間長度盡量小初始區(qū)間長度盡量小, ,一般通過作圖來控制其一般通過作圖來控制其區(qū)間長度。區(qū)間長度。2.2.新的端點異號區(qū)間，新的端點異號區(qū)間，其中一個端點是原區(qū)其中一個端點是原區(qū)間端點，另一個端點間端點，另一個端點是原區(qū)間的中點。是原區(qū)間的中點。中點函數(shù)值為中點函數(shù)值為0 0中點函數(shù)值為中點函數(shù)值為0 0中點函數(shù)值為中點函數(shù)值為0 0是是是是結(jié)束結(jié)束是是n n n n n n否否3.“n”3.“n”的意思是方程的意思是方程的解滿足要求的精確度。的解滿足要求的精確度。例例2.2.求方程求方程x x2 22x2x1=01=0的一個近似解的一個近似解( (精確到精確到0.10.1）解：設(shè)解：設(shè)f(xf(x) ) x x2 22x2x1 1，先畫出函數(shù)圖象的簡圖，先畫出函數(shù)圖象的簡圖， 因為因為f(2)=-10 f(2)=-10 ，所以方程的一個解，所以方程的一個解x x1 1在（在（2,32,3）內(nèi)）內(nèi)23取2與3的平均數(shù)2.5，因為f(2.5)=0.250所以方程的解x1 （2，2.5）如此繼續(xù)下去，得：f(2.25)0 x1 (2.25,2.5)f(2.375)0 x1 (2.375,2.5)f(2.375)0 x1 (2.375,2.4375)所以此方程滿足要求