第十六章差分方程模型

1、第十六章 差分方程模型離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型涉及的范圍很廣，可以用到各種不同的數(shù)學(xué)工具。下面我們對(duì)差分方程作一簡(jiǎn)單的介紹，下一章我們將介紹馬氏鏈模型。§1 差分方程1.1 差分方程簡(jiǎn)介規(guī)定只取非負(fù)整數(shù)。記為變量在點(diǎn)的取值，則稱為的一階向前差分，簡(jiǎn)稱差分，稱為的二階差分。類似地，可以定義的階差分。由及的差分給出的方程稱為的差分方程，其中含的最高階差分的階數(shù)稱為該差分方程的階。差分方程也可以寫成不顯含差分的形式。例如，二階差分方程也可改寫成。滿足一差分方程的序列稱為差分方程的解。類似于微分方程情況，若解中含有的獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于差分方程的階數(shù)時(shí)，稱此解為該差分方程的通解。若解中不含任意常數(shù)，則

2、稱此解為滿足某些初值條件的特解。稱如下形式的差分方程 （1）為階常系數(shù)線性差分方程，其中是常數(shù)，。其對(duì)應(yīng)的齊次方程為 （2）容易證明，若序列與均為（2）的解，則也是方程（2）的解，其中為任意常數(shù)。若是方程（2）的解，是方程（1）的解，則也是方程（1）的解。方程（1）可用如下的代數(shù)方法求其通解：（I）先求解對(duì)應(yīng)的特征方程 （3）（II）根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方程（2）的通解。（i）若特征方程（3）有個(gè)互不相同的實(shí)根，則齊次方程（2）的通解為 （為任意常數(shù)）（ii）若是特征方程（3）的重根，通解中對(duì)應(yīng)于的項(xiàng)為，為任意常數(shù)。（iii）若特征方程（3）有單重復(fù)根，通解中對(duì)應(yīng)它們的項(xiàng)為，其中為的模

3、，為的幅角。（iv）若是特征方程（3）的重復(fù)根，則通解對(duì)應(yīng)于它們的項(xiàng)為為任意常數(shù)。（III）求非齊次方程（1）的一個(gè)特解。若為方程（2）的通解，則非齊次方程（1）的通解為。求非齊次方程（1）的特解一般要用到常數(shù)變易法，計(jì)算較繁。對(duì)特殊形式的也可使用待定系數(shù)法。例如，當(dāng)，為的次多項(xiàng)式時(shí)可以證明：若不是特征根，則非齊次方程（1）有形如的特解，也是的次多項(xiàng)式；若是重特征根，則方程（1）有形如的特解。進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求出，從而得到方程（1）的一個(gè)特解。例1 求解兩階差分方程。解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，其特征根為，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為原方程有形如的特解。代入原方程求得，故原方程的通解為 例2 在

4、信道上傳輸僅用三個(gè)字母且長(zhǎng)度為的詞，規(guī)定有兩個(gè)連續(xù)出現(xiàn)的詞不能傳輸，試確定這個(gè)信道容許傳輸?shù)脑~的個(gè)數(shù)。解 令表示容許傳輸且長(zhǎng)度為的詞的個(gè)數(shù)，通過簡(jiǎn)單計(jì)算可求得：，。當(dāng)時(shí)，若詞的第一個(gè)字母是或則詞可按種方式完成；若詞的第一個(gè)字母是，則第二個(gè)字母是或，該詞剩下的部分可按種方式完成。于是，得差分方程，其特征方程為特征根 ，則通解為，利用條件，求得 ，在應(yīng)用差分方程研究問題時(shí)，我們常常需要討論解的穩(wěn)定性。對(duì)常系數(shù)非齊次線性差分方程（1），若不論其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解中任意常數(shù)如何取值，在時(shí)總有，則稱方程（1）的解是穩(wěn)定的。根據(jù)通解的結(jié)構(gòu)不難看出，非齊次方程（1）穩(wěn)定的充要條件為其所有特征根的模均小于1。

5、1.2 常系數(shù)線性差分方程的變換解法常系數(shù)線性差分方程采用解析解法比較容易，而且對(duì)其解的意義也容易理解，但采用這種解法求解常系數(shù)線性非齊次差分方程比較繁瑣，通常是采用變換，將差分方程變換為代數(shù)方程去求解。設(shè)有離散序列，則的變換定義為 （4）其中是復(fù)變量。顯然上式右端的級(jí)數(shù)收斂域是某個(gè)圓的外部。的反變換記作 1.2.1 幾個(gè)常用離散函數(shù)的變換（i）單位沖激函數(shù)的變換 即單位沖激函數(shù)的變換為1。（ii）單位階躍函數(shù)的變換 ，即 （iii）單邊指數(shù)函數(shù)的的變換（為不等于1的正常數(shù)） 1.2.2 變換的性質(zhì)（i）線性性質(zhì)設(shè)，則其中為常數(shù)。收斂域?yàn)楹偷墓矃^(qū)域。（ii）平移性設(shè)，則 ， ， ， 例3 求

6、齊次差分方程，的解。解 令，對(duì)差分方程取變換，得 ， ，對(duì)上式取反變換，便得差分方程的解為 。§2 蛛網(wǎng)模型2.1 問題提出在自由競(jìng)爭(zhēng)的社會(huì)中，很多領(lǐng)域會(huì)出現(xiàn)循環(huán)波動(dòng)的現(xiàn)象。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，可以從自由集市上某種商品的價(jià)格變化看到如下現(xiàn)象：在某一時(shí)期，商品的上市量大于需求，引起價(jià)格下跌，生產(chǎn)者覺得該商品無利可圖，轉(zhuǎn)而經(jīng)營(yíng)其它商品；一段時(shí)間之后，隨著產(chǎn)量的下降，帶來的供不應(yīng)求又會(huì)導(dǎo)致價(jià)格上升，又有很多生產(chǎn)商會(huì)進(jìn)行該商品的生產(chǎn)；隨之而來的，又會(huì)出現(xiàn)商品過剩，價(jià)格下降。在沒有外界干擾的情況下，這種現(xiàn)象將會(huì)反復(fù)出現(xiàn)。如何從數(shù)學(xué)的角度來描述上述現(xiàn)象呢？2.2 模型假設(shè)（i）設(shè)時(shí)段商品數(shù)量為，其價(jià)格

7、為。這里，把時(shí)間離散化為時(shí)段，一個(gè)時(shí)期相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)周期。（ii）同一時(shí)段的商品的價(jià)格取決于該時(shí)段商品的數(shù)量，把 （5）稱之為需求函數(shù)。出于對(duì)自由經(jīng)濟(jì)的理解，商品的數(shù)量越多，其價(jià)格就越低，故可以假設(shè)：需求函數(shù)為一個(gè)單調(diào)下降函數(shù)。（iii）下一時(shí)段商品數(shù)量由上一個(gè)時(shí)段的商品的價(jià)格決定，把 （6）稱之為供應(yīng)函數(shù)。由于價(jià)格越高可以導(dǎo)致產(chǎn)量越大，故可假設(shè)供應(yīng)函數(shù)是一個(gè)單調(diào)上升的函數(shù)。2.3 模型求解在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)的圖形，設(shè)兩條曲線相交于，則為平衡點(diǎn)。因?yàn)榇藭r(shí)，若某個(gè)，有，則可推出，即商品的數(shù)量保持在，價(jià)格保持在，不妨設(shè)，下面考慮在圖上的變化。如下圖所示，當(dāng)給定后，價(jià)格由上

8、的點(diǎn)決定，下一時(shí)段的數(shù)量由上的點(diǎn)決定，又可由上的點(diǎn)決定。依此類推，可得一系列的點(diǎn)，圖上的箭頭表示求出的次序，由圖知：，即市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)將趨于穩(wěn)定。并不是所有的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)都趨于穩(wěn)定，若給定的與的圖形如下圖所示，得出的就不趨于，此時(shí)，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨向不穩(wěn)定。上兩圖中的折線形似蛛網(wǎng)，故把這種模型稱為蛛網(wǎng)模型。在進(jìn)行市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)分析中，取決于消費(fèi)者對(duì)某種商品的需要程度及其消費(fèi)水平，取決于生產(chǎn)者的生產(chǎn)、管理等能力。當(dāng)已經(jīng)知道需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)之后，可以根據(jù)和的性質(zhì)判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。利用結(jié)論：當(dāng)較小時(shí)，點(diǎn)的穩(wěn)定性取決于與在點(diǎn)的斜率，即當(dāng) （7）時(shí)，點(diǎn)穩(wěn)定，當(dāng) （8）時(shí)，點(diǎn)不穩(wěn)定。這一結(jié)論的直觀解釋是：需求曲線

9、越平，供應(yīng)曲線越陡，越有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。設(shè)，在點(diǎn)附近取與的線性近似，由（5），（6）式得 （9） （10）上兩式中消去，得 （11）（11）式對(duì)均成立，有 以上個(gè)式子相加，有 （12）此為（11）式的解。若是穩(wěn)定點(diǎn)，則應(yīng)有： 結(jié)合（12）式考慮，點(diǎn)穩(wěn)定的條件是 （13） 即同理，點(diǎn)不穩(wěn)定的條件是 （14）即 此時(shí)，。這與（7），（8）式是一致的。2.4 模型的修正在上面模型假設(shè)的第（iii）點(diǎn)中引進(jìn)了供應(yīng)函數(shù)，并且知道取決于管理者的生產(chǎn)、管理水平。如果生產(chǎn)者的管理水平更高一些，他們?cè)跊Q定該商品生產(chǎn)數(shù)量時(shí)，不僅考慮了前一時(shí)期的價(jià)格，而且也考慮了價(jià)格。為了簡(jiǎn)化起見，不妨設(shè)由決定，則供應(yīng)函數(shù)可寫成 在

10、附近取線性近似，則有 （15）由（9）式有 將上兩式代入（15）式，整理得，這是一個(gè)二階線性差分方程，其特征方程為經(jīng)計(jì)算，可得其特征根 （16）結(jié)論：若方程的特征根均在單位圓內(nèi)，即，則為穩(wěn)定點(diǎn)。 當(dāng)時(shí)，（16）式有兩個(gè)實(shí)根，因 ，則有，故此時(shí)不是穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，（16）式有兩個(gè)共軛復(fù)根，此時(shí) 要使為穩(wěn)定點(diǎn)，只需 與（13）式相比，與的范圍擴(kuò)大了。這是由于經(jīng)營(yíng)者經(jīng)營(yíng)管理水平的提高帶來的結(jié)果。§3 商品銷售量預(yù)測(cè)在利用差分方程建模研究實(shí)際問題時(shí)，常常需要根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)并用最小二乘法來擬合出差分方程的系數(shù)。其系統(tǒng)穩(wěn)定性討論要用到代數(shù)方程的求根。對(duì)問題的進(jìn)一步研究又常需考慮到隨機(jī)因素的影響，從而

11、用到相應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)。例4 某商品前5年的銷售量見表?，F(xiàn)希望根據(jù)前5年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第6年起該商品在各季度中的銷售量。 年份季度第一年 第二年 第三年 第四年 第五年1234 11 12 13 15 16 16 18 20 24 25 25 26 27 30 32 12 14 15 15 17從表中可以看出，該商品在前5年相同季節(jié)里的銷售量呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，而在同一年中銷售量先增后減，第一季度的銷售量最小而第三季度的銷售量最大。預(yù)測(cè)該商品以后的銷售情況，根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特征，可以用回歸分析方法按季度建立四個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，分別用來預(yù)測(cè)以后各年同一季度的銷售量。例如，如認(rèn)為第一季度的銷售量大體按線性增長(zhǎng)，

12、可設(shè)銷售量，由x=1:5',ones(5,1);y=11 12 13 15 16'z=xy求得，。根據(jù)，預(yù)測(cè)第六年起第一季度的銷售量為，。由于數(shù)據(jù)少，用回歸分析效果不一定好。如認(rèn)為銷售量并非逐年等量增長(zhǎng)而是按前一年或前幾年同期銷售量的一定比例增長(zhǎng)的，則可建立相應(yīng)的差分方程模型。仍以第一季度為例，為簡(jiǎn)單起見不再引入上標(biāo)，以表示第年第一季度的銷售量，建立形式如下的差分公式： 或 等等。上述差分方程中的系數(shù)不一定能使所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合，較為合理的辦法是用最小二乘法求一組總體吻合較好的數(shù)據(jù)。以建立二階差分方程為例，選取使最小。編寫Matlab程序如下：y0=11 12 13 15 16&

13、#39;y=y0(3:5);x=y0(2:4),y0(1:3),ones(3,1);z=xy求得，。即所求二階差分方程為。雖然這一差分方程恰好使所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合，但這只是一個(gè)巧合。根據(jù)這一方程，可迭代求出以后各年第一季度銷售量的預(yù)測(cè)值，等。上述為預(yù)測(cè)各年第一季度銷售量而建立的二階差分方程，雖然其系數(shù)與前5年第一季度的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完全吻合，但用于預(yù)測(cè)時(shí)預(yù)測(cè)值與事實(shí)不符。憑直覺，第六年估計(jì)值明顯偏高，第七年銷售量預(yù)測(cè)值甚至小于第六年。稍作分析，不難看出，如分別對(duì)每一季度建立一差分方程，則根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)擬合出的系數(shù)可能會(huì)相差甚大，但對(duì)同一種商品，這種差異應(yīng)當(dāng)是微小的，故應(yīng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立一個(gè)共用于各個(gè)季度

14、的差分方程。為此，將季度編號(hào)為，令或等，利用全體數(shù)據(jù)來擬合，求擬合得最好的系數(shù)。以二階差分方程為例，為求使得 最小，編寫Matlab程序如下：y0=11 16 25 12 12 18 26 14 13 20 27 15 15 24 30 15 16 25 32 17'y=y0(9:20);x=y0(5:16),y0(1:12),ones(12,1);z=xy求得，故求得二階差分方程，根據(jù)此式迭代，可求得第六年和第七年第一季度銷售量的預(yù)測(cè)值為 ，還是較為可信的。§4 遺傳模型隨著人類的進(jìn)化，人們?yōu)榱私沂旧膴W妙，越來越重視遺傳學(xué)的研究，特別是遺傳特征的逐代傳播，引起人們更多的

15、注意。無論是人，還是動(dòng)植物都會(huì)將本身的特征遺傳給下一代，這主要是因?yàn)楹蟠^承了雙親的基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)⒋_定后代所表現(xiàn)的特征。下面，我們來研究?jī)煞N類型的遺傳：常染色體遺傳和鏈遺傳。根據(jù)親體基因遺傳給后代的方式，建立模型，利用這些模型可以逐代研究一個(gè)總體基因型的分布。4.1 常染色體遺傳模型常染色體遺傳中，后代從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)Γ驅(qū)σ卜Q為基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因和控制的，那么就有三種基因?qū)Γ洖?。例如，金魚草由兩個(gè)遺傳基因決定花的顏色，基因型是的金魚草開紅花，型的開粉紅色花，而型的開白花。又如人類眼睛的顏色也是通過常染色體遺傳

16、控制的?；蛐褪腔虻娜耍劬樽厣?，基因型是的人，眼睛為藍(lán)色。這里因?yàn)楹投急硎玖送煌獠刻卣?，我們認(rèn)為基因支配基因，也可以認(rèn)為基因?qū)τ趤碚f是隱性的。當(dāng)一個(gè)親體的基因型為，而另一個(gè)親體的基因型是時(shí)，那么后代可以從型中得到基因，從型中或得到基因，或得到基因。這樣，后代基因型為或的可能性相等。下面給出雙親體基因型的所有可能的結(jié)合，以及其后代形成每種基因型的概率，如下表所示。父體母體的基因型后代基因型11/201/40001/211/21/200001/41/21例5 農(nóng)場(chǎng)的植物園中某種植物的基因型為和。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過若干年后，這種植物的任一代的

17、三種基因型分布如何？（a）假設(shè)令。（i）設(shè)和分別表示第代植物中，基因型為和的植物占植物總數(shù)的百分率。令為第代植物的基因型分布：當(dāng)時(shí) 表示植物基因的初始分布（即培育開始時(shí)的分布），顯然有（ii）第代的分布與第代的分布之間的關(guān)系是通過上面的表格確定的。（b）建模根據(jù)假設(shè)（ii），先考慮第代中的型。由于第代的型與型結(jié)合，后代全部是型；第代的型與型結(jié)合，后代是型的可能性為；而第代的型與型結(jié)合，后代不可能是型。因此當(dāng)時(shí) 即 （17）類似可推出 （18） （19）將（17），（18），（19）式相加，得根據(jù)假設(shè)（i），有 對(duì)于（17），（18），（19）式，我們采用矩陣形式簡(jiǎn)記為 ， （20）其中 由（2

18、0）式遞推，得 （21）（21）式給出第代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。 編寫如下Matlab程序：syms n a0 b0 c0M=sym('1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0');p,lamda=eig(M);x=p*lamda.n*p(-1)*a0;b0;c0；x=simple(x)求得 （22）當(dāng)時(shí)，所以從（22）式得到，即在極限的情況下，培育的植物都是型。（c）模型的討論若在上述問題中，不選用基因型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三種基因型的概率如下表所示。父體母體的基因型后代基因型11/4001/2001/41并且，其中編寫

19、如下Matlab程序：syms n a0 b0 c0M=sym('1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1');p,lamda=eig(M);x=p*lamda.n*p(-1)*a0;b0;c0;x=simple(x)求得 （23）當(dāng)時(shí)，。因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅具有基因和。4.2 常染色體隱性病模型現(xiàn)在世界上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的遺傳病有將近4000種。在一般情況下，遺傳病與特殊的種族、部落及群體有關(guān)。例如，遺傳病庫利氏貧血癥的患者以居住在地中海沿岸為多，鐮狀網(wǎng)性貧血癥一般流行在黑人中，家族黑蒙性白癡癥則流行在東歐猶太人中間?；颊呓?jīng)常未到成年就痛苦

20、地死去，而他們的父母則是疾病的病源。假若我們能識(shí)別這些疾病的隱性患者，并且規(guī)定兩個(gè)隱性患者不能結(jié)合（因?yàn)閮蓚€(gè)隱性患者結(jié)合，他們的后代就可能成為顯性患者），那么未來的兒童，雖然有可能是隱性患者，但決不會(huì)出現(xiàn)顯性特征，不會(huì)受到疾病的折磨?，F(xiàn)在，我們考慮在控制結(jié)合的情況下，如何確定后代中隱性患者的概率。（a）假設(shè)（i）常染色體遺傳的正常基因記為，不正?；蛴洖?，并以分別表示正常人，隱性患者，顯性患者的基因型。（ii）設(shè)分別表示第代中基因型為的人占總?cè)藬?shù)的百分比，記，（iii）為使每個(gè)兒童至少有一個(gè)正常的父親或母親，因此隱性患者必須與正常人結(jié)合，其后代的基因型概率由下表給出：父母的基因型后代基因型11

21、/201/2（b）建模由假設(shè)（iii），從第代到第代基因型分布的變化取決于方程 所以，其中 如果初始分布已知，那么第代基因型分布為，。易知 （24）當(dāng)時(shí)，隱性患者逐漸消失。從（24）式中可知這說明每代隱性患者的概率是前一代隱性概率患者的。（c）模型討論研究在隨機(jī)結(jié)合的情況下，隱性患者的變化是很有意思的，但隨機(jī)結(jié)合導(dǎo)致了非線性化問題，超出了本章范圍，然而用其它技巧，在隨機(jī)結(jié)合的情況下可以把（24）式改寫為 （25）下面給出數(shù)值的例子：某地區(qū)有10%的黑人是鐮狀網(wǎng)性貧血癥隱性患者，如果控制結(jié)合，根據(jù)（24）式可知下一代（大約27年）的隱性患者將減少到5%；如果隨機(jī)結(jié)合，根據(jù)（25）式，可以預(yù)言下一

22、代人中有9.5%是隱性患者，并且可計(jì)算出大約每出生400個(gè)黑人孩子，其中有一個(gè)是顯性患者。4.3 鏈遺傳模型鏈遺傳是指雄性具有一個(gè)基因或，雌性具有兩個(gè)基因，或，或。其遺傳規(guī)律是雄性后代以相等概率得到母體兩個(gè)基因中的一個(gè)，雌性后代從父體中得到一個(gè)基因，并從母體的兩個(gè)基因中等可能地得到一個(gè)。下面，研究與鏈遺傳有關(guān)的近親繁殖過程。（a）假設(shè)（i）從一對(duì)雌雄結(jié)合開始，在它們的后代中，任選雌雄各一個(gè)成配偶，然后在它們產(chǎn)生的后代中任選兩個(gè)結(jié)成配偶。如此繼續(xù)下去。（ii）父體與母體的基因型組成同胞對(duì)，同胞對(duì)的形式有，六種。初始一對(duì)雌雄的同胞對(duì)，是這六種類型中的任一種，其后代的基因型如下表所示。父體母體的基因型后代基因型11/2011/2001/2101/2111/2000001/2111/2000001/21（iii）在每一代中，配偶的同胞對(duì)也是六種類型之一，并有確定的概率。為計(jì)算這些概率，設(shè)分