點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試練習(xí)題

1、1、點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)期末考試、單項(xiàng)選擇題（每題1分）已知2、3、已知4、5、已知6、7、已知Xa,b,c,d,e,下列集族中，(）是X上的拓?fù)?X,a, a,b, a,c,eTX, ,a,b,c, a,b,d, a,b,c,eX,a, a, bTX, ,a,b,c,d,e答案：a,b,c，下列集族中,()是X上的拓?fù)?X,a, a,b, cTX,a, a, b, a,cX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：Xa,b,c,d,下列集族中，（(）是X上的拓?fù)?X,a, a, b, a,c,dTX, ,a,b,c, a,b,dX,a, b, a,c,dTX, ,a,b答案：a,b,c，下列集族中

2、,()是X上的拓?fù)?X,b,c, a,bTX,a, b, a,b,a,cX,a, b, a,cTX,a, b, c答案：Xa,b,c,d,下列集族中，（(）是X上的拓?fù)?X,a,b, a,c,dTX, ,a,b, a,c,dX,a, b, a,c,dTX, ,a,c, a,c答案：a,b,c，下列集族中，()是X上的拓?fù)?X,a,b,b,cTX, ,a,b, b,cX, a, a, cTX,a,b,c答案：Xa,b,c,d，拓扌卜 TX,a,則b=()bb,c, d答案：8、已知Xa,b,Gd，拓?fù)?T X, ,a,則b,c,d=()©Xbb,c, d9、已知Xa,b，拓?fù)?T X,

3、 ,a,則a=()©Xab10、已知Xa,b，拓?fù)?T X, ,a,則b=()©Xab11、已知Xa,b,c, d，拓?fù)銽X, ,a,則a=()©Xa,bb,c,d答案：12、已知Xa,b,c,d，拓?fù)銽X, ,a,則c=()©Xa,cb,c, d答案：13、設(shè)X a,b,c,d，拓?fù)銽 X, ,a,b,c,d,則X的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)答案：答案：答案：14、設(shè) X a,b,c，拓?fù)銽X,a, b,c,則X的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為答案：15、設(shè) X a,b,c，拓?fù)銽X,b, b, c,則X的既開(kāi)又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為答案：16、設(shè) X a

4、,b，拓?fù)銽X,b,則X的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為(答案：17、設(shè) X a,b，拓?fù)銽X, ,a, b,則X的既開(kāi)又閉的子集的個(gè)數(shù)為(4 答案：18、設(shè) X a,b,c，拓?fù)?TX, ,a, b, a,b, b,c , X的既開(kāi)又閉的非空真子集個(gè)數(shù)4 答案：19、在實(shí)數(shù)空間中,有理數(shù)集Q的內(nèi)部QO是(R -Q R 答案:20、在實(shí)數(shù)空間中,有理數(shù)集Q的邊界(Q)是(QR -Q R答案：21、在實(shí)數(shù)空間中,整數(shù)集Z的內(nèi)部Zo是（R-ZR 答案:22、在實(shí)數(shù)空間中,整數(shù)集Z的邊界（Z）是（R-ZR答案:23、在實(shí)數(shù)空間中,區(qū)間0,1）的邊界是（0,10,1(0,1)答案：24、在實(shí)數(shù)空間中,區(qū)間2,

5、3）的邊界是（2,32,3(2,3)答案：25、在實(shí)數(shù)空間中,區(qū)間0,1）的內(nèi)部是（0,10,1(0,1)答案：26、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,d(AB) d(A) d(B)A, B是X的子集,則下列關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ A_B A Bd(AB) d(A) d(B)答案：27、設(shè) X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A,B是X的子集,則下列關(guān)系中正確的是（d(AB) d(A) d(B)d(AB) d(A) d(B)答案：28、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,A B是X的子集，則下列關(guān)系中正確的是（d(AB) A Bd(AB) d(A) d(B) d(d(A) A d(A)答案：29、已知X是一個(gè)離散拓?fù)淇臻g,A是X的子集，則下列結(jié)論

6、中正確的是（ d(A) d(A) d(A) d(A)答案：30、已知X是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g,若A ,則d（A）A是X的子集,則下列結(jié)論中不正確的是（若 A x0,則 d(A) X A若 A=x1,x2,則 d(A) X若A X ,則d（A） X答案：31、已知X是一個(gè)平庸拓?fù)淇臻g，A是X的子集,則下列結(jié)論中正確的是（若A ,則d（A）若 A xo,則 d(A) X若 A=xi,X2,則 d(A) XA 若 A x1,X2,則 d(A) A答案：32、設(shè) Xa,b,c,d，令 B a,b,c, c, d,則由B產(chǎn)生的X上的拓?fù)涫牵ǎ?X,a, b, c X, c, d, c, d X, c, a,

7、 b, c X, d, b, c, b, d, b, c, d答案：33、設(shè)X是至少含有兩個(gè)元素的集合，P X,T G X | p G 是X的拓?fù)洌瑒t（）1234答案：是T的基. x| x X B p,x| x X p B37、實(shí)數(shù)空間開(kāi)集38、實(shí)數(shù)空間©R39、在實(shí)數(shù)空間R中的任一單點(diǎn)集是（）閉集既開(kāi)又閉非開(kāi)非閉111 R的子集A =1,-,-,貝U A =234AU 0A答案：R中，下列集合是閉集的是（）答案：整數(shù)集a,b 有理數(shù)集 無(wú)理數(shù)集答案：40、在實(shí)數(shù)空間整數(shù)集Z無(wú)理數(shù)集R中，下列集合是開(kāi)集的是（ ） 有理數(shù)集整數(shù)集Z的補(bǔ)集Z答案：41、已知X 1,2,3上的拓?fù)銽 X,

8、 ,1,則點(diǎn)1的鄰域個(gè)數(shù)是（34、設(shè)Xa,b,c,則下列X的拓?fù)渲校?以SX, ,a為子基X, a,a, C X,1, aX, a,b, a,b X答案：35、離散空間的任-子集為（)開(kāi)集閉集即開(kāi)又閉非開(kāi)非閉答案：36、平庸空間的任非空真子集為（）開(kāi)集閉集即開(kāi)又閉非開(kāi)非閉答案：B B x| P,x| x Xx X p答案：42、已知X a,b,則X上的所有可能的拓?fù)溆校ǎ?1 個(gè)43、已知X =a, b, c,則X上的含有4個(gè)元素的拓?fù)溆校?3 5 7 9 3個(gè)答案：）個(gè)答案：44、設(shè)（X,T ）為拓?fù)淇臻g,則下列敘述正確的為 X T , T當(dāng)T T時(shí)，U UUTT時(shí),IUUT答案：45、在實(shí)

9、數(shù)下限拓?fù)淇臻gR中，區(qū)間a,b）是（ 開(kāi)集 閉集 既是開(kāi)集又是閉集 非開(kāi)非閉答案：46、設(shè) X 開(kāi)集 閉集 既是開(kāi)集又是閉集 非開(kāi)非閉答案：47、設(shè) X1,2,3 , T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)洌珹 1,2,則X的子空間A的拓?fù)錇? ) ,2, 1,2 T ,X,1,2, 1,2 T ,A,1,2 T ,X,1,2答案：48、設(shè) X 1,2,3 , T=,X,1,2,1,3,1,2是X的拓?fù)洌珹 1,3,則X的子空間A的拓?fù)?T ,1,3, 1,3 T ,A,1 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：49、設(shè) X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X

10、的拓?fù)?A 2,3,則X的子空間A的拓?fù)錇?) T ,3,2,3 ,A,2,3 T ,X,2,3,2,3 T ,X,3答案：50、設(shè) X 1,2,3, T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)?A 1,則X的子空間A的拓?fù)錇?T ,1 T ,A,1,2 T ,X,1,3, 1,3 T ,X,1答案：是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A, B X ,且滿(mǎn)足d（A） B A,則B是（ ）51、設(shè) X 1,2,3 ,T= ,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)洌珹 2,則 X 的子空間 A 的拓?fù)錇?) T ,2, 1,2 T ,A T ,X,2 T ,X,1,2答案：52、設(shè) X 1,2,3 , T=

11、,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓?fù)洌珹 3,則 X 的子空間 A 的拓?fù)?T ,2, 1,2 T ,X,1,3 T ,X,3 T ,3答案：53、設(shè)R是實(shí)數(shù)空間，Z是整數(shù)集，則R的子空間Z的拓?fù)錇椋ǎ?T ,Z T P(Z)T Z 答案：54、設(shè) X X1 X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,X6的積空間.P是X到Xi的投射，則（）單射滿(mǎn)的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：55、設(shè) X X1 X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,X6的積空間.P2是X到X2的投射，則P?是（） 單射滿(mǎn)的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：56、設(shè) X X1 X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,

12、X6的積空間.F3是X到X3的投射，則F3是（）單射滿(mǎn)的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：57、設(shè) X X1 X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,X6的積空間.P4是X到X4的投射，則F4是（）單射滿(mǎn)的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：58、設(shè) X X1 X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,X6的積空間.Ps是X到Xs的投射，則Ps是（ ）單射滿(mǎn)的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案：59、設(shè) X Xi X2X6是拓?fù)淇臻gXi,X2,L ,X6的積空間.Ps是X到X6的投射，則（）單射滿(mǎn)的連續(xù)閉映射連續(xù)的單射滿(mǎn)的連續(xù)開(kāi)映射答案:60、設(shè)X1和X2是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，X1 X2是它們的

13、積空間Xi，BX2，則有（ A B A B A B A B (A B)° A° B°(A B)（A）（B）答案：61、有理數(shù)集Q是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)（）不連通子集開(kāi)集連通子集以上都不對(duì)答案：）連通子集 以上都不對(duì)62、整數(shù)集Z是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)（不連通子集 開(kāi)集70、答案:63、無(wú)理數(shù)集是實(shí)數(shù)空間不連通子集開(kāi)集R的一個(gè)（）連通子集 以上都不對(duì)答案:Z 丫,64、設(shè)丫為拓?fù)淇臻gX的連通子集,Z為X的子集,若丫不連通子集連通子集 閉集 開(kāi)集答案：65、設(shè)Xi,X2是平庸空間，則積空間Xi X2是（離散空間不一定是平庸空間不連通空間 平庸空間 答案：66、設(shè)X1, X2是

14、離散空間，則積空間X1 X2是（離散空間不一定是離散空間平庸空間 答案：連通空間67、設(shè)Xi,X2是連通空間，則積空間Xi X2是（離散空間不一定是連通空間平庸空間 答案：連通空間68、實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為（）區(qū)間 以上都不對(duì)開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間 答案：69、實(shí)數(shù)空間R中的不少于兩點(diǎn)的連通子集開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間區(qū)間以上都不對(duì)答案：實(shí)數(shù)空間R中的連通子集E為（開(kāi)區(qū)間 閉區(qū)間區(qū)間區(qū)間或一點(diǎn)答案：下列敘述中正確的個(gè)數(shù)為（I）單位圓周S1是連通的;(n)R 0是連通的(m) R2 (0,0)是連通的(W) R2和R同胚1 2答案：1、設(shè)X a,b,則X的平庸拓?fù)錇榇鸢福篢 X, 2、設(shè)X a,b,則X的離散

15、拓?fù)錇榇鸢福篢 X, ,a,b3、同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)叫 在實(shí)數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集是4、 答案：拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).答案：R5、x d(A)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于x的每一鄰域U有答案:U (Ax)6、設(shè)A是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無(wú)限子集，則d(A) =答案：X7、設(shè)A是有限補(bǔ)空間中的一個(gè)無(wú)限子集，貝U A =答案：X設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則d(A) =答案:9、設(shè)A是可數(shù)補(bǔ)空間中的一個(gè)不可數(shù)子集，則答案：X10、設(shè) X 1,2,3,X 的拓?fù)?T X, ,2,2,3,則X的子集A1,2答案：211、設(shè) X 1,2,3 , X 的拓?fù)?T X, ,1,2,3,則X的子集A1,312、；答

16、案：1設(shè)X 1,2,3 , X的拓?fù)銽X, ,1,2,3,則X的子集A 1,2的內(nèi)部為答案:13、1設(shè)X 1,2,3 , X的拓?fù)銽X, ,2,2,3,則X的子集A 1,3的內(nèi)部答案:14、設(shè)X a,b,c,則X的平庸拓?fù)錇榇鸢福篢 X, 15、設(shè)X a,b,c,則X的離散拓?fù)錇?答案：TX,a, b, c, a,b, a,c, b,c16、設(shè) X 1,2,3 , X 的拓?fù)?TX, ,2,3,2,3X的子集A 1,3的內(nèi)部答案:17、設(shè)X 1,2,3 , X的拓?fù)銽X, ,1,3, 1,3，則X的子集A 1,2 的內(nèi)部答案:118、f :X 丫是拓?fù)淇臻gX到丫的一個(gè)映射，若它是一個(gè)單射，并且

17、是從X到它的象集f(X)的一個(gè)同胚，則稱(chēng)映射f是答案：嵌入19、f :X 丫是拓?fù)淇臻gX到丫的一個(gè)映射，如果它是一個(gè)滿(mǎn)射，并且丫的拓?fù)涫菍?duì)于映射f而言的商拓?fù)?，則稱(chēng)f是一個(gè)答案：商映射20、設(shè)X,丫是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f : X Y是一個(gè)映射，若X中任何一個(gè)開(kāi)集U的象集f (U)是丫中的一個(gè)開(kāi)集，則稱(chēng)映射f是一個(gè)答案：開(kāi)映射21、設(shè)X, Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f ：X Y是一個(gè)映射，若X中任何一個(gè)閉集U的象集f(U)是丫中的一個(gè)閉集，貝U稱(chēng)映射f是答案：閉映射22、若拓?fù)淇臻gX存在兩個(gè)非空的閉子集A,B,使得A B,A;答案：不連通空間23、若拓?fù)淇臻gX存在兩個(gè)非空的開(kāi)子集A,B,使得A B,A個(gè) ；

18、答案：不連通空間24、若拓?fù)淇臻gX存在著一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，則 X是一個(gè)25、設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，Z X滿(mǎn)足丫 Z 丫，則Z也是X的答案：不連通空間個(gè)； 答案：連通子集26、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，則稱(chēng)這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ;答案：在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)27、拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具有,則稱(chēng)這個(gè)性質(zhì)是一個(gè) ;答案：可商性質(zhì)28、 若任意n 1個(gè)拓?fù)淇臻gX1,X2,L ,Xn ,都具有性質(zhì)P,則積空間X1 X? LXn也具有性質(zhì)P，則性質(zhì)P稱(chēng)為； 答案：有限可積性質(zhì)29

19、、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集 A,B,使得A B一個(gè) ;答案：不連通空間.三.判斷(每題4分，判斷1分，理由3分) 1、.從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射 ()理由：設(shè)X是離散空間，丫是拓?fù)淇臻g，f ：X 丫是連續(xù)映射，因?yàn)閷?duì)任意A 丫，都有f 1(A) X ,由于X中的任何一個(gè)子集都是開(kāi)集，從而f 1(A)是 中的開(kāi)集，所以f ：X Y 是連續(xù)的.2、設(shè)Ti,T2是集合X的兩個(gè)拓?fù)洌怳 Ti T2不一定是集合X的拓?fù)?) 答案：X理由：因?yàn)?1) T1,T2是X的拓?fù)洌蔢,T1, X, T2,從而X, T1 T2 ；(2)對(duì)任意的A,B Ti T2,則有A

20、,B Ti且A,B T2,由于Ti, T2是X的拓?fù)?故 A B T1且 A B T2,從而 A B Ti T2；(3)對(duì)任意的T Ti T2，則TTi,TT2，由于Ti, T2是X的拓?fù)?，從而T'U T1,U T' U T2, 故 U T'U T 1 T2；綜上有Ti T2也是X的拓?fù)?3、從拓?fù)淇臻gX到平庸空間丫的任何映射都是連續(xù)映射()答案：V理由：設(shè)f:X 丫是任一滿(mǎn)足條件的映射，由于丫是平庸空間，它中的開(kāi)集只有Y, 易知它們?cè)趂下的原象分別是X,均為X中的開(kāi)集，從而f ：X 丫連續(xù).4、設(shè)A為離散拓?fù)淇臻gX的任意子集，則d A)答案 ： V理由：設(shè)P為X中的任

21、何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個(gè)子集都是開(kāi)集, 所以 P 是 X 的開(kāi)子集，且有 P I A P ，即 P d A , 從而 d(A)答案：5、設(shè)A為平庸空間X ( X多于一點(diǎn))的一個(gè)單點(diǎn)集，貝U d A理由：設(shè)A y,則對(duì)于任意x X,x y, x有唯一的一個(gè)鄰域X，且有 y X (Ax), 從而X (A x)，因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但對(duì)于y的唯一的鄰域X，有 X (Ay) , 所以有 d A X A6設(shè)A為平庸空間X的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，貝U d A X ()答案：V(A x)理由：對(duì)于任意x X,因?yàn)锳包含多于一點(diǎn)，從而對(duì)于x的唯一的鄰域X，且有X因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即xd(A)，所

22、以有d A X .7、設(shè) X 是一個(gè)不連通空間，則X中存在兩個(gè)非空的閉子集 A,B,使得A B,A B X()答案：V理由：設(shè)X是一個(gè)不連通空間,設(shè) A,B 是 X 的兩個(gè)非空的隔離子集使得 AB X , 顯然AI B ，并且這時(shí)有 :B B X (B A) (B B) B從而B(niǎo)是X的一個(gè)閉子集，同理可證A是X的一個(gè)閉子集，這就證明了 A,B滿(mǎn)足A B ,A B X .8、若拓?fù)淇臻gX中存在一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，則 X是一個(gè)不連通空間() V 理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)A是X中的一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集，令B A，則A,B都是X中的 非空閉子集，它們滿(mǎn)足A B X，易見(jiàn)A,B是隔離子集，所以拓?fù)淇?/p>

23、間X是一個(gè)不連通空.五.簡(jiǎn)答題(每題4分) 1、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A,B是X的子集，且A B.試說(shuō)明d(A) d(B).答案：對(duì)于任意x d(A),設(shè)U是x的任何一個(gè)鄰域，則有U (A x),由于A B，從而U (B x) U (A x) ，因此 x d(B)，故 d(A) d(B).2、設(shè)X,Y,Z都是拓?fù)淇臻g.f:X Y, g:Y Z都是連續(xù)映射，試說(shuō)明gof :X Z也是連續(xù)映射.答案：設(shè)W是Z的任意一個(gè)開(kāi)集，由于g：Y Z是一個(gè)連續(xù)映射，從而g 1(W)是丫的一個(gè)開(kāi)集，由f : X Y是連續(xù)映射,故 f 1(g 1(W)是 X 的一開(kāi)集，因此(gof)1(W) f 1(g 1(W)是

24、X的開(kāi)集，所以g o f : XZ是連續(xù)映射.3、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX.試說(shuō)明：若A是一個(gè)閉集，則A的補(bǔ)集A是一個(gè)開(kāi)集.答案：對(duì)于x A ,則x A，由于A是一個(gè)閉集，從而x有一個(gè)鄰域U使得U (A X)因此U A ，即U A,所以對(duì)任何x A, A是x的一個(gè)鄰域，這說(shuō)明A是一個(gè)開(kāi)集.4、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X.試說(shuō)明：若A的補(bǔ)集A是一個(gè)開(kāi)集，則A是一個(gè)閉集. 答案：設(shè)x A,則x A,由于A是一個(gè)開(kāi)集，所以A是x的一個(gè)鄰域，且滿(mǎn)足 A A ,因此x A,從而A A,即有A A，這說(shuō)明A是一個(gè)閉集.5、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:x yx,y (,1)或者 x,y 1,2)或者 x

25、,y 2,)設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集Y 0,1,2,試寫(xiě)出丫的商拓?fù)銽.答案：T ，丫,0,0,16、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：x yX, y (,1或者 X, y (1,2或者 X, y (2,)設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集 Y 1, 2, 3,試寫(xiě)出丫的商拓?fù)銽 .答案： T ,Y,3,2,37、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:x yx,y ( ,1)或者 x,y 1,2)或者 x,y 2, )設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集Y 1,1,2,試寫(xiě)出丫的商拓?fù)銽.答案: T ,Y, 1, 1,18、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系:x yx,y ( ,1)或者 x,y 1,2)或者 x,

26、y 2, )設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集Y 2,1,2,試寫(xiě)出丫的商拓?fù)銽.答案: T ,Y, 2,2,19、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：x yx,y ( ,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y(2, )設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集 Y 0,2,3, 試寫(xiě)出 Y 的商拓?fù)?T .答案: T ,Y,3,2,310、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：x yx,y ( ,1 或者 x, y (1,2 或者 x, y(2, )設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集 Y 0,2,4, 試寫(xiě)出 Y 的商拓?fù)?T .答案: T ,Y,4,2,411、在實(shí)數(shù)空間R中給定如下等價(jià)關(guān)系：x yx,y ( ,1 或

27、者 x, y (1,2 或者 x, y(2, )設(shè)在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下得到的商集Y 1,2,4,試寫(xiě)出丫的商拓?fù)銽 .答案：T ,Y,4,2,4六、證明題(每題8分) 1、設(shè)f :X Y是從連通空間X到拓?fù)淇臻g丫的一個(gè)連續(xù)映射.則f(X)是丫的一個(gè)連通子集.如果f(X)是丫的一個(gè)不連通子集，則存在丫的非空隔離子集A,B使得f(X)A B 于是f1(A), f 1(B)是X的非空子集，并且:(f 1(A)(f 1(A) f 1(Af 1(B)f 1(B) B)(A1(B) f(f 1(B)B)(f1(A) f 1(A)所以 f 1(A), f1(B)離子集f 1(A) f 1(B) f1(AB) f 1(f(X)這說(shuō)明X不連通，矛盾.從而f (X)是丫的個(gè)連通子集2、設(shè)丫是拓?fù)淇臻g丫 A B,則或者丫8分X的一個(gè)連通子集, A,