導數(shù)的幾何意義78812

1、小小 結(jié)結(jié):1212)()(xxxfxf函數(shù)函數(shù)f(x)從從x1到到x2的平均變化率：的平均變化率：習慣上記：xf1212)()(xxxfxf則平均變化率 可表示為x=x2- -x1f=f(x2)- -f(x1)xxfxxf)()(11則平均變化率為x2=x1 +x另一種形式平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何意義就是兩點間的斜率就是兩點間的斜率xxfxxfxyxx0000limlimxxfxxfxykkxxpqxpt)()(limlimlim00000 ttsttstsvtt00limlim一般地，一般地，函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是上式稱為函數(shù)上式稱為函

2、數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù)0 xxy記作：或 0 xf xxfxxfxyxfxx00000limlim即物體的運動方程物體的運動方程 s=s(t)在在t0處的導數(shù)處的導數(shù) 即在即在t0處的瞬時速度處的瞬時速度vt0函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x0處的導數(shù)處的導數(shù) 即曲線在即曲線在x0處的切線斜率處的切線斜率 求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)的方法是：處的導數(shù)的方法是： 00 xfxxfyxxfxxfxy00 xyxfx00lim(2)求平均變化率(3)取極限,得導數(shù)(1)求函數(shù)的增量第三章 導數(shù)及其應(yīng)用yxo3x2x1xqpqq)(xfy t再來一次yxo)(xfy p

3、相切相交再來一次直線直線pq的斜率為的斜率為xyxxxyyyxxyykpqpqpq0000)()(pq無限靠近切線無限靠近切線ptxykkxpqxpt00limlim相應(yīng)的 , y=f(x)在點p( x0,f(x0) )處的切線方程為：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義,就是000 xxxfyy曲線y=f(x)在點p(x0,f(x0)處的切線的斜率例例1、如圖，它表示跳水運動中高度隨時、如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)間變化的函數(shù)h(t)=- -4.9t2+6.5t+10的圖象。的圖象。根據(jù)圖象，請描述、比較曲線根據(jù)圖象，請描述、比較曲線h(t)在在t0,t1,t2附近的變化

4、情況。附近的變化情況。解：我們用曲線h(t)在t0,t1,t2處的切線， 刻畫曲線h(t)在上述三個時刻附近的 變化情況。(1) 當t=t0時,曲線h(t)在t0處的切線l0平行 于x軸. 所以,在t=t0附近曲線比較平坦,幾乎沒有下降. (2) 當t=t1時,曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率 h(t1)0. 所以,在t=t1附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減. (3) 當t=t2時,曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率 h(t2)0. 所以,在t=t2附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t2附近也單調(diào)遞減. 與t2相比,曲線在t1附近下降得緩慢些.例例2、如圖，它表示人體血

5、管中藥物濃度、如圖，它表示人體血管中藥物濃度c=f(t)(單位：單位：mg/ml)隨時間隨時間t(單位：單位：min)變化的函數(shù)圖象。根據(jù)圖象，估計變化的函數(shù)圖象。根據(jù)圖象，估計t=0.5,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化率時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到精確到0.1)00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/ml)解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化 率，就是藥物濃度f(t)在此時刻的導數(shù)。作t=0.5處的切線,它的斜率約為00) 5 . 0 ( f所以,作t=0.8處的

6、切線,它的斜率約為-1.55 . 1) 8 . 0( f所以,因此在t=0.5和0.8處藥物濃度的瞬時變化率分別為0和-1.5. 求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)的方法是：處的導數(shù)的方法是： 00 xfxxfyxxfxxfxy00 xyxfx00lim(2)求平均變化率(3)取極限,得導數(shù)(1)求函數(shù)的增量例例3 3、某物體的運動方程為某物體的運動方程為s(t)=5t2（位移單位：（位移單位：m，時間單位：，時間單位：s）求它在求它在 t2 2s 時的速度時的速度. .解: 因為22252025)2( 5tttstts520從而20)520(limlim)2(00ttsstt所以例

7、例4、已知曲線、已知曲線 上一點上一點 求：點求：點p處的切線的斜率；處的切線的斜率； 點點p p處的的切線方程處的的切線方程 331xy 38,2p解: 點p處的切線的斜率即 在x=2處的導數(shù).331xy 323124xxx33231)2(31xf因為23124xxxf從而4)3124(limlim)2(200 xxxffxx所以點p處的的切線方程點p處的切線的斜率是4.)2(438xy3164 xy即直線練習1、求曲線 在點m(3,3)處的 切線的斜率及傾斜角xy9斜率為-1,傾斜角為135練習2、判斷曲線 在（1，-）處 是否有切線，如果有， 求出切線的方程.221xy 12有,切線的方程為21 xy注注: 學了導數(shù)的運算后學了導數(shù)的運算后, 此類題有更簡單的解法此類題有更簡單的解法.處的導數(shù)在是求函數(shù)00)()(xxxfyxf如果將x0改為x,則求得的是)(xfy被稱為函數(shù)y=f(x)的導函數(shù).)(xfy如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個x(a,b)，都對應(yīng)著一個確定的導數(shù) ，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù) 。稱這個函數(shù) 為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)導函數(shù)，簡稱導數(shù)導數(shù)，也可記作 ，即)(/xf)(/xf)(/xf/y)(/xf/yx