14微積分公式

1、 14 函數(shù)的極限函數(shù)的極限二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限極限的通俗定義、極限的幾何意義、極限的局部保號(hào)性、極限的精確定義、左右極限極限的通俗定義、極限的精確定義、極限的幾何意義、水平漸近線一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量的變化趨勢(shì)： x x0，x x0-0，x x0+0，x ，x -，x +0limxxf (x)=a或f (x) a(當(dāng)x x0)函數(shù)極限的通俗定義： 在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，如果對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 f(x)無(wú)限接近于某一確定的常數(shù)a，那么這個(gè)確定

2、的常數(shù)a就叫做在這一變化過(guò)程中函數(shù)f(x)的極限當(dāng)x x0時(shí)，f(x)以 a為極限記為分析： 當(dāng)xx0時(shí)，f(x) a當(dāng)|x-x0| 0 時(shí)，|f (x)-a|能任意小任給e 0， 當(dāng)|x-x0|小到某一時(shí)刻，有|f (x)-a|0， 存在d 0， 使當(dāng)|x-x0| d 時(shí) ，有|f (x)-a|0， d0， x：0|x-x0|d ，有|f (x)-a|e 0limxx函數(shù)極限的精確定義： 設(shè)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義如果對(duì)于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小)，總存在正數(shù)d，使得對(duì)于適合不等式0|x-x0|d的一切x ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x)都滿足不等式|f (x)-a|0，

3、 d0， 使當(dāng)0|x-x0|d 時(shí)，有|f (x)-a|e 的幾何意義： 若 f (x)=a，0limxx因此對(duì)于任意給定的正數(shù)e ，任意取一正數(shù)d ， 當(dāng)0|x-x0|d 時(shí)，都有|f (x)-a|=|c-c|=0e成立，所以舉例： 證明: 這里|f(x)-a|=|c-c|=0，.lim0ccxx= 例 1 證明0limxxc=c成立|f (x)- a|=|x- x0| e當(dāng) 0|x- x0| d=e 時(shí)，總可取d=e ，因此對(duì)于任意給定的正數(shù)e ， 能使不等式所以.lim00 xxxx= 證明：這里|f(x)- a|=|x- x0|， 例 2 證明0limxxx=x0|f(x)-1|=|(

4、2x-1)-1|=2|x-1|e ，使當(dāng)0|x-1|d時(shí)，有只要 |x-1| 0，d = 0， 2e所以. 1) 12(lim1=-xx 分析： |f(x)-a|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，為了使|f(x)-a|0 ， d =e 0 ，所以只需 |x-1|d ，即取d = e |f(x)- 2|=|x-1|e ，使當(dāng)0|x-1|d ，有112-xx |f (x)- 2|= | -2|=|x+1-2|=|x-1|，要使|f (x)-2|e ，. 211lim21=-xxx 分析：注意函數(shù)在x=1是沒(méi)有定義的 但這與函數(shù)在該點(diǎn)是否有極限并無(wú)關(guān)系 例 4 證明211lim21=-xxxay

5、=f (x)x0o yxa-ea+ex0+dx0-d取0e0(或 a0(或f(x)0， 取正數(shù)e a，根據(jù)極限的定義， 對(duì)于這個(gè)取定的正數(shù)e ，必存在著一個(gè)正數(shù)d ，當(dāng)0|x- x0|d 時(shí)，不等式 |f(x)-a|e , 或a-e f (x)0 定理定理 1 如果0limxxf(x)=a，而且 a0(或 a0(或f(x)21|a| 定理定理 1 如果0limxxf(x)=a，而且 a0(或 a0(或f(x)0)極限的局部保號(hào)性： 證明： 設(shè)f(x)0 假設(shè)上述論斷不成立，即設(shè)a0， 那么由定理 1 就有 x0 的某一去心鄰域 ， 在該鄰域內(nèi) f(x)0， d0， x： x0- d xx0，有

6、|f (x)-a|+=0， x 0， x: |x|x，有 | f (x)-a|x的一切x，對(duì)應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)-a|e，則常數(shù)a叫做函數(shù)f (x)當(dāng)x 時(shí)的極限極限的精確定義： 結(jié)論：axfx=)(lim)(limxfx-axfxx=+)(lim00y=f (x)o xy-xxa-ea+ea極限xlimf (x)=a 的定義的幾何意義：所以 01lim=xx 證明：. 01ex解不等式得 ，ex時(shí)，要證存在正數(shù)x， 分析：設(shè)e是任意給定的正數(shù)因?yàn)閷?duì)e0，x= ，e1使當(dāng)|x|x時(shí)，有 例 7 證明xlimx1=0水平漸近線：直線y=0是函數(shù)y = 的圖形的水平漸近線x1已知 01lim=xxxyo11xy1=如果 ，c