初中數(shù)學教學論文關于化歸思想的分析與應用

1、關于化歸思想的分析與應用【關鍵詞】化歸思想 化歸策略 化歸方法所謂化歸，就是轉(zhuǎn)化和歸結的意思，數(shù)學中的化歸方法就是將一個新的，有待解決的或者還沒解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，從而最終求得解答的一種手段或方法.化歸的方向可以簡述為：由未知化為已知，由困難化為容易，由繁瑣化為簡潔.在具體化歸的時候一般應遵循三個原則，分別是:熟悉性原則，簡單性原則，直觀性原則.也可以簡述為：把實際問題化為數(shù)學問題，把數(shù)學問題化為代數(shù)問題，把代數(shù)問題化為解方程的問題.義務教育大綱明確提出數(shù)學思想方法是數(shù)學基礎知識的重要組成部分以來，數(shù)學教學中如何挖掘課本中所蘊含的數(shù)學思想方

2、法、如何有效地進行數(shù)學思想方法教學、如何培養(yǎng)和發(fā)展學生的數(shù)學思想已經(jīng)成為數(shù)學教育工作者普遍關注和潛心探索的一項重要課題.在新課程中，化歸的思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩，在整個初中階段幾乎我們在解決新的問題都用了化歸的思想，將不熟悉的問題化歸為熟悉的問題，所以在教學的過程中我們應該從深層去揭示數(shù)學例題的實質(zhì)，讓學生從學習中去領悟數(shù)學思想去感受數(shù)學方法論，提高對數(shù)學的審美觀.新課標不同于過去的數(shù)學教學大綱，不再是一系列的知識點的羅列，而是把數(shù)學看成人類創(chuàng)造的“活生生”的思維活動，而不是“天上掉下來”的教條.數(shù)學內(nèi)涵豐富了，學生易于親近了，學習的積極性提高了，數(shù)學教學的效能也自然提高了.一、化歸在教

3、材中的滲透1、化歸思想在代數(shù)運算方面的滲透：有理數(shù)的運算：例：； 這是初中階段最基礎的有理數(shù)的運算，從這個例題中我們可以看出化歸在這里已經(jīng)體現(xiàn)出來了，我們學習有理數(shù)的運算是先學加法運算，而減法運算是通過化歸成已學習的加法來運算。同理，在學了乘法的基礎上如何計算除法呢，同樣我們將陌生的除法轉(zhuǎn)化為熟悉學過的乘法運算.解二元一次方程組分析：（1）式（2）式得2y=3, ,將代入（2）式得到利用消元解二元一次方程，實質(zhì)就是將不熟悉的二元一次方程組化歸為我們已經(jīng)熟悉的一元一次方程.分式方程整式化、無理方程有理化,實現(xiàn)新知識向已知知識塊的轉(zhuǎn)化 .教材中的分式方程按去分母后的形式分為可化為一元一次方程的分式

4、方式和可化為一元二次方程的分式方程，前者安排在七年級上，后者安排在八年級下。從此可以看出把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一已知的知識模塊是解分式方程的基本思路.初中教材中的無理方程基本上都可以通過對方程兩邊進行平方或是換元把它轉(zhuǎn)化為整式方程中的一元一次方程或是一元二次方程，從而使無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程這一已知的模塊，從而得到求解.2、化歸思想在幾何教學中的滲透與應用平面幾何從定義、定理到立體、習題等許多地方都體現(xiàn)出了化歸思想。在四邊形中研究有關邊、角的數(shù)量關系時，經(jīng)常通過作輔助圖形化歸成三角形的有關知識來解決，對正多邊形的有關計算可以化歸為直角三角形中的有關計算。學習正多邊形和圓的位置關系后，正多邊

5、形的作法可化歸成等分圓周來解決；求圓柱、圓錐的側(cè)面積可化歸為計算矩形、扇形面積等。以上這些都是化歸思想在教材中的體現(xiàn)。在新教材中，對圓周角定理的證明，就充分體現(xiàn)了化歸的思想方法.3、化歸思想在解析幾何教學中的滲透與應用在教學“函數(shù)及圖象”中的求兩直線的交點問題，化歸思想體現(xiàn)在以下方面：將求兩直線交點問題化歸為求方程組的解集.兩直線和的交點為（，），說明點（，）即在上又在上，故其坐標（，）即滿足的表達式，又滿足的表達式。所以同時滿足兩個方程的一對未知數(shù)的值和，就是兩表達式組成的方程組的解.所以在求直線交點的問題就可以化歸為求方程組解的問題了，從而對此類題目有了一個較明確、形象的理解，不再那么抽象

6、.二、化歸的策略1、變換的策略1.1、尋找恰當?shù)挠成洌▽P系）實現(xiàn)化歸，數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系有許多是映射.利用映射，可將待解決的問題轉(zhuǎn)化為另一問題. 笛卡爾通過建立坐標系，確定了平面上的點與有序?qū)崝?shù)對的一一對應關系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，創(chuàng)立了解釋幾何.由此我們可以把判斷點P（6，3）是否在拋物線上，變成判斷是否是方程的解；求直線與雙曲線交點問題，變成求方程組解的問題.1.2、代換.變量替換、換元、增量替換、等量代換都是特殊的映射變換. 例1、若a、b為互不相等的實數(shù)，且，則的值為        分析

7、：用變量x替換a、b.即根據(jù)條件的特殊結構，由方程解的定義可知：a、b是方程的兩個不等實根.由韋達定理得，。利用已知條件，把所求代數(shù)式變形，再整體代換2、轉(zhuǎn)換語義實現(xiàn)化歸策略 數(shù)學中，每一種數(shù)學語義（概念、關系等），一般都有一種確定的數(shù)學符號（式）表示，但不同的數(shù)學語義可能是由同一種數(shù)學符號（式）表示的.也就是說，一種數(shù)學符號（式），可作不同的語義解釋，如表示a與b差的絕對值，又表示數(shù)軸上a，b兩點的距離.語言是思維的載體，是思維的外部表現(xiàn)形式，同一種數(shù)學語義的內(nèi)容可以用文字語言、符號語言、邏輯語言、圖形語言、表格等不同的數(shù)學語言形式表示.因此，通過語義轉(zhuǎn)換，能使一個問題轉(zhuǎn)化為另一個

8、較簡單明了的問題.2.1、等價轉(zhuǎn)換將一種數(shù)學語言翻譯成另一種語言形式；或?qū)⒁环N形式意義翻譯成另一種形式意義，這種以對象“釋”對象，就是等價轉(zhuǎn)換。如點P在O上（R為O半徑）；兩圓外切（d為圓心距，R、r為兩圓半徑）；原命題等價于逆否命題.2.2、數(shù)形轉(zhuǎn)化數(shù)和形反映了事物的兩個方面，數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微.因此，在解決問題時，常要把同一數(shù)學對象進行代數(shù)釋意與幾何釋意，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的語義轉(zhuǎn)化.也就是說，將數(shù)（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究，通過數(shù)的計算去找圖形之間的聯(lián)系，用“數(shù)”的知識解決“形”的問題；根據(jù)條件畫圖形或結合所給圖形去尋找數(shù)之間的聯(lián)系，用“形”的知識解決“數(shù)”的問題

9、，這種數(shù)形結合的思想是解決數(shù)學問題的切入點.例2、ABC中，AB=AC=4，BD交AC于E，且CE=1。求 分析：根據(jù)題意，由AB=AC，可構造一個以A為圓心，AB為半徑的輔圓（如右圖，BDC為圓周角），直徑，由相交弦定理可知， 例3、 計算 分析：將邊長為1的正方形割取一半；第二次再將余下矩形割取一半依此分割（如圖），可以看出每次割取的部分（矩形）與余下的部分（矩形）面積相等。那么割取的各部分矩形面積之和應等于正方形的面積1減去最后一次余下的矩形面積。即           3、特殊

10、化與一般化的策略 3.1、特殊化 所謂特殊化就是將所論的數(shù)學事實“退”到屬于它的特殊狀態(tài)（數(shù)量或位置關系）下研究，從而達到研究一般狀態(tài)的目的，數(shù)學中常將變量換成常量，任意圖形換成特殊圖形或特殊位置，以獲取某種啟示，這是特殊化得具體體現(xiàn). 3.2、一般化 所謂一般化，就是將所論的具體數(shù)學問題，放在一般的狀態(tài)下進行思考，從而找到解決具體問題的思路.由特殊到一般，由一般到特殊，即由具體到抽象，由抽象到具體，它們互相制約，互相補充，是化歸法的另一個策略.例4 在RtABC中, 0,a,b,c為三邊長，求證： (n3)分析：在具體證明前，可先從具體，特殊性入手.當

11、n=3時，因為所以所以從而受此啟發(fā)?？梢缘玫阶C明方法是：因為例5、計算分析：數(shù)字較大，運算繁，不易發(fā)現(xiàn)隱含的一般性質(zhì)，設，則 原式 三、化歸的方法依據(jù)不同的標準，化歸方法可進行不同的分類，下面主要歸納幾種基本，重要且具體的化歸方法.1、變形法變形在初等數(shù)學中主要是恒等變形，有多項式的恒等變形，分式的恒等變形，無理式的恒等變形，通過變形實現(xiàn)由未知到已知，由難道易，由繁到簡的目的.例6.設.分析：本題若將x的值直接代入原式計算，將很繁瑣，若利用恒等變形進行化歸，可達到化繁為簡的妙處.由2、分解法所謂分解法就是把所要考慮的每一個問題，按照需要與可能，分成若干部分，使它們更容易求解

12、，在很多情況下，為使化歸過程完全實現(xiàn)，往往還要重新組合，數(shù)學家波利亞說過：“分解與組合是重要的智力活動，使其每一部份成為更易下手的問題.”在面積和體積的計算和證明中，經(jīng)常用到分解法，也稱為形體分割法，通過對形體的分割，以達到化歸的目的.例7，如圖，有一塊半圓形鋼板，直徑AB=20cm，計劃將此鋼板切割成下底為AB的等腰梯形，上底CD的端點在圓周上，且CD=10cm求圖中陰影部分的面積.OEBACD分析：陰影部分的面積是不規(guī)則的，要直接求是不可能的，陰影部分是一個弓形，所以我們可以直接分解：弓形面積=扇形面積-三角形面積即，S扇形DOCSDOC=S陰影3、映射法映射法，即關系，映射，反演方法（R

13、MI）這是現(xiàn)代數(shù)學研究中實現(xiàn)化歸的一種重要方法，與一般的化歸相比，這種化歸的方法達到了更高的抽象程度，這一方法也是我國著名數(shù)學家徐利治提出的.尋找恰當?shù)挠成洌▽P系）實現(xiàn)化歸，數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系有許多是映射。利用映射，可將待解決的問題轉(zhuǎn)化為另一問題。例8、已知：關于x的一元二次方程的一個根為，且二次函數(shù)的對稱軸是直線，則拋物線的頂點坐標為        分析：根據(jù)方程與函數(shù)的對應關系可知：方程的一個根為，那么，函數(shù)當自變量時，函數(shù)值 即點（2，3）在拋物線上；又因為拋物線的對稱軸是直線，則（2，3）為拋物線的頂點

14、.縱觀整個初中數(shù)學教學，我們不難發(fā)現(xiàn)初中數(shù)學教材中有很多問題都是需要用化歸思想來解決，化歸思想在初中數(shù)學的學習中有著舉足輕重的作用，是一種非常重要的數(shù)學思想，所以在日常教學中應該落實和滲透化歸思想.認真鉆研教材，充分挖掘和掌握教材中所蘊涵的化歸思想方法.數(shù)學是一個有機整體，它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透，使之構成了縱橫交錯的立體空間，我們在研究數(shù)學問題的過程中，常需要利用這些聯(lián)系對問題進行適當轉(zhuǎn)化，使之達到簡單化、熟悉化的目的.要實施轉(zhuǎn)化，首先須明確轉(zhuǎn)化的一般原理，掌握基本的化歸思想和方法，并通過典型的問題加以鞏固和練習。因此，在平時的教學中，我們不斷要教會學生解題，通過仔細的觀察、分析，由問題的條件、圖形特征和求解目標的結構形式聯(lián)想到與其有關的定義、公式、定理、法則、性質(zhì)、數(shù)學解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關問題解法，由此不斷轉(zhuǎn)化，建立條件和結論之間的橋梁，從而找