2015年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷文科卷1及解析

1、、選擇題1 已知集合元素個(gè)數(shù)為(A) 52015 年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷文科卷 1A=xx=3n+2,N, B =6,8,10,12,14，則集合 相B中的)(B) 4(C) 3(D) 22已知點(diǎn)A(0,1), B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，則向量BC=()(A)(-7,4)(B)(7,4)(C)( -1,4)(D)(1,4)3已知復(fù)數(shù)z滿足(z-1)i =1 i，則(C)2-i(A) -2 - i(B)_2 i4如果 3 個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這(D)2 i3 個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取 3 個(gè)不同的數(shù),則這 3 個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率()(

2、A) 口219(B)2(C)10(D)12&函數(shù)f(x)二cos()的部分圖像如圖所示，則(A)(B)(C)(D)13(k,k),kZ4413(2 k,2k),kZ4413(k ,k ), k Z4413(2k-一，2k ),k Z449.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的(A)5(B)6(C)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為t = 0.01，則輸出的n =()10(D)12為()(A)105.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為(D)丄201, E 的右焦點(diǎn)與拋物線C : y2= 8x2的焦點(diǎn)重合,A, B是 C 的準(zhǔn)線與 E 的兩個(gè)交點(diǎn)，貝U AB =()(A)36九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐

3、富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi) 墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一) 米堆的高為 5 尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？ 1.62 立方尺，圓周率約為 3,估算出堆放的米有(A)14斛(B)22斛(C)36斛(D)(B)6(C)9(D)12，米堆底部的弧長(zhǎng)為 8 尺, 已知 1 斛米的體積約為)66斛7 已知an是公差為 1 的等差數(shù)列，Sn為an的前n項(xiàng)和，若S*= 4S4，則印。=10.已知函數(shù)f(x)f,xIIog2(x + 1),x1，且f (a =3，則f6 a =()53(B)(C)-4411.圓

4、柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，r=()(A)1(A)1(D)一二4r)組成一個(gè)幾何體，該幾何若該幾何體的表面積為16, 20：,則(B) 2(C) 4(D)812.設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像與科二f (-2) f (-4) =1，則a=()(A)-1二、填空題(B) 1(C) 2的圖像關(guān)于直線y - -x對(duì)稱，且(D)413 數(shù)列中a2,an= 2an,Sn為訂的前 n 項(xiàng)和，若S 126，則n =14 已知函數(shù)f x=ax3x 1的圖像在點(diǎn)1,f 1的處的切線過(guò)點(diǎn)2,7,則a二 .x y -2 _015若x,y滿足約束條件x -2y 1 _0,則

5、z=3x+y 的最大值為 _.2x - y 2 _0216 已知F是雙曲線C:x2- 1的右焦點(diǎn)，P 是 C 左支上一點(diǎn)，A0,6-,6，8當(dāng)APF周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為 _ 三、解答題17 (本小題滿分 12 分)已知a,b,c分別是ABC內(nèi)角 代B,C的對(duì)邊，2sin B =2sin AsinC.(i)若a= b，求cos B;(n)若B = 90：，且a =求ABC的面積18 (本小題滿分 12 分)如圖四邊形 ABCD 為菱形，G 為 AC 與 BD 交點(diǎn)，BE_ 平面ABCD,(I)證明：平面AEC平面BED;(n)若 ABC =120；,AE _ EC,三棱錐E - ACD的

6、體積為上6，求該三3棱錐的側(cè)面積19 .(本小題滿分 12 分)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了 解年宣傳費(fèi)x (單位：千元)對(duì)年銷售量 y (單位：t )和年利潤(rùn) z (單位：千元) 的影響，對(duì)近 8 年的宣傳費(fèi)為和年銷售量y(i=1,2,|,8 )數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值46.656.36.8289.81.61469108.8(i)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y二a，bx與y =，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；(n)根據(jù)(I)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y 關(guān)于 x 的回歸方程；(III )已知這種產(chǎn)品的

7、年利潤(rùn) z 與 x, y 的關(guān)系為z = 0.2yx，根據(jù)(n)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：(I)當(dāng)年宣傳費(fèi)x = 90時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？(n)當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(U1,W),(U2, V2),(Un,Vn),其回歸線V:U的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：n_為(Ui-u)(Vi-V)_-n，:=v -：u (Ui-u)21 =120.(本小題滿分12 分)已知過(guò)點(diǎn)A 1,0且斜率為 k 的直線 I 與圓 C：22x-2 y-3=1交于 M N 兩點(diǎn).(I)求 k 的取值范圍；T T(n)OM ON =12，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MN.21

8、 (本小題滿分 12 分)設(shè)函數(shù)f x=e2x-alnx.(i)討論f x的導(dǎo)函數(shù)X的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(n)證明：當(dāng)a 0時(shí)2f Xi2a a Ina22 (本小題滿分 10 分)選修 4-1 :幾何證明選講 如圖 AB 是 直徑，AC 是 切線，BC 交與點(diǎn) E.(I)若 D 為 AC 中點(diǎn)，求證：DE 是O0切線；(n) 若OA = 3CE，求一ACB的大小.23 .(本小題滿分 10 分)選修 4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程2 2在直角坐標(biāo)系xOy中，直線G : x = 2，圓C2:(x1 ) +(y 2 ) =1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 .(I)求G,C2的極坐標(biāo)方程

9、.n(n)若直線C3的極坐標(biāo)方程為R，設(shè)C2, C3的交點(diǎn)為M,N，求4C2MN的面積.24 .(本小題滿分 10 分)選修 4-5 :不等式選講已知函數(shù)f (x )= x +1 -2 x -a ,aA0.(I)當(dāng)a =1時(shí)求不等式f (x )A1的解集；(n)若f x圖像與 x 軸圍成的三角形面積大于 6,求 a 的取值范圍參考答案1.D【解析】試題分析：由條件知，當(dāng) n=2 時(shí)，3n+2=8,當(dāng) n=4 時(shí)，3n+2=14,故 AA B=8,14, 故選D.考點(diǎn)：集合運(yùn)算2.A【解析】T T T=(3,1 )，BC = AC AB=(-7,-4)，故選 A.考點(diǎn)：向量運(yùn)算3.C【解析】試題

10、分析：（z-1）i =1 i, z=L =（1門）=2 _i，故選 C.i-i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算4.C【解析】試題分析：從 1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取 3 個(gè)不同的數(shù)共有 10 種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有 3,4,5，故 3 個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1 種，故所求1概率為一，故選 C.10考點(diǎn)：古典概型5.B【解析】2試題分析：T拋物線C : y =8x的焦點(diǎn)為（2,0 ）,準(zhǔn)線方程為x = -2，橢圓 E 的右焦點(diǎn)為（2,0 ）,2 2橢圓 E 的焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)方程為 篤占=1（a b 0）, c=2,a b試題分析AB懇-OA |AB|=6，故選 B.所以米堆的3

11、-1.62疋22 ,故選 B.1解得a1=, a10= a1 9d2考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前& D【解析】試題分析：由五點(diǎn)作圖知，- +;45+:431f(x)二cosC x 4解得2k-vx4kZ，故選D.3v2k -,k Z,4考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)9. C. 2 2c 1222x y-e, -a = 4, -b =a - c =12, 橢圓 E 方程為1,a 216 12將 X = -2 代入橢圓 E 的方程解得 A （-2,3 ） , B （-2 , -3 ）, 考點(diǎn)：拋物線性質(zhì)；橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)6.B【解析】1試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為 r,則2 3r=8,所以4體積為

12、1- 3 （蘭）25=空，故堆放的米約為-3204 3399考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式7.B【解析】11試題分析：公差d=1,S8=4S4, 8a18 7 = 4(4 a14 3),221199,故選 B.22n 項(xiàng)和公式小JI,，,所以4）令2k二：:x 2k二二，k Z,413故單調(diào)減區(qū)間為（2k -，2k ）,445 次，S=S-m=0.03125,m = =0.015625,n=5,S=0.031252循環(huán),6 次，S=S-m=0.015625,m=衛(wèi)=0.0078125,n=6,S=0.015625 t=0.01,2是，循環(huán),m=0.00390625 ,n=7,S=0.0078

13、1252t=0.01,否，輸出 n=7,故選 C.考點(diǎn)：程序框圖10. A【解析】試題分析： f(a)二3,當(dāng)a乞1時(shí)，f (a) =2a，- 2，則2心二-1,此等式顯然不成立,當(dāng)a 1時(shí)，Tog2(a 1-3，解得a =7,- f(6 -a)二f(-1)= 2 -2=7，故選 A.4考點(diǎn)：分段函數(shù)求值；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)稱為(一y, -x),由已知知(一y,-x)在函數(shù)y = 2xQ的圖像上，.- x二2a,解得y=丨-o gx-(,a )即f (x) - - log2(-x) a,f(-2) f(-4) - - log22 a-log24 a = 1，解得a=2，故選 C.考點(diǎn)

14、：函數(shù)對(duì)稱；對(duì)數(shù)的定義與運(yùn)算13.6【解析】試題分析：a2,and-2an,數(shù)列訂鳥是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，.& = 2(2 ) =126 , 264,. n=6.1-2考點(diǎn)：等比數(shù)列定義與前n 項(xiàng)和公式14.1【解析】【解析】試 題 分t=0.01,S=1,n=O,m=析1=0.5,S=S-m=0.5,2mm=0.25, n=1,S=0.52 t=0.01,11 . B【解析】試題分析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為 r ,圓柱的高為 2r ,其表面積為是，循環(huán),執(zhí)行第2 次,S=S-m =0.25,執(zhí)行第 3 次, S=

15、S-m=0.125,執(zhí)行第 4 次, S=S-m=0.0625,mm=0.125, n=2,S=0.25 t=0.01,2二巴=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循環(huán),2m心=0.03125,n=4,S=0.0625 t=0.01,是，循是，循環(huán),|2 2 2 24二r亠，r 2r亠，r亠2r 2r=5二r4r=16 + 20 :2B.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的表面積公式；圓柱的測(cè)面積公式12. C【解析】，解得 r=2，故選環(huán),試題分析：設(shè)(x, y)是函數(shù)y=f(x)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線y = -x對(duì)執(zhí)行第 t=0.01,是，執(zhí)行第執(zhí)行第 7 次，S=S-m

16、=0.0078125,m2試題分析：f(x)=3ax 1 ,. f (13a 1，即切線斜率k = 3a T,8故a2+ c2= 2ac，得c = a = 2.所以DABC 的面積為 1.勺+少一7又:f （1） =a 2, 切點(diǎn)為（1,a 2）,切線過(guò)（2,7 ），/.a 2_7=3a 1,1-2解得a=1.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線；常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；15.4【解析】試題分析：作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線I。:3x 0，平移x + y _2=0直線Io,當(dāng)直線I:z=3x+y 過(guò)點(diǎn) A 時(shí)，z 取最大值，由解得 A（ 1,1 ）,（x_2y十1=0z=3x+y 的最大值為

17、 4.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃解法16.12.6【解析】試題分析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線定義知，| PF 2 |PF1|,APF的周長(zhǎng)為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a | PF1|+|AF|=|PA|+| PF |+ |AF|+2a,由于2a | AF |是定值，要使 APF 的周長(zhǎng)最小，則|PA|+| PF1|最小，即 P、A、11S，APF= SAFF_SPFF1=6 6、66 2；6=12、6.22考點(diǎn)：雙曲線的定義；直線與雙曲線的位置關(guān)系；最值問(wèn)題11（） 1417. (I)【解析】試題分析:2（I）先由正弦定理將sin B = 2sin AsinC化為變得關(guān)系，結(jié)合

18、條件a二b，用其中一邊把另外兩邊表示出來(lái)，再用余弦定理即可求出角2余弦值；（n）由（I）知b =2ac,根據(jù)勾股定理和即可求出c,從而求出ABC的面積.試題解析：（I）由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a = b，可得b =2c,a =2c,由余弦定理可得cosB =a2+ c2- b22ac(n)由(1)知b2=2ac.因?yàn)锽 =90，由勾股定理得a2+c2= b2.F1共線,8考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理；運(yùn)算求解能力18.（I）見(jiàn)解析（n）3+2；5x： - -3代入x22.6也二1整理得y26、6y-96=0，解得y=2、6或y=-8-.6（舍），所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,6,【解析】試題分

19、析：（I）由四邊形 ABCD 為菱形知 ACABD,由 BEA平面 ABCD 知 ACABE, 由線面垂直判定定理知 ACA平面 BED 由面面垂直的判定定理知平面AEC -平面BED；（n）設(shè) AB=x，通過(guò)解直角三角形將 AG GC GB GD 用 x 表示直線AF1出來(lái)，在RtDAEC 中，用 x 表示 EG 在RtDEBG 中，用 x 表示 EB,根據(jù)條件三 棱錐E-ACD的體積為 丄6求出 X,即可求出三棱錐E - ACD的側(cè)面積.3試題解析：（I）因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，所以 ACABD,因?yàn)?BEA平面 ABCD 所以 ACABE,故 ACA平面 BED.又 ACi平面 A

20、EC 所以平面 AECA平面 BED訂3x(II)設(shè) AB=X，在菱形 ABCD 中 由DABC=120 ,可得 AG=GC 紅xGB=GD 22J3因?yàn)?AEAEC,所以在RtDAEC中，可得 EGx.2【解析】試題分析：（I）由散點(diǎn)圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（I）令. x,先求出建立y關(guān)于w的線性回歸方程，即可y關(guān)于x的回歸方程;（川）（i ）利用y關(guān)于x的回歸方程先求出年銷售量y的預(yù)報(bào)值，再根據(jù)年利率 z 與 x、y 的關(guān)系為 z=0.2y-x 即可年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值；（ii）根據(jù)（I）的 結(jié)果知，年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值，列出關(guān)于x的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法 即可

21、求出年利潤(rùn)取最大值時(shí)的年宣傳費(fèi)用.試題解析：（I）由散點(diǎn)圖可以判斷，y二c d. x適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回歸方程類型.先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于從而可得 AE=EC=ED=6.所以DEAC 的面積為 3,DEAD 的面積與DECD 的面積均為、5故三棱錐 E-ACD 的側(cè)面積為3+2 . 5.考點(diǎn)：線面垂直的判定與性質(zhì)；面面垂直的判定；三棱錐的體積與表面積的計(jì) 算；邏輯推理能力；運(yùn)算求解能力19.（I）y = c dX適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費(fèi)用x的回歸方程類型 y關(guān)于w的線性回歸方程為y二100.6 68w,y關(guān)于x的回歸方程為y= 100.6 68：.（川）（i ）

22、由（I）知，當(dāng)x=49 時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值y =100.6 68 49=576.6 ,z= 576.6 0.2-49 =66.32.（ii）根據(jù)（I）的結(jié)果知，年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值$ = 0.2(100.6 6&x)-x = -x 13.6 x 20.12,由 BEA平面 ABCD 知DEBG 為直角三角形，可得BE=x.由已知得，三棱錐 E-ACD 的體積VE-ACD3醋2ACGD?BE加于.8 _ _(Wi-w)( y- y)i 1d8-.二(Wj-w)iT108.8=68,16故x=2C = y - dw=563-68 X 6.8=100.6.(I)y =100.6 68.x

23、(川)46.24.當(dāng) 仮=空=6 8，即x =46.24時(shí)，Z取得最大值2故宣傳費(fèi)用為 46.24 千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.12 分考點(diǎn)： 非線性擬合； 線性回歸方程求法； 利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)； 應(yīng)用意 識(shí)(1 + k2)x2-4(k+1)x + 7 =0,所以捲+乂：二纟與公風(fēng)二二.1+k1+k24k(1+k)OM ?ON x1x2+ y1y2=1+k x-ix2+k x1+x2+1= +8,1+k20. (I)【解析】試題分析:(n) 23由題設(shè)可得4k(1+2k)+8=12，解得k=1，所以 I 的方程為y = x + 1.1 + k2(I)設(shè)出直線 I 的方程，利用圓心到直線

24、的距離小于半徑列出關(guān)故圓心在直線 I 上，所以|MN |=2.于 k 的不等式，即可求出 k 的取值范圍；(n)設(shè)M (xi, yi), Ng, y2)，將直考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；設(shè)而不求思想；運(yùn)算求解能力21. (I )當(dāng)a0時(shí)，fx)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，fx)存在唯一零點(diǎn).(n)線 I 方程代入圓的方程化為關(guān)于 x 的一元二次方程,利用韋達(dá)定理將x-|X2, y1y2用 k 表示出來(lái)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式及OMON =12列出關(guān)于 k見(jiàn)解析【解析】方程，解出 k,即可求出|MN|.試題分析：(I)先求出導(dǎo)函數(shù)，分a0與a0考慮fx的單調(diào)性及性質(zhì),試題解析：(I)由題設(shè)，可知直線

25、 I 的方程為=kx +1.即可判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù);(n)由(I)可設(shè)f致)在(0,+Y)的唯一零點(diǎn)為X。,因?yàn)镮與C交于兩點(diǎn)，所以12存11“根據(jù)X的正負(fù)，即可判定函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最小值， 即可證2明其最小值不小于2a+aln，即證明了所證不等式a試題解析：(I)f(x)的定義域?yàn)?0,+),f (x)=2 e2x- (x 0).所以k的取值范圍是琪蟲琪3當(dāng)a0時(shí)，fgx)0,fgx)沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，.a(n)設(shè)M (Xi, yj, NN y2).將y二kx+1代入方程(x- 2)+(y-3)2=1整理得-單調(diào)遞增，所以f (x)在(0,+)單調(diào)遞a1增.又f

26、(a)0,當(dāng) b 滿足0b且b 時(shí)，f (fe) 0時(shí)，44fgx)存在唯一零點(diǎn)3(n)由(I)，可設(shè)f fx)在(0,+丫)的唯一零點(diǎn)為xo，當(dāng)x?(0, xo)時(shí)，f (x) 0.故f(x)在(0, x0)單調(diào)遞減，在(x+Y)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x = x。時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f (xo).aoOO由于2e - =0，所以f (x0)= + 2ax0+ a In ? 2a a In .x02x0aa2故當(dāng)a 0時(shí)，f (x) ? 2a aln.a考點(diǎn)：常見(jiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則；函數(shù)的零點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像與 性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；運(yùn)算求解能力.22. (I)見(jiàn)解析(n)60【解析】試題分析：(I)由圓的切線性質(zhì)及圓周角定理知，AE BC, AC 丄 AB,由直角三角形中線性質(zhì)知 DE=DC OE=OB 利用等量代換可證/ DEC 丄 OEB=90，即/ OED=90 ,所以 DE 是圓 O 的切線；(n)設(shè) CE=1, 由OA=3CE得,AB=2,3,設(shè) AE=x，由勾股定理 得BE二2-X2，由直角三角 形射影定理可 得AE2=CELIBE，列出關(guān)于x的方程，解出x，即可求出/ ACB 的大小.試題解析：(I)連結(jié) AE,由已知得，AE! BC, AC 丄 AB,在 Rt AEC