2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4.1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定

1、24. 1 單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義4. 2 單位圓與周期性學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 了解單位圓與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系 2 掌握任意角的正弦、余弦的定義(重 點(diǎn))3 掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(重點(diǎn))4 了解周期函數(shù)的概念，理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)(難點(diǎn)).I課前預(yù)習(xí)I自壬學(xué)習(xí)話題淀基理知識點(diǎn) 1 任意角的正弦、余弦函數(shù)(1)單位圓在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，以單位長度為半徑的圓，稱為單位圓.(2)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義如圖，在直角坐標(biāo)系中，給定單位圓，對于任意角a,使角a的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與X軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P(U, V)，那么點(diǎn)P的縱坐

2、標(biāo)V叫作角a的正弦函數(shù),正弦函數(shù)y= sinx和余弦函數(shù)y= cosx的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，值域?yàn)?,1.【預(yù)習(xí)評價(jià)】記作V= sin_a；點(diǎn)P的橫坐標(biāo)U叫作角a的余弦函數(shù)，記作U= COS_a.- - 翟1.若角a的終邊與單位圓相交于點(diǎn)1C.1答案 B2.若角a的終邊與單位圓相交于點(diǎn)* ，則 cosa(3)正弦函數(shù)、22，則 sina的值為A.222答案知識點(diǎn) 2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號3ooRtn(XCOS.【預(yù)習(xí)評價(jià)】記住特殊角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值非常重要，試完成下表:x0nnnn2n5n7n4n3n5n錯(cuò)誤 ! 2n643236n6323y= sinx012221退21201_2退

3、112022Cyy= cosx1並2亞21201_2至2121_2氣01221知識點(diǎn) 3 周期函數(shù)(1) 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在非零實(shí)數(shù)T,對定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，f(x+T)=f(x)都成立那么就把函數(shù)f(x)稱為周期函數(shù)，T叫作這個(gè)函數(shù)的周期 (2)y= sinx的周期為 2kn,k Z,最小正周期為 2n.y= cosx的周期為 2kn,k Z,最小正周期為 2n.【預(yù)習(xí)評價(jià)】提示 不一定，如函數(shù)f(x) =x存在非零常數(shù)T= 4，存在x= 2,使得2f( 2+ 4) =f( 2)，但是函數(shù)f(x) =x不是周期函數(shù).fll堂互動I題型一三角函數(shù)定義的應(yīng)用【例 1】 已知角

4、0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，若所以y0,COSa V0 ,. sinaCOSa V0.由 sinaCOSa V0 知有兩種可能：故a是第二象限角或第四象限角.規(guī)律方法正余弦函數(shù)符號的確定(1) 終邊在坐標(biāo)軸上的角：終邊在坐標(biāo)軸上的角可以利用單位圓，如終邊在x軸非正半軸上的角與單位圓的交點(diǎn)為(一1,0)，故 Sina= 0, COSa= 1.(2) 終邊在各個(gè)象限內(nèi)的角：利用定義記符號：正弦取決于終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以一、二象限為正；余弦取決于終邊上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以一、四象限為正.【訓(xùn)練 2】判斷下列各式的符號.(1) sin 105 COS230 ;(2) sin 240 sin

5、 300 ;16n(3)COSsinn ;故有 sinsina 0,sinaV0,COSa0.6(4)COS4 cos 5.解析 因?yàn)?105是第二象限角，所以sin 105 0，又因?yàn)?230是第三象限角，所以 COS 230 V0，所以 sin 105 cos 230 V0.7因?yàn)?240。是第三象限角，所以 sin 240v0;又因?yàn)?300是第四象限角，所以 sin 300v0，所以 sin 240 sin 300 0.16n(3)因?yàn)?sinn= 0.所以 cos3 殳 sinn= 0.3因?yàn)?4 是第三象限角，所以 cos 4v0，又因?yàn)?5 是第四象限角,所以 cos 5 0,所

6、以 cos 4 cos 5v0.【遷移1】 在例 3 中把條件“f(x+n) =f(x) ”改為“f(X+n) =f(x) ”，求f( +f(19n)的值.解由f(X+n) = f(x)知f(x+ n)+ n=f(x+ n)=f(X)f(x+ 2n) =f(x).知f(x)的周期為 2n.典例遷移題型三周期函數(shù)的定義及其應(yīng)用1y)時(shí),f(x) = 2sinx,求f牛 +f7t13n)3)n的值.二f( X)= f(x),又Tf(x+n) =f(X),函數(shù)f(x)的周期為n,n +f4n【例 3】 若函數(shù)f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且滿足f(X+n) =f(x)，當(dāng)x 0 ,解/f(x)是

7、奇函數(shù),7t(n 4nE+f爭+f8又f(X)是奇函數(shù),原式=一 2sin + 2sin = 2-巧 3.1【遷移 2】 在例 3 中把條件“f(x+n) =f(x) ”改為“f(x+n) =f- ”，貝U函數(shù)f(x)f x的周期為_1 1解析 由f(x+n)=得f(x+n) +n =f(x) , f(x+ 2n)=T xT X+ nf(x) . 函數(shù)f(x)的周期為 2n.答案 2n【遷移 3】把例 3 中的條件“函數(shù)f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù).且滿足f(x+n) =f(x) ”改為“函數(shù)f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)且滿足f(X-n) =f(x+n) ”，求f-3+f罟的值.解/f

8、(x)是偶函數(shù).f( -x) =f(x),又f(x-n) =f(x+n).令x=x+ n得f(x)=f(x+2n)函數(shù)f(x)的周期為 2n.nn=2sin + 2sin -34=2+3.規(guī)律方法常見周期函數(shù)的形式周期函數(shù)除常見的定義式f(x+T) =f(x)外，還有如下四種形式:1(1)f(x+a) = -f(x).f(x+a) =f x.1f(x-a) = - f_.(4)f(x-a) =f(x+a).以上四種形式的函數(shù)都是以 2a為周期的周期函數(shù).9I課堂反饋課堂達(dá)標(biāo)1.若角a的終邊過點(diǎn)則 cosa的值為(10答案的終邊在第四象限.解析f() =f(2n+ y +才)=f(專)答案 14

9、5.已知角a的終邊與單位圓相交于點(diǎn)p(a,b)，若 sina=-匚，求a、b的值，并說明51A. 2Of解析易知點(diǎn)2,、 1單位圓上，故 COSa=22.a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P( b,4)且 COSa35,則b的值為(A.B.C.3D.解析/r=b2+ 16,bbCOSa=rb= 3.3b2+ 165.答案 A3.已知角a的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為2nsin 3,解析由題意知，角a的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為2nCOS3，則角a的最小正值為矗1iI 2，2；COSa答案1167t4.若函數(shù)f(x)是以寺為周期的周期函數(shù)，且f專=1,則f的值是=1.22211a是第幾象限角.124解由正弦函數(shù)的定義可知b= sin

10、a=-.5222293又a+b= 1，a= 1 b=, a= .25534故a= -，b= _.5534當(dāng)a= 5,b= 5 時(shí)，點(diǎn)P在第四象限，此時(shí)角a是第四象限角；34當(dāng)a=口b=匸時(shí)，點(diǎn)P在第三象限，此時(shí)角a是第三象限角.55課堂小結(jié)1.利用定義求a的正弦函數(shù)值與余弦函數(shù)值時(shí)，注意結(jié)合圖形求出a的終邊與單位圓的 交點(diǎn)坐標(biāo)，即得值.2. 正弦、余弦函數(shù)值在各個(gè)象限的符號可簡記為：一均正、二正弦、三均負(fù)、四余弦.3. 正弦、余弦函數(shù)的周期性反映了終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.作用是把求任意 角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求 02n（或 0360 ）范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值.I課后作業(yè)鑑:義鑑義義諒暮義

11、義蠡直蠹化如統(tǒng)云取固提升基礎(chǔ)過關(guān)1 .若 sin0cos00,貝 UB在（）A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、四象限答案 B2.已知a是第二象限角，P（X, 5）為其終邊上一點(diǎn)，且 COSa= ，則X等于（）B.3D.3由此解得x=3.答案 Dn3.下列函數(shù)中，周期為兀的是（）A. 3C. 2解析B.y= sin 2xD.y= cos( 4x)依題意得 cos13xA.y=sin2xC.y= cos -414.nx+ 2X解析A 選項(xiàng)中，f(x+ -2)= sin = sin(號 + -4)，不滿足對任意x,f(x+-2)=f(x)；nn、,nf(x+2)= sin

12、2(x+ ) = sin (2x+n)，不滿足對任意x,f(x+ 2)=f(x);f(X+2)= cos 4(X+ ) = COS(4+8)，不滿足對任意x,f(X+2)=f(X);(2)T 925=3X360+155, 925是第二象限角.cos(925)v0.(n7.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P( 3cos0, 4cos0)，其中0 i2kn+2, 2kn+n(kB選項(xiàng),C選項(xiàng),D選項(xiàng),f(x+專)=cos nx+2cos( 4x 2n) = cos( 4x) =f(x)，二選 D.答案 D4已知f(x)是R_ 解析/f(x+ 3)=答案 25.下列說法中，正確的為終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相

13、等;終邊不同的角的同名三角函數(shù)值不全相等;若Sina 0，貝U a是第一、二象限角;若a是第二象限角，且 Rx,y)是其終邊上的一點(diǎn)，貝Ucos三角函數(shù)的值，只與角的終邊的位置有關(guān)系，與角的大小無直接關(guān)系， 故都是正確的；當(dāng)a的終邊與y軸的非負(fù)半軸重合時(shí)，sina= 1 0,故是不正確的；無論a在解析第幾象限，cos2,故也是不答案6 確定下列三角函數(shù)值的符號:39n(1)sin12;(2)cos(39n解(1)TiT=2n92515n+12,且罟是第三象39n12 是第三象限角;39nsiP*0.xx+yx=3m15 Z)，求角a的正弦函數(shù)值及余弦函數(shù)值.n解 /0 (2kn +,2kn+n

14、)(kZ),能力提升8m64m+ 9朋 J =丄，即 m= 1.64m+ 9 252答案答案 011.若角a的終邊與直線y= 3x重合且 sina0，又P(m n)是a終邊上一點(diǎn)，且|OP= y/10，貝 Um- n=_ .解析Ty= 3x, sina0,.點(diǎn) Rmn)位于y= 3x在第三象限的圖像上，且nT0,n0,ncos0 0,9.為第二象限角時(shí)，宓a|sincosa|cosA.B.C.D.解析a為第二象限角，sina0,cosa0,a| cosaSin sina|cosa| sin|sincosa=2.cosa答案 C10.若a= + 2kn(k Z),cos 3a解析 cos 3an

15、=cos 3 + 2knn.=cos(7+6kn)=cos7=0.7t516|0P= m2+n2=10|m=-.10mr10.m=- 1,n= 3，二 m-n=2.答案 212.已知 COSa0,(1) 求角a的集合；(2) 求角專的終邊所在的象限；試判斷 sin -2， cos-2 的符號.解(1) COSa角a的終邊可能位于第二或第三象限或x 軸的非正半軸上.Tsina0,.角a的終邊可能位于第一或第二象限或y軸非負(fù)半軸上，.角a的終邊只能位于第二象限.n丄丄，故角a的集合為a1+ 2knan+2kn,k Z.2n區(qū)/(2)T +2knan +2kn(kZ),2na n_4+knyy+kn(kZ).na n當(dāng)k= 2n(k Z)時(shí)，+ 2nnyy + 2nn(n Z),a 0 是第一象限角；2.n. 5na3n當(dāng)k= 2n+ 1(n Z)時(shí)，+ 2nn0;當(dāng)專是第三象限角時(shí)，sin 專0, c