北郵FPGA實(shí)驗(yàn)三

1、北京郵電大學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告信號(hào)與信息處理綜合實(shí)驗(yàn)（FPGA實(shí)驗(yàn)）實(shí)驗(yàn)三 CORDIC算法學(xué)院: 信息與通信工程學(xué)院 班級(jí): 學(xué)號(hào): 姓名: 一 實(shí)驗(yàn)?zāi)康恼莆誇PGA設(shè)計(jì)中的流水線(xiàn)技術(shù)；掌握CORDIC算法的基本原理及其實(shí)現(xiàn)方法；了解通過(guò)在片內(nèi)生成ROM的方式進(jìn)行在板模塊測(cè)試的方法。二 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1）按實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)所給出的步驟，在FPGA上實(shí)現(xiàn)CORDIC算法用于計(jì)算sin(x)；2）修改程序使其能夠用于計(jì)算x2+y2。三 實(shí)驗(yàn)過(guò)程3.1 CORDIC算法原理CORDIC算法的全稱(chēng)是Coordinate Rotation Digital Computer ，可以用于實(shí)現(xiàn)對(duì)多種超越函數(shù)的運(yùn)算。CORDIC算

2、法將多種難以用硬件電路直接實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜運(yùn)算分解為統(tǒng)一的簡(jiǎn)單移位-加法的迭代運(yùn)算形式，結(jié)構(gòu)規(guī)則、運(yùn)算周期可以預(yù)測(cè)、適合于集成電路實(shí)現(xiàn)。所謂的超越函數(shù)是指變量之間的關(guān)系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算表示的函數(shù)。如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)等都是超越函數(shù)。最初的CORDIC算法由J.D.Volder 于1959 年提出， 用于計(jì)算三角函數(shù)。 1971 年，Walther 提出了統(tǒng)一的CORDIC 算法，引入了參數(shù)m 將CORDIC 實(shí)現(xiàn)的三種迭代模式：圓周、雙曲和線(xiàn)性變換統(tǒng)一于一個(gè)表達(dá)式下。CORDIC算法目前使用非常廣泛，被稱(chēng)為算法中的瑞士軍刀。下面我們首先介紹CORDIC

3、算法的基本原理。笛卡爾坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換可以表示為：x'=xcos-ysiny'=ycos+xsin提取 cos 變成x'=cos(x-ytan)x'=cos(y+xtan)如果在這一表達(dá)式中限制 tan=±2-i，則括號(hào)內(nèi)部分不包含乘法運(yùn)算，移位相加即可實(shí)現(xiàn)。實(shí)際上，任意角度的旋轉(zhuǎn)都可以轉(zhuǎn)化為一系列角度滿(mǎn)足 tan=±2-i 旋轉(zhuǎn)的組合，假定總共旋轉(zhuǎn) N 次，第 i 次旋轉(zhuǎn)角度滿(mǎn)足 tan=±2-i，那么 cos 為一系列常數(shù)。由此可知，每次旋轉(zhuǎn)角度的絕對(duì)值是事先確知的，只是旋轉(zhuǎn)方向不同。基于這種限制，將第 i 次旋轉(zhuǎn)的方程轉(zhuǎn)化為

4、：xi+1=Kixi-yidi2-iyi+1=Kiyi+xidi2-iKi=costan-12-i=1/1+2-2idi=±1去掉 Ki 則每次運(yùn)算只包含移位和加法運(yùn)算。當(dāng) N 趨于無(wú)窮大時(shí)， Ki 的連乘積：K=0cosarctan12n0.607253即算法本身存在增益 An=1.647實(shí)際實(shí)現(xiàn)中N不可能很大，因此這一增益與次數(shù)有關(guān)：An=n1+2-2i若事先確定迭代次數(shù)，則增益為一確定值，旋轉(zhuǎn)角度由一系列 +1，-1 所決定 角度累加方程：zi+1=zi-ditan-1(2-i)與方程xi+1=Kixi-yidi2-iyi+1=Kiyi+xidi2-i一起構(gòu)成三個(gè)迭代方程。CO

5、RDIC算法有兩種工作模式，一種稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)模式，另一種稱(chēng)為向量模式。 旋轉(zhuǎn)模式就是將輸入的復(fù)向量旋轉(zhuǎn)指定的角度；向量模式則將輸入向量旋轉(zhuǎn)到x軸上，并記錄旋轉(zhuǎn)方向向量。旋轉(zhuǎn)模式下，每次旋轉(zhuǎn)方向的確定由殘留角的符號(hào)決定，其工作模式為：xi+1=xi-yidi2-iyi+1=yi+xidi2-izi+1=zi-ditan-1(2-i)Wheredi= -1 if zi<0 , +1 otherwise旋轉(zhuǎn)模式的目標(biāo)是使 zn=0。如果采用向量模式，則旋轉(zhuǎn)角度不預(yù)先確定，目標(biāo)是使 yn=0，即將輸入向量旋轉(zhuǎn)到 x 軸上，旋轉(zhuǎn)方向由殘留 y 值的正負(fù)決定。xi+1=xi-yidi2-iyi+1=yi

6、+xidi2-izi+1=zi-ditan-1(2-i)Wheredi= +1 if yi<0 , -1 otherwise向量模式結(jié)果xn=Anx02+y02yn=0zn=z0+tan-1(y0/x0)An=n1+2-2i適當(dāng)選擇初始值和工作模式，能直接計(jì)算 sin()， cos()， arctan()，復(fù)向量幅度，極坐標(biāo)和笛卡爾坐標(biāo)的變換等。例如 sinx 和 cosx 的計(jì)算可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)模式得到，選擇初值：y0=0, x0=1/Anz0 設(shè)為待求角度，則xn=Anx0cosz0yn=Anx0sinz0向量模式可用于計(jì)算 arctan()，要求輸入以?xún)蓚€(gè)數(shù)的商形式給出,同時(shí)能計(jì)算復(fù)向

7、量幅度zn=z0+tan-1(y0/x0)xn=Anx02+y02實(shí)際上，CORDIC算法還可以推廣到雙曲線(xiàn)和直線(xiàn)上x(chóng)i+1=xi-yidi2-iyi+1=yi+xidi2-izi+1=zi-ditan-1(2-i)Wheredi= -1 if zi<0 ,+1 otherwisexn=Anx0coshz0+y0sinhz0yn=Any0coshz0+x0sinhz0z0=0An= n1-2-2ixn=Anx02-y02y0=0zn=z0+tanh-1(y0/x0)An= n1-2-2i三種情況下的CORDIC可以統(tǒng)一到以下框架下：xi+1=xi-myidi2-iyi+1=yi+xidi

8、2-izi+1=zi-diei流水線(xiàn)方式下的統(tǒng)一CORDIC實(shí)現(xiàn)方式如下圖所示：3.2 用CORDIC算法計(jì)算sin(x)1）建立工程，并將壓縮包中的Cordic.v添加到工程中；2）為該文件設(shè)計(jì)測(cè)試文件，并進(jìn)行功能仿真和時(shí)序仿真，觀察并分析從一個(gè)角度值x的輸入到它對(duì)應(yīng)的sin(x)輸出所對(duì)應(yīng)的時(shí)間；3）按以下步驟在工程中添加一個(gè)ROM IPCore；輸入IPcore文件名并點(diǎn)擊Next，選擇下的，并點(diǎn)擊Next。存儲(chǔ)器類(lèi)型選擇單口ROM點(diǎn)擊Next，在第二個(gè)頁(yè)面上設(shè)置RAM的位寬和深度，例如：點(diǎn)擊Next，在第3個(gè)配置頁(yè)面上找到下圖所示位置：此處需要加載用于初始化存儲(chǔ)器的文件。根據(jù)文件中注釋

9、所提供的量化規(guī)則設(shè)置一些角度值存在一個(gè).coe文件中，.coe文件的樣例見(jiàn)壓縮包中的angle.coe，可用任一文本編輯器打開(kāi)，文件以“memory_initialization_radix=16;memory_initialization_vector=“開(kāi)頭，其后的數(shù)據(jù)以十六進(jìn)制表示，數(shù)據(jù)之間以空格或逗號(hào)分割，文件的長(zhǎng)度和數(shù)據(jù)位寬應(yīng)與ROM的設(shè)置保持一致。其他選項(xiàng)保持為默認(rèn)選項(xiàng)，點(diǎn)擊Generate按鈕生成IPcore。此時(shí)在工程目錄下的ipcore_dir文件夾中會(huì)產(chǎn)生一系列與設(shè)定的IP core同名的文件，其中包含一個(gè).v文件和一個(gè).xco文件，xco文件是包含IP core配置信息的

10、核心文件，.V文件的格式與verilog module相同，其內(nèi)容較為復(fù)雜，對(duì)使用者而言通常只關(guān)注它的模塊頭，作為實(shí)例化時(shí)的參考。4）產(chǎn)生一個(gè)用于在板測(cè)試的頂層文件，將cordic模塊和ROM模塊在該文件中進(jìn)行實(shí)例化，參加壓縮包中的cordic_top.v5）添加約束文件，參見(jiàn)壓縮包中的cordic.ucf文件。自行設(shè)置Chipscope中的信號(hào)連接，用Chipscope工具進(jìn)行在板測(cè)試，記錄數(shù)據(jù)，并計(jì)算迭代次數(shù)為8次時(shí)的平均誤差。；6）修改迭代次數(shù)為10次，重新進(jìn)行仿真和測(cè)試。3.3 用CORDIC算法計(jì)算x2+y2將程序修改為計(jì)算 x2+y2 的工作模式，重復(fù)上述測(cè)試。四 實(shí)驗(yàn)分析4.1

11、用CORDIC算法計(jì)算sin(x)（8次迭代）4.1.1. 實(shí)驗(yàn)原理8次迭代的輸入角度值和輸出函數(shù)值均采用10位二進(jìn)制數(shù)表示用00000000001111111111表示02，因此200H表示，100H表示/2；用00000000001111111111表示函數(shù)值-1+1；此時(shí)采用補(bǔ)碼形式，0511對(duì)應(yīng)0+1，5121024對(duì)應(yīng)-10；x0初值為29*1An=134H設(shè)輸入的角度值為16進(jìn)制表示數(shù)X，將X換算成帶符號(hào)的十進(jìn)制數(shù)x，則與角度值之間的換算關(guān)系為=x512設(shè)CORDIC算法計(jì)算得到的輸出函數(shù)值為Y，將Y換算成10進(jìn)制帶符號(hào)數(shù)y，則計(jì)算結(jié)果的10進(jìn)制表示為sinx=y5124.1.2.

12、 實(shí)驗(yàn)描述本程序中所有角度和函數(shù)值都是采用二進(jìn)制表示，具體描述如下：1) 模塊名：Cordic；2) 角度值：采用10位二進(jìn)制表示，用 00000000001111111111 表示 02，因此200H表示 ，100H表示 /2； 3) 函數(shù)值：采用10位二進(jìn)制補(bǔ)碼表示，用 00000000001111111111 表示函數(shù)值 -1+1；此時(shí)采用補(bǔ)碼形式，0511 對(duì)應(yīng) 0+1，5121024 對(duì)應(yīng) -10；4) 輸入及輸出參數(shù)：clk：時(shí)鐘信號(hào)；rst：重置信號(hào)；ena：?jiǎn)?dòng)信號(hào)，該信號(hào)置1時(shí)系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)算過(guò)程；phase_in（10位二進(jìn)制數(shù)）：輸入的角度值；sin_out（10位二進(jìn)制數(shù)）

13、：輸出的 sin() 函數(shù)值;5) 函數(shù)變量cos_out（10位二進(jìn)制數(shù)）：計(jì)算得到的 cos 函數(shù)值，與sin_out同時(shí)產(chǎn)生但不輸出；phase_in_reg（10位二進(jìn)制數(shù)）：程序中實(shí)際參與運(yùn)算的角度值，下面會(huì)進(jìn)行說(shuō)明；x0-x8、y0-y8、z0-z8（均為10位二進(jìn)制數(shù)）：在迭代算法中使用的臨時(shí)參數(shù)，x和y參數(shù)存儲(chǔ)三角函數(shù)值，z存儲(chǔ)角度值。x0、y0、z0存儲(chǔ)初值，其它參數(shù)存儲(chǔ)8次迭代的臨時(shí)值;quadrant（10個(gè)1位存儲(chǔ)器）：存儲(chǔ)輸入角度值的相位信息，具體用處見(jiàn)下面說(shuō)明;PIPELINE：流水線(xiàn)，必須和數(shù)據(jù)位長(zhǎng)相同。本程序使用10級(jí)流水線(xiàn)。4.1.3. 主要工作流程下面進(jìn)行算

14、法當(dāng)中數(shù)據(jù)變化的詳細(xì)說(shuō)明：1) 初值問(wèn)題這里置 x0=1/An其原因是xn=Anx0sinz02) 迭代運(yùn)算此段代碼是程序的主要部分，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是實(shí)現(xiàn)CORDIC算法的旋轉(zhuǎn)模式：xi+1=xi-yidi2-iyi+1=yi+xidi2-izi+1=zi-ditan-1(2-i)Wheredi= -1 if zi<0 ,+1 otherwise它采用二進(jìn)制位運(yùn)算，對(duì)一些復(fù)雜地方進(jìn)行相應(yīng)說(shuō)明： zi(di) 正負(fù)的判斷：通過(guò)判斷符號(hào)位（首位）； 2-i 的實(shí)現(xiàn)：即每次迭代時(shí)對(duì) xi 或 yi 作除2操作具體實(shí)現(xiàn)方法為把原二進(jìn)制值向右移動(dòng)一位，移出的空位補(bǔ)0； 每次迭代時(shí)，z 的值要減去的角度

15、值滿(mǎn)足公式 tan-12-i3) 結(jié)果處理利用三角函數(shù)性質(zhì)，由于結(jié)果是在角度位于第一象限情況下獲得的，因此作如下處理：輸入角度在第一象限：sinx 值不變，cosx 值不變；輸入角度在第二象限：sinx 值不變，cosx 值取反；輸入角度在第三象限：sinx 值取反，cosx 值取反；輸入角度在第四象限：sinx 值取反，cosx 值不變；取負(fù)方法：所有二進(jìn)制位取反加一（補(bǔ)碼）。4.2 用CORDIC算法計(jì)算sin(x)（10次迭代）這個(gè)程序是對(duì)8次迭代的程序進(jìn)行修改后獲得的，基本代碼與工作流程完全相同，以下只說(shuō)明修改的地方。1）數(shù)據(jù)位長(zhǎng)度：由上述公式可得，每次、和的變化范圍隨迭代次數(shù)增加而減

16、小，若仍采用原先的10位二進(jìn)制數(shù)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，到了較高次迭代時(shí)會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)過(guò)小而無(wú)法完全表示的情況，因此數(shù)據(jù)位長(zhǎng)需要增加。本程序中，xi、yi 和 zi 位長(zhǎng)度都增加到16。2）增加迭代次數(shù)及對(duì)應(yīng)臨時(shí)變量，修改輸出變量；3）重新計(jì)算原程序使用的角度值，優(yōu)化計(jì)算結(jié)果；4）修改測(cè)試文件的信號(hào)，以實(shí)現(xiàn)位長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)；5）修改相關(guān)判斷語(yǔ)句。4.3 用CORDIC算法計(jì)算x2+y2（8次迭代）4.3.1. 實(shí)驗(yàn)原理實(shí)驗(yàn)原理與上述實(shí)驗(yàn)類(lèi)似，這里不再累述。4.3.2. 實(shí)驗(yàn)描述本程序中的角度值、函數(shù)值、函數(shù)變量等與上述實(shí)驗(yàn)類(lèi)似，這里不再累述。輸入及輸出參數(shù)有所變化，具體變化的參數(shù)描述如下：phase_in_x（10位

17、二進(jìn)制數(shù)）：輸入x值；phase_in_y（10位二進(jìn)制數(shù)）：輸入y值；sin_out：輸出值 xn=Anx2+y2；cos_out：輸出值 yn；4.3.3. 主要工作流程主要工作流程與上述實(shí)驗(yàn)類(lèi)似，這里不再累述。五 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析5.1 計(jì)算sin(x)，迭代次數(shù)為8次5.1.1. Modelsim仿真結(jié)果分析仿真圖如下：從上圖可以看出，10比特?cái)?shù)據(jù)位寬時(shí)進(jìn)行8次CORDIC算法迭代之后所得 sin(x) 的結(jié)果曲線(xiàn)符合正弦函數(shù)特性，說(shuō)明CORDIC算法取得了較為正確的運(yùn)算結(jié)果。同時(shí)可以看出，從輸入到輸出有一定的時(shí)延，本程序采用流水線(xiàn)技術(shù)，8次迭代運(yùn)算需要一定的時(shí)間，從而產(chǎn)生了從輸入到輸出

18、的時(shí)延。5.1.2. Chipscope仿真結(jié)果分析仿真圖如下：從上圖可看出，10比特?cái)?shù)據(jù)位寬時(shí)進(jìn)行8次CORDIC算法迭代之后所得 sin(x) 的結(jié)果曲線(xiàn)符合正弦函數(shù)特性，說(shuō)明CORDIC算法取得了較為正確的運(yùn)算結(jié)果。5.1.3. 誤差分析我們將0到90度對(duì)應(yīng)角度值的實(shí)驗(yàn)值與理論值填入了表格進(jìn)行對(duì)比，直觀的顯示了上述規(guī)律，結(jié)果如下所示：度數(shù)5.62511.2516.87522.528.12533.7539.37545理論值0.09800.19510.29030.38270.47140.55560.63440.6716實(shí)驗(yàn)值0.06250.04690.17190.28130.34380.45

19、310.55470.6563誤差0.03550.14820.11840.10140.12760.10250.07970.0153度數(shù)50.62556.2561.87567.573.12578.7584.37590理論值0.77300.83150.88200.92390.95690.98010.99521實(shí)驗(yàn)值0.68750.74220.87500.92190.94530.96880.98440.9766誤差0.08550.08930.00700.00200.01160.01130.01080.0234從表格可以看出，10比特8次迭代的平均誤差比較小，與前面的仿真圖相符，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果正確。5.2

20、 計(jì)算sin(x)，迭代次數(shù)為10次5.2.1. Modelsim仿真結(jié)果分析仿真圖如下：從上圖可以看出，16比特?cái)?shù)據(jù)位寬時(shí)進(jìn)行10次CORDIC算法迭代之后所得 sin(x) 的結(jié)果曲線(xiàn)符合正弦函數(shù)特性，說(shuō)明CORDIC算法取得了較為正確的運(yùn)算結(jié)果。同時(shí)可以看出，從輸入到輸出有一定的時(shí)延，本程序采用流水線(xiàn)技術(shù)，10次迭代運(yùn)算需要一定的時(shí)間，從而產(chǎn)生了從輸入到輸出的時(shí)延。5.2.2. Chipscope仿真結(jié)果分析仿真圖如下：從上圖可以看出，16比特?cái)?shù)據(jù)位寬時(shí)進(jìn)行10次CORDIC算法迭代之后所得 sin(x) 的結(jié)果曲線(xiàn)符合正弦函數(shù)特性，說(shuō)明CORDIC算法取得了較為正確的運(yùn)算結(jié)果。5.2.

21、3. 誤差分析我們將0到90度對(duì)應(yīng)角度值的實(shí)驗(yàn)值與理論值填入了表格進(jìn)行對(duì)比，直觀的顯示了上述規(guī)律，結(jié)果如下所示：度數(shù)5.62511.2516.87522.528.12533.7539.37545理論值0.09800.19510.29030.38270.47140.55560.63440.6716實(shí)驗(yàn)值0.09800.19510.29030.38270.47140.55560.63440.7071誤差0.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.0355度數(shù)50.62556.2561.87567.573.12578.7584.37590理論值0.7730

22、0.83150.88200.92390.95690.98010.99521實(shí)驗(yàn)值0.77300.83150.88190.92390.95690.98080.99521.0000誤差0.00000.00000.00010.00000.00000.00070.00000.0000從表格可以看出，16比特10次迭代的平均誤差非常小，在保留四位小數(shù)的條件下幾乎沒(méi)有誤差，與前面的仿真圖相符，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)結(jié)果正確。同時(shí)說(shuō)明16比特10次迭代的計(jì)算精度要優(yōu)于10比特8次迭代的計(jì)算精度。5.3 計(jì)算x2+y2，迭代次數(shù)為8次5.3.1. Modelsim仿真結(jié)果分析仿真圖如下：從上圖可以看出，10比特?cái)?shù)據(jù)位寬時(shí)進(jìn)

23、行8次CORDIC算法迭代之后所得 x2+y2 的結(jié)果在一定誤差范圍內(nèi)是符合要求的，說(shuō)明CORDIC算法取得了較為正確的運(yùn)算結(jié)果（誤差較大的原因可能是數(shù)據(jù)位寬較小或者是迭代次數(shù)過(guò)少）。同時(shí)可以看出，從輸入到輸出有一定的時(shí)延，本程序采用流水線(xiàn)技術(shù)，8次迭代運(yùn)算需要一定的時(shí)間，從而產(chǎn)生了從輸入到輸出的時(shí)延。六 遇到問(wèn)題分析1）最主要的問(wèn)題是最開(kāi)始的時(shí)候?qū)?shí)驗(yàn)原理不是十分了解，導(dǎo)致在后來(lái)進(jìn)行十次迭代的改進(jìn)時(shí)不知道如何下手。2）雖然進(jìn)行最開(kāi)始的幾組數(shù)據(jù)仿真時(shí)并沒(méi)有出現(xiàn)問(wèn)題，但實(shí)際上結(jié)果已經(jīng)是不正確的了。原因是我們不會(huì)使用仿真功能當(dāng)中的一項(xiàng)功能，導(dǎo)致沒(méi)有調(diào)用出來(lái) sin() 的波形。最后在助教的幫助下調(diào)用出來(lái)仿真波形。3）Modelsim仿真輸出波形出現(xiàn)紅色線(xiàn)條。進(jìn)行測(cè)試文件的檢查：信號(hào)設(shè)置有誤。另外流水線(xiàn)和數(shù)據(jù)位長(zhǎng)不一致也會(huì)出現(xiàn)此情況。4）在進(jìn)行最后Chipscope的時(shí)候一定要先將測(cè)試文件刪掉，否則會(huì)帶來(lái)不必要的麻煩。雖然助教將這一點(diǎn)進(jìn)行