汽車轉(zhuǎn)向輪擺振的定量研究

1、1788SAE鄄C2009C2182009中國(guó)汽車工程學(xué)會(huì)年會(huì)論文集搖汽車轉(zhuǎn)向輪擺振的定量研究張紫廣搖劉獻(xiàn)棟北京航空航天大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院搖搖揖摘要銥搖將增量諧波平衡法推廣應(yīng)用于汽車轉(zhuǎn)向輪擺振問(wèn)題,采用振幅作為控制參數(shù)應(yīng)用諧波平衡過(guò)程,求得方程解的表達(dá)式,并由此分析系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象和極限環(huán)振動(dòng)現(xiàn)象,用龍格鄄庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證,結(jié)果表明:推廣后的增量諧波平衡法在汽車轉(zhuǎn)向輪擺振分析中合理可靠,且具有足夠的精度。最后對(duì)極限環(huán)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。搖搖揖關(guān)鍵詞銥搖擺振搖Hopf分岔?yè)u增量諧波平衡法搖極限環(huán)QuantitativeStudyonAutomotiveSteeringWheelsShim

2、myZhangZiguang,LiuXiandongSchooloftransportationscience&engineering,BeihangUniversity振幅作為控制參數(shù),反過(guò)來(lái)求振動(dòng)頻率和其他振幅。這樣可shimmy.Finally,thestabilityoflimitcycleisanalyzed郾itcyclephenomenaareeasilyanalyzed.TheresultsthatobtainedbytheproposedprocedureisverifiednumericallyusingRunge鄄Kuttasolutionscanbeobtain

3、edusingacertainamplitudeascontrolparameterintheharmonicbalanceprocedure,thenthebifurcationandlim鄄引搖搖言搖搖轉(zhuǎn)向輪擺振是指汽車行駛時(shí)所產(chǎn)生的車輪繞主銷的持續(xù)振動(dòng)現(xiàn)象,是汽車工程領(lǐng)域典型的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。1931年以來(lái),人們對(duì)汽車轉(zhuǎn)向輪擺振問(wèn)題進(jìn)行了較深入的研究。但是,以往的研究多采用數(shù)值分析方法計(jì)算系統(tǒng)的響應(yīng),依此分析汽車轉(zhuǎn)向輪擺振系統(tǒng)中存在的分岔、混沌現(xiàn)象;或采用中心流形理論和Hopf分岔范式理論對(duì)轉(zhuǎn)向輪擺振的分岔特性進(jìn)行研究。然而,數(shù)值分析方法得不到解的表達(dá)式,不易于分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特

4、性的影響,而中心流形方法和Hopf分岔范式理論又復(fù)雜不易操作。搖搖本文將增量諧波平衡法(簡(jiǎn)稱IHB法)推廣應(yīng)用于汽車Lau和Cheun鄄g提出了增量諧波平衡法,該方法把數(shù)值計(jì)算中的增量法和諧波平衡法結(jié)合在一起,在強(qiáng)非線性研究方面得到了很好的應(yīng)用。IHB法通常用頻率作為增量,這種頻率增量法需要有確定的外激勵(lì)頻率,然而自激型擺振方程是自治方程,頻率增量法不再適用。針對(duì)這一情況,本文用某一以導(dǎo)出擺振方程解的表達(dá)式,然后根據(jù)諧波平衡項(xiàng)的系數(shù)分析系統(tǒng)的分岔和極限環(huán)現(xiàn)象,并用數(shù)值方法進(jìn)行了驗(yàn)證,分析了極限環(huán)的穩(wěn)定性。用IHB法分析汽車轉(zhuǎn)向輪擺振問(wèn)題,既拓寬了IHB法的應(yīng)用范圍,又為汽車轉(zhuǎn)向輪擺振分析提供了

5、一條新途徑。1搖汽車轉(zhuǎn)向輪擺振系統(tǒng)力學(xué)模型中包含了前橋繞其縱軸線的側(cè)擺運(yùn)動(dòng)鬃(逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?和模型的動(dòng)力學(xué)平衡方程如式(1)所示。搖搖某國(guó)產(chǎn)非獨(dú)立懸架汽車轉(zhuǎn)向輪擺振模型圖1所示。模型左右車輪繞主銷的擺動(dòng)茲2,茲1(逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?3自由度。轉(zhuǎn)向輪自激型擺振問(wèn)題。對(duì)于強(qiáng)非線性振動(dòng)的分析方法,Lvìkl(酌-f)+k4R2酌鬃+F1(R酌+茁)=0鬃憶+ïI1茲義1+(c1+c4)茲憶1+k1茲1-c1茲憶2-k1茲2-I225RïïLvk5l(酌-f)+k4R2酌鬃+F2(R酌+茁)=0鬃憶+2+(c1+c2+c4)茲憶2+(k1+k2)茲2-c1茲憶1

6、-k1茲1-I2íI1茲義2Rï2ïI鬃義+c鬃憶+k+Lk+2kR2鬃+Iv茲憶+Iv茲憶+FR+FR=0ï33432225R12R21î式中,右(左)前輪的動(dòng)態(tài)側(cè)偏力為:Fi=a1琢i+a3琢3vvai(i=1,2),ì琢憶1+琢1+茲1-茲憶1=0ïï滓滓滓a1=-64014郾7N,a3=9489805郾5N。íï琢憶2+v琢2+v茲2-a茲憶2=0搖搖側(cè)偏角與擺振角之間的關(guān)系如下:滓滓滓î圖1搖汽車轉(zhuǎn)向輪擺振系統(tǒng)模型(1)(2)搖2009中國(guó)汽車工程學(xué)會(huì)年會(huì)論文集SAE鄄C20

7、09C218表1搖某國(guó)產(chǎn)非獨(dú)立懸架汽車參數(shù)1789參數(shù)說(shuō)明搖左(右)前輪繞主銷的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1搖車輪繞其旋轉(zhuǎn)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2搖前橋繞其縱軸線的側(cè)擺慣量I3搖換算到主銷的橫拉桿剛度k1參搖數(shù)搖值5郾88kg·m2參數(shù)說(shuō)明搖車輪繞主銷的當(dāng)量阻尼c4搖輪距L搖輪胎的滾動(dòng)半徑R0郾4m參搖數(shù)搖值44郾1N·m·s/rad1郾608m0郾0154郾753kg·m2156郾8kg·m234郾79kN·m/rad16郾66kN·m/rad31郾36kN·m/rad78郾4kN·m/rad392kN·m/rad

8、搖換算到主銷的直拉桿剛度k2搖懸架當(dāng)量角剛度k3搖輪胎的垂直剛度k5搖輪胎的側(cè)向剛度k4搖換算到主銷的橫拉桿阻尼c1搖換算到主銷的直拉桿阻尼c2搖懸架當(dāng)量角阻尼c3搖滾動(dòng)阻尼系數(shù)f車輪對(duì)稱面距離l搖主銷延長(zhǎng)線與地面交點(diǎn)到搖輪胎印跡半長(zhǎng)度a搖輪胎松弛長(zhǎng)度滓搖主銷后傾角酌搖輪胎拖距茁0郾07m0郾07m0郾65m0郾65m0郾04rad050m/s9郾8N·m·s/rad49N·m·s/rad1029N·m·s/rad搖車輛行駛速度v2搖IHB法搖搖以上方程中各參數(shù)值見(jiàn)表1。搖搖考慮到汽車轉(zhuǎn)向輪擺振問(wèn)題是典型的強(qiáng)非線性問(wèn)題,采搖搖(1)和

9、(2):式中,X=茲1茲2(1)MX義+CX憶+(1+K2)X=0用增量諧波平衡法進(jìn)行定量研究。鬃I2véc+cék1-c1-00ù-k1ê14úêRêúêIv2ê-cê-k1k1+k2c1+c2+c4-00úRê1úêêI2vúêI2v搖搖=ê0c300ú,K1=ê0RRêúêvaê-ú0ê滓0010滓êú

10、êvêúaê0ê0-001êú滓ë滓ëûI10000ùéêú0I0001êú=ê00I300ú,êúê00000úêë00000úû000a3(R酌+茁)琢20éù1êú20000a(R酌+茁)琢ê32ú(1)úK2=ê000a3R琢2a3R琢212ê

11、;ú00ê000úêú00ûë000Lk5l(酌-f)+k4R2酌2Lk5l(酌-f)+k4R2酌2k3+L2k+2k4R22500琢1琢2T,(3)a1(R酌+茁)0a1Rv滓0ùúúa1(R酌+茁)úúúa1Rú,ú0úúvúú滓û(5)(1)式中,H=-(贅20MX義0+贅0CX憶0+K1X0+K2X0)是誤差向量,當(dāng)H-2贅00+CX憶0駐贅傅立葉級(jí)數(shù),寫成矩陣形式:搖搖IHB法的第二步是

12、諧波平衡過(guò)程。把X0和駐X展開(kāi)成X0和贅0為準(zhǔn)確解時(shí),其值為零。駐A=式中,A=A1,A2,A3,A4,A5T,駐X=S駐AX0=SA(6)搖搖搖IHB法的第一步是Newton鄄Raphson的增量過(guò)程。令X0為增量形式:X=X0+駐X,贅=贅0+駐贅駐茲2鬃0駐鬃琢10駐琢1琢20T,駐琢2。T和贅0表示振動(dòng)過(guò)程中的某一狀態(tài),則其鄰近的狀態(tài)可表示式中,X0=茲10茲20(4)搖開(kāi)并略去其高階小量可得:搖搖令子=贅t(贅為響應(yīng)的頻率),將式(4)代入式(3),展(1)贅20M駐X義+贅0C駐X憶+(K1+3K2)駐X=駐X=駐茲1搖搖Cs=cos子駐Aj=駐aj1Aj=aj1Cs0000

13、49;éêú0C000sêúS=ê00Cs00ú,êúê000Cs0úê0000CúsûëajNcosN子bj1sin子駐A1,駐A2,駐A3,駐A4,駐A5T;駐ajN駐bj1駐bjNT,j=1,2,5。bjNT,sinN子,1790SAE鄄C2009C2182009中國(guó)汽車工程學(xué)會(huì)年會(huì)論文集搖到以增量駐A和駐贅為未知量的線性方程組:Kmc駐A=H-Rmc駐贅搖搖將式(6)代入增量方程(5),并應(yīng)用Galerkin過(guò)程,得(7)2式中,Kmc=

14、贅20M+贅0C+K1,H=(贅0M+贅0C+K2)A,Rmc=(2贅0M+C)A;搖M=搖K1=乙2仔0STMS義d子,C=搖搖方程組(7)的未知量數(shù)目比方程數(shù)目多一個(gè),求解乙2仔0(1)ST(1+3K2)Sd子,K2=乙2仔0STd子,乙2仔0(1)ST(1+K2)Sd子。圖2搖右前輪擺角茲1v分岔圖時(shí)必須選定一個(gè)未知量為控制參數(shù)。由于研究汽車轉(zhuǎn)向輪自激型擺振,擺振頻率贅必須求出,這時(shí)可取某一諧波的振幅作為控制參數(shù),從而求得頻率贅和其他振幅。也就是說(shuō),用計(jì)算機(jī)求解方程組(7),除了給定初值A(chǔ)0和贅0,還要給定某一振幅ak,再通過(guò)不斷迭代使誤差殘量H小到滿足精度要求,求得方程組(7)的其他未

15、知數(shù)。3搖極限環(huán)計(jì)算及分岔特性分析搖搖應(yīng)用上述IHB法對(duì)圖1的汽車轉(zhuǎn)向輪擺振系統(tǒng)進(jìn)行了大量的計(jì)算,同時(shí)采用變步長(zhǎng)四階龍格鄄庫(kù)塔法(RK法)進(jìn)行了驗(yàn)證。圖2是右前輪擺角茲1v分岔圖,圖3是v=55km/h時(shí)圖3搖v=55km/h時(shí)右前輪擺振的極限環(huán)4搖極限環(huán)穩(wěn)定性分析論來(lái)研究。把式(3)在周期解附近Taylor展開(kāi),得到擾動(dòng)后的線性化方程:8式中,Z=(駐茲1,駐茲2,駐鬃,駐茲憶1,駐茲憶2,駐鬃憶,駐琢1,駐琢2),Z沂R;T右前輪擺振的極限環(huán)。由圖2可以一目了然地得到轉(zhuǎn)向輪擺振時(shí)右前輪擺角茲1的振幅隨車速v的變化規(guī)律,同時(shí)可以此,推廣后的IHB法能有效地求解汽車轉(zhuǎn)向輪擺振這類自激振動(dòng)系統(tǒng)。

16、由于IHB法是半數(shù)值半解析方法,能得到解的表達(dá)式,各參數(shù)的物理意義和大小都非常明晰,這是RK法無(wú)法比擬的。清楚地看出IHB法和RK法兩者得出的結(jié)果幾乎相同。因搖搖周期解確定以后,其穩(wěn)定性可采用多變量的Floquet理Z憶=Q(子)Z(8)IQ(子)=éêëBOùDúûú。Q表示3伊5零矩陣,I為3伊3單位矩陣。c1c+céê-14贅I(yè)1ê贅I(yè)1êc1c1+c2+c4-êI贅I(yè)11êL2êk+k5+2k4R2D=êIv322ê-I3R-贅

17、2I3êêa0滓êaê0ê滓ëéêk1ê-2I1êêêk1ê2I1B=êêc1êI1êvê-贅滓êê0ëk1贅2I1-k1+k2贅2I1Lkl(酌-f)+k4R2酌ùú25-ú贅2I1Lkl(酌-f)+k4R2酌ú25ú-2ú贅I(yè)1000úI2v-I3Rv贅滓0-I2vI1RI2vI1Rc3-I300a1+3a3琢21

18、)(R酌+茁)-2贅I(yè)10a1+3a3琢21)R-2贅I(yè)1-v滓0úúúúúúúûùúú2a1+3a3琢2)(R酌+茁)ú-ú贅2I1úúa1+3a3琢2)Rú2-2ú贅I(yè)1úú0úvú-ú滓û搖2009中國(guó)汽車工程學(xué)會(huì)年會(huì)論文集SAE鄄C2009C2181791搖搖參考文獻(xiàn)11中的方法,將每一個(gè)周期T等分成N份,1(子)以常系數(shù)矩陣Qk代替:Qk=駐kP=NK第k份

19、駐k=子k-子k-1,在第k份時(shí)間間隔中,周期系數(shù)矩陣Q式中,K為指數(shù)矩陣展開(kāi)的矩陣多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),I為8伊8單位矩陣。搖搖如果轉(zhuǎn)移矩陣P的特征值的模均小于1,即P的所有特?fù)u搖因此,轉(zhuǎn)移矩陣P可表示為:i=1j=1乙i子k子k-1Q(孜)d孜。j征值都在單位圓以內(nèi),則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是有界的,因而周期解是穩(wěn)定的;否則,周期解不穩(wěn)定。由圖4可以看出,轉(zhuǎn)移矩陣P特征值的模均小于1。因此,得出結(jié)論:由IHB法得到的系統(tǒng)周期解是穩(wěn)定的,根據(jù)Poincare鄄Bendixon定理,平衡點(diǎn)一旦失穩(wěn)就會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的極限環(huán)。因此,只需使極限環(huán)幅值盡可能小,即可控制擺振。鄯I+鄱(駐j!Q)i5搖結(jié)論擺振問(wèn)題,分析極限環(huán)、分岔等非線性現(xiàn)象,與數(shù)值方法所得結(jié)果一致,有較高的精度。由于增量諧波平衡法是一種半數(shù)值半解析方法,結(jié)果有直觀的表達(dá)式,這既明晰了參數(shù)的物理意義,