小學(xué)奧數(shù)公式

1、公式1. 平方差公式 a2 - b2 = ( a + b )( a b )2. 和平方公式 ( a + b )2 = a2 + 2ab + b23. 差平方公式 ( a - b )2 = a2 - 2ab + b24. 等差數(shù)列公式 Sn = a1+an2×n = a1×n + n(n-1)2×d n = an-a1d + 15. 立方和公式: a3 + b3 = ( a + b )( a2 ab + b2 )6. 立方差公式: a3 b3 = ( a - b )( a2 + ab + b2 )7. 奇數(shù)和公式: 1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n2

2、8. 偶數(shù)和公式: 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n+1)9. 多數(shù)平方和公式: 12 + 22 + 32 + + n2=nn+1(2n+1)610. 多數(shù)立方和公式:13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + + n)211. 特種公式: 1×2 + 2×3 + 3×4 + + n×(n+1) = 12 + 22 + 32 + + n2 + 1 + 2 + 3 + + n =13 n(n+1)(n+2)與因數(shù)相關(guān)的知識(shí)1. 因數(shù)個(gè)數(shù)：分解質(zhì)因數(shù)后，所有指數(shù)加1后的乘積。2. 因數(shù)和：設(shè)A2a×3b×5c

3、 那么因數(shù)和（20+21+2a）×（30+31+3b）×（50+51+5c）3. 因數(shù)積：設(shè)A2a×3b×5c 那么因數(shù)積A因數(shù)個(gè)數(shù)/2(完全平方數(shù)除外)4. 因數(shù)倒數(shù)和：設(shè)A2a×3b×5c 那么1a + 1b + 1c = 因數(shù)和A1757137循環(huán)小數(shù)747： 1727547827237674757513121310139134133132131136713： 1130.076923 2138351643296703130.230769 5134130.307692 61371311138138139130.692307 713

4、10130.769230 81312130.923076 1113排列組合進(jìn)階 排列是先選再排，組合是只選不排。Cnm=Cnn-m(n里選m個(gè)的數(shù)量和n里(n-m)個(gè)不選的數(shù)量是一樣的)Cn0=Cnn1（一個(gè)不選和全部都選只有一種情況）Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n(每個(gè)元素有選中和不選中兩種情況)常用方法：1. 優(yōu)限法：找出特殊的情況，先把特殊的情況分組（有可能需要細(xì)分，如0，2，4又分為0和2，4），再計(jì)算其他情況2. 捆綁法：相鄰問題，直接捆在一起，算一個(gè)，再與其他的排，注意捆在一起包內(nèi)的，也要排序，然后兩個(gè)數(shù)乘積即可。3. 插空法：求不相鄰問題，那就把他們?nèi)猿鋈?，先排剩下的，排?/p>

5、，再插空，查出多少個(gè)空位再選多少個(gè)元素去插空即可。4. 大除法：先把所有的元素排列數(shù)量求出來(lái)，再找出限定條件的元素單獨(dú)排一排，并找到限定條件后占全部限定元素排列的比率，再與所有排列數(shù)量相乘即可。5. 插板法：都變?yōu)椤爸辽僖粋€(gè)”的情況，再查空位，插板，用C計(jì)算即可。6. 排除法：正面求解困難，則利用反向求解，再用全部減去反向，可得正向解。余數(shù)a ÷ b = m .n (0nb)推論1： m為(a ÷ b)的整數(shù)部分,而n為(a ÷ b)的小數(shù)部分的b倍。推論2： 當(dāng)a、b同時(shí)擴(kuò)大k倍，則商值m不變，余數(shù)n擴(kuò)大k倍。推論3： （a, b）= （b, r） 最大公因數(shù)相

6、等，輾轉(zhuǎn)相除求最大公因。余數(shù)性質(zhì)：1. 周期性。2. 余數(shù)的和等于和的余數(shù)。3 余數(shù)的差等于差的余數(shù)。 虞姬每周拿著魚叉去魚河抓魚。4. 余數(shù)的積等于積的余數(shù)。物不知數(shù)（中國(guó)剩余定理）1. 減同余：如果一個(gè)數(shù)除以不同的數(shù)余數(shù)相同，則只需求出除數(shù)的最小公倍數(shù)，再加上余數(shù)，即為最小的被除數(shù)。 例：A÷3余1， A÷5余1，問A最小多少？ 解：3和5的最小公倍數(shù)為15，15+116，A最小值為16.2. 加同補(bǔ)：如果一個(gè)數(shù)除以幾個(gè)不同的數(shù)，余數(shù)分別與除數(shù)互補(bǔ)，則只需求出除數(shù)的最小公倍數(shù)，再減去補(bǔ)數(shù)，即為最小的被除數(shù)。 例：A÷7余6 A÷6余5，A÷

7、5余4， A÷4余3，求A最小多少？ 解：余數(shù)與除數(shù)互補(bǔ)，7，6，5，4420，4201419，A最小為419.3. 試數(shù)法：先找第一個(gè)式子滿足的數(shù)，再套用第二個(gè)式子，求解。 例：A÷7余5 A÷6余3，求A最小多少？解：試第一項(xiàng)滿足的數(shù)：5，12，19，26，33，40 分別套用第二式，發(fā)現(xiàn)33滿足條件，所以A最小為33，通式為33+42K。4. 逐級(jí)滿足法：用第一個(gè)式子設(shè)商值為K，然后求得被除數(shù)，代入二式，求K，即為最小的被除數(shù)。 例：A÷7余5 A÷6余3，求A最小多少？ 解：設(shè)A÷7K余5 A=7K+5代入第二式中，得，（7K

8、+5）÷6余3，得7K÷6余4 當(dāng)K4時(shí)，滿足。即A=7K+533，通式為A=33+42K同余定義：對(duì)于自然數(shù)A、B，除以相同的數(shù)m，所得的余數(shù)也相同，則稱A、B 對(duì)于模m同余。表示為 AB（mod m）讀作：“A同余于B，模m”推論1：若AB，A÷mX.n B÷mY.n 那么，A-B（X-Y）m; m能整除A、B的差, m(A-B).推論：若AB（mod m），BC（mod m）那么，AC（mod m）；推論：若AB（mod m），CD（mod m）那么，（A±C）（B±D）（mod m）；ACBD（mod m）推論4： 若AB（m

9、od m），那么AnBn（mod m）分?jǐn)?shù)比較大小手段一：十字相乘法badcb·acad·accbcad 即bc代表左邊，ad代表右邊。手段二：作差 AB0 AB AB0 AB手段三：作商AB1 AB AB1 AB手段四：取倒數(shù)1A1B AB 1A1B AB 手段五：化小數(shù)手段六：基準(zhǔn)法真分?jǐn)?shù)：當(dāng)分子與分母差一定時(shí)，分母越大，值越大 假分?jǐn)?shù)：當(dāng)分子與分母差一定時(shí)，分母越大，值越小在1013，1417之間比較大小，因分子與分母差都為3，且是真分?jǐn)?shù)，則14171013在1310，1714之間比較大小，因分子與分母差都為3，且是假分?jǐn)?shù)，則13101714手段七：通分差法（將分子分

10、母變?yōu)椴钜欢?，再用手段六判斷大小）?6，1419之間比較大小，先將56變?yōu)?530，分子與分母差都為5，真分?jǐn)?shù)，則561419手段八：糖水法（糖水的甜度糖糖+水） 模型一：bab+ma+m (在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解為通分差) 模型二：bab+da+cdc (糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之間) 模型三：ba=mbmamb+ndma+ncndnc=dcbamb+ndma+ncdc有趣的巧數(shù)1. 333×33311108889n個(gè)3n個(gè)3 n1個(gè)1n1個(gè)8 推論：6666×666644435556，9999×999999980001，3

11、333×666622217778 3333×999933326667，6666×9999666533342. 333×3334111222n個(gè)3 n1個(gè)3 n個(gè)1n個(gè)2 推論：6666×333422224444，9999×3334333366663. 1113×37 1000173×37 200732×22399927×37 101013×7×13×37 200823×25111111271×41 19953×5×7×

12、;19 20155×13×311111113×7×11×13×37 19982×33×37 201625×3×74. 頭同尾和10：兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如首位相同，末位加和為10，則得數(shù)四位數(shù)中前兩位為首位與首位加1的乘數(shù)，末兩位為尾數(shù)相乘的乘數(shù)。 如：53×573021，84×867224，39×3112095. 完全平方數(shù)口算：找到接近5與0的數(shù)再利用平方差公式計(jì)算 如：782802-（802782）6400-（80+78）×26400-3166084 7

13、62752+（762752）5625+（76+75）5625+15157766. 123456789×8+99876543217. M×999的數(shù)字和為9K.（其中M999） K個(gè)98. （13 + 17 + 115）×（17 + 115 + 123）（13 + 17 + 115 + 123）×（17 + 115）13×123 兩項(xiàng)乘積兩項(xiàng)乘積問題：把最長(zhǎng)的算式看作小龍，則原式為： （有頭無(wú)尾小龍）×（無(wú)頭有尾小龍）小龍×（無(wú)頭無(wú)尾小龍） 則結(jié)果為頭尾相乘。9. 1×2 + 2×3 + n×(n

14、+1) 13×n×n+1×(n+2) 1×a1 + 2×a2 + n×an 16×n×(n+1)×(2an+a1),a1,a2an為等差數(shù)列分?jǐn)?shù)的分解設(shè)1A1A+m + 1A+n ，則得出：1A1A+m + 1A+n 2A+m+nA+m（A+n)所以：（A+m）(A+n)A×(2A+m+n)，即A2+(m+n)A+mn2A2+(m+n)A可得：A2mn解題思路：只需將分母平方后分解質(zhì)因數(shù)，找到一對(duì)質(zhì)因數(shù)后，分別加上原分母作為等式右邊的兩個(gè)分母。例：將112拆分成若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位的和。解：12的平方

15、144，而1441×1442×724×368×18所以112113 + 1156 114 + 184 116 + 148 120 + 130 要拆分成三個(gè)式子相加如何做？先拆成兩個(gè)，再將其中一個(gè)拆成兩個(gè)即可。最值問題（1）兩數(shù)和一定，則兩數(shù)差越小，乘積越大，兩數(shù)差越大，乘積越小。（2）兩數(shù)積一定，則兩數(shù)差越小，加和越小，兩數(shù)差越大，加和越大。（3）多3少2不拆1原則。例：14拆成幾個(gè)自然數(shù)的積，求積最大值？+六大幾何模型1. 等積模型：平行平移模型和等高模型2. 一半模型：3. 鳥頭模型（共角模型）S4S3S2baS3S2S4DAADAD×AE

16、AB×ACSADESABCOECBBC4. 蝴蝶模型（1）風(fēng)箏模型（任意四邊形） S1×S3S2×S4 （對(duì)頂面積乘積相等） AO:OCS1：S4S2：S3（S1+S2）：（S4+S3)（2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）S1S1 S1S3 S1×S3S2×S4 （對(duì)頂面積乘積相等） S1：S2：S3：S4ab:b2:ab:a2 梯形S對(duì)應(yīng)的份數(shù)為(a+b)25. 燕尾模型AAfedcbaab×cd×ef1 a×c×eb×d×f左面積右面積左線段右線段（每一底邊對(duì)應(yīng)三對(duì)面積與線段的比） 串性

17、：大面積小面積大面積包含的線段小面積包含的線段6. 金字塔、沙漏模型（比例模型）：形狀相同，大小不同的兩個(gè)三角形。 如果DE平行BC，那么 （1）ADABAEACDEBCAFAGBGFEEDDCCB （2）兩個(gè)三角形面積比對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的平方比7. 勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,則有c2a2+b2acabbbabaabbbba 內(nèi)弦圖： 外弦圖：ab-aaS1S2S3acbb-aC2a2b2aba 常見勾股整數(shù)： 常見模型： 3， 4， 5； 5，12，13；S3S2S1 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； S1+S2S38. 畢克定理：計(jì)算點(diǎn)陣中頂點(diǎn)在

18、格點(diǎn)上的多邊形面積 S（n + l2-1）×小四邊形面積 其中：n是多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù) l是多邊形邊界上點(diǎn)數(shù)9. 海倫公式：S2p(p-a)(p-b)(p-c)，a,b,c為三角形三邊長(zhǎng)，pa+b+c2（半周長(zhǎng)）循環(huán)小數(shù)1. 有限小數(shù)：分母質(zhì)因子只有2或52. 純循環(huán)小數(shù)：分母質(zhì)因子無(wú)2也無(wú)53. 混循環(huán)小數(shù)：分母質(zhì)因子即含其他也含2或5.小數(shù)化分?jǐn)?shù)：1. 純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)： 0.aa9; 0.abab99; 0.abcabc9992. 混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)： 0.abab-a90; 0.abcabc-a990; 0.abcdabcd-ab9900正方體展開圖（共11種）A1A1A1A1A

19、2AA2AA2A2AABBBB 規(guī)律：（1）對(duì)面規(guī)律，兩個(gè)相對(duì)的面展開后是日字或之字兩個(gè)距離最遠(yuǎn)的面。 （2）對(duì)角點(diǎn)規(guī)律：在展開圖中出現(xiàn)日字，通常用來(lái)尋找正方體復(fù)合的重合點(diǎn)。 如上圖中，A點(diǎn)的對(duì)角點(diǎn)為B點(diǎn)，A1，A2點(diǎn)與A點(diǎn)重合。質(zhì)數(shù)1. 0和1即不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2. 除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，除了2和5，其余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只有1，3，7，9.3. 最小的三位質(zhì)數(shù)是101，最小的四位質(zhì)數(shù)是1009.質(zhì)數(shù)的判定方法：找到一個(gè)大于且接近該數(shù)的完全平方數(shù)K2，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，判斷這些質(zhì)數(shù)能否被該數(shù)整除，如不能，則該數(shù)就是質(zhì)數(shù)。例149是否是質(zhì)數(shù)：132是大于149的，最接近149的數(shù)，所以用149除以2，3，5