近世代數(shù)課后習(xí)題參考答案(張禾瑞)-3

1、近世代數(shù)課后習(xí)題參考答案第三章環(huán)與域1加群、環(huán)的定義1 .證明,本節(jié)內(nèi)所給的加群的一個子集作成一個子群的條件是充分而且必要的 證(i )若S是一個子群則 a,b 三 S二 a，bS 0是S的零兀，即0 +a =a又G 的零兀，0+a=a.0 =0即 0 三 s . 0 _a - -a 三 S. (ii)若 a,bS = a+bWSa S = -aS今證S是子群由a,bWS = a+bWS,S對加法是閉的，適合結(jié)合律，由 a S = -a S，而且得 a - a =0 S再證另一個充要條件：若 S 是子群，a,bWS = a,-bWSn a-bWS反之 a 三 S = aa = 0 三 S=-

2、0a =-aS故 a,b- S=a-(-b)=a b S2 . R =0,a,b,c，加法和乘法由以下兩個表給定0 a b c0 0 0 00 0 0 00 a b c0 a b c證明，R作成一個環(huán)證 R對加法和乘法的閉的.對加法來說，由2.9.習(xí)題6,R和階是4的非循環(huán)群同構(gòu)，且為交換群乘法適合結(jié)合律 x( yz) = (xy ) Z事實上.當(dāng)x =0或x =a , (A)的兩端顯然均為0.當(dāng)x =b或x=c, (A)的兩端顯然均為yz .這已討論了所有的可能性，故乘法適合結(jié)合律.兩個分配律都成立x(y+z) =xy;xz(y - z)x = yx - zx事實上，第一個分配律的成立和適合

3、律的討論完全一樣，只看x = 0或x = a以及x = b或x = c就可以了 .至于第二個分配律的成立的驗證，由于加法適合交換律，故可看y = 0或y = a (可省略z = 0, z = a的情形)的情形，此時兩端均為zx 剩下的情形就只有(b b)x = 0,bx bx = x x = 0(c c)x=0,cx cx=x x=0(b c)x = ax = 0, bx cx = x x =0R作成一個環(huán).1 交換律、單位元、零因子、整環(huán)2 .證明二項式定理(a ' b)n = an , (n)anb - bn在交換環(huán)中成立.證用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n = 1時，顯然成立.假定n =

4、k時是成立的：(a b)k =ak (：)ak,b 一 - (：)ak % . - -bk看門=卜+1的情形(a +b)k (a +b)Kak - (：)ak,b，- - (k)akbi - -，bk)(a - b)k:：1k : 1k : 1 kkkk "l ik: ：1(a ' b) = a(1 )a b，(i) , 4)a b，b=ak 1 - (1k 1)akb +-、- +(： 1)ak 1% +- +bk '1(因為(k *) =(k) +(kQ)即二項式定理在交換環(huán)中成立.3 .假定一個環(huán)R對于加法來說作成一個循環(huán)群，證明R是交換環(huán).證設(shè)a是生成元則R的

5、元可以寫成na (n整數(shù))(na )( ma ) = na(ma ) = n m(aa ) = nma2(ma )(na )= mna4 .證明,對于有單位元的環(huán)來說，加法適合交換律是環(huán)定義里其他 條件的結(jié)果(利用(a +b)(1 +1) 證 單位元是1,a,b是環(huán)的任意二元,(a b b)(1 1) = (a b) 1 (1 1) 1=a b a b二a(1 »1)，b(1，1)=a -a，b，ba b a b=a a bbb，a = a »b5 .找一個我們還沒有提到過的有零因子的環(huán).證令R是階為2的循環(huán)加群規(guī)定乘法：a,b W R而ab =0則R顯然為環(huán).二 階為2

6、,有aWR 而a#0但 aa =0即a為零因子或者R為n X n矩陣環(huán).6 .證明由所有實數(shù)a+bJ2 (a,b整數(shù))作成的集合對于普通加法和乘法來說 是一個整環(huán).證令 R =a +b J2 (a, b整數(shù))(i ) R 是加群(a + b <2) +(c +d (2 ) = (a + c) + (b + d ) 4 2適合結(jié)合律，交換律自不待言.零元 0+0 J2a十b J2的負(fù)元一a b J2(ii ) (a +b 引2 )(c + d 石)=(ac + 2bd )十(ad +bc )。2 乘法適合結(jié)合律，交換律，并滿足分配律.(iii)單位元 1+0 J2(iii) R沒有零因子，

7、任二實數(shù) ab=0= a=0或b=03除、環(huán)、域1. F =所有復(fù)數(shù)a +bi a,b是有理數(shù)證明 F =對于普通加法和乘法來說是一個域.證和上節(jié)習(xí)題5同樣方法可證得F是一個整環(huán).2.并且（i ） F有1 + i ¥ 0（ii） a + bi #022a +b #0因而有，a- b2222a b a b故F為域F =所有實數(shù)a +b J3,即a,b中至少一個¥0使（a - bi）（a,b是有理數(shù)）證明 F對于普通加法和乘法來說是一個域證 只證明a+bJ300有逆元存在.則a, b中至少有一個 "0我們說a2 -3b2 - 0不然白話,a2 =3b2（b =0,:若

8、b=0 則 a=0 矛盾）23 = a2 但&不是有理數(shù)b既然 a 3b - 0則 a + b J3 的逆為一r +一x'；3a -3b a - 3b4.證明 例3的乘法適合結(jié)合律.證（ 1, ：1）（ 2, :2H（ 3, 飛）二（'1 二 2 - -I ' 2, ：-1 -2 ' -I ）（ ： 3, -3）K（二不上 一 -I -2）： 3 -（：1 - 2 - -I 1 2） -3，（：1：2 - -I -2） ：3 -（：1 -2 - -I 1 2） 3又（二 1, GN ： 2, -2）（ ： 3, 'a）=（：1, >） ：

9、2： 3 一 ：2 飛，I 2一一二2一二匚zd 一 ：2 -3） - ，（.”飛），：1（：2 -3- -2 >3） -1 （：-2： 3 -皿一=：1： 2 1 3 一 二 Jr L - ：1 （： 2、.一2 L）,:/ 二, 2 % 二，：2 1 3 . ：1 （- 2 ：3 -B、： 3 ） I 23I 23 I 23234=：1： 2 - 3 -，飛 一 丁 2 飛 一 丁 1 二3,123123123123 '：-1?2 - 3 - ?1 -2 ： 3 - IL ： 3- -1 ' 2 T（ ；2 - -1 -2）：-3 -（：1 -2 - -1 ： 2）

10、-3,（>1>2 - -1 ：2） ：3 - （：-1 ：2 - -12） ? 3（1 ：1）（1 2 %）（二 3 %）（：1 -1）（ ： 2 ：2）（ ： 3 ：3）5. 驗證，四元數(shù)除環(huán)的任意元（a +bi）, （c+di），這里a,b,c,d是實數(shù)，可以寫成(a,0) +(b,0)(i,0) +(c,0)(0,1) +(d ,0)(0,i)的形式 證 (a bi , c , di) = (a, c) (bi , di )二 (a,0) (0,c) (bi,0) (0,di)二 (a,0) (c,0)(0,1) (b,0)(i,0) - (d ,0)(0,i)4無零因子環(huán)的

11、特征1.假定F是一個有四個元的域，證明.（a）的特征是2;（b ）F的#0 或1 1的兩個元都適合方程 證 （a）設(shè)F的特征為P則P的（加）群F的非零元的階所P/4（4是群F的階）但要求P是素數(shù)，:P = 2.(b )設(shè) F =0,1, a, b由于P =2,所以加法必然是x +x=0,而 1 + a =a = 1 + a = b故有01 a b001ab110baaab01bba10又1,a,b構(gòu)成乘群，所以乘法必然是ab - a, ab ； b = ab =1222a *a,a #1(否則 a=b )= a故有1 a b11 a ba a b 1b b a 1這樣，a,b顯然適合x2 =x

12、+12 .假定 是模 的一個剩余類.證明，若a 同n互素，那么所有a的書都同n互素(這時我們說a同n互素).證 設(shè) xWa 且(x,n)=d貝U x = dx1 ,n = dn1由于 x - a = nq = a = x - nq = dx1 - dn1 q = d (x1 - n1q)故有d a,，且有d n因為(a , n) =1所以d =13 .證明，所有同n互素白模n的剩余類對于剩余類的乘法來說作成一個群(同 互素的剩余類的個數(shù)普通用符號* (n) 來表示，并且把它叫做由拉巾函數(shù))證G = a而a同n互素G顯然非空，因為1 G (1, n) =1)a, bWG則a b =ab又(a,n

13、)=1,(b,n) =1 有(ab,n) =1.ab G(ii)顯然適合結(jié)合律.(iii)因為n有限，所以G的階有限.若ax =ax'即ax =ax ','、.由此可得 n ax - ax = a (x x ) (a, n) =1,；. n x - x '即有x = x 另一個消去律同樣可證成立.G作成一個群4 .證明，若是(a,n) =1 ,那么a*(n)三1(n)(費馬定理)證 (a,n) 則a W g而a的階是G的階(n)的一個因子因此a (n) =1即a (n) =1,二 a 加三 1(n)5子環(huán)、環(huán)的同態(tài)1 .證明，一個環(huán)的中心是一個交換子環(huán).證設(shè)N是

14、環(huán)的中心.顯然OWN a,b W N , x是環(huán)的任意元(a - b) x =ax - bx =x - xb = x(a - b)= a - b m N(ab) x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab ) =. ab 三 N 是子環(huán)，至于是交換環(huán)那是明顯的.2 .證明，一個除環(huán)的中心是個域.證設(shè)!是除環(huán)！是中心由上題知N是R的交換子環(huán)1 R,顯然1 W N ,即N包含非零元，同時這個非零元1是的單位元.a w N , x w R 即 ax = xaJ。.1.1二-1tlaxa = xaa = axa = x = xa = a x = a N二N !是一

15、個域3 .證明，有理數(shù)域是所有復(fù)數(shù) a +bi(a,b是有理數(shù))作成的域R(i)的唯一的真子域證 有理數(shù)域R是R(i)的真子域.設(shè)F !是R(i)的一個子域，則F 3 R (因為R是最小數(shù)域)若 a+biF, 而 b#0則 i 三 F 二 F =F (i)這就是說，R是R(i)的唯一真子域.4 .證明，R(i)有且只有兩自同構(gòu)映射.證 有理數(shù)顯然變?yōu)槠渥约?假定i r J-則由 i2=_1= a2 =-1= 0(=1或 a =-i這就證明完畢.當(dāng)然還可以詳細(xì)一些：1 : a bira bi2 : a bi r a - bi4,電確是R(i)的兩個自同構(gòu)映射.現(xiàn)在證明只有這兩個右,: i ） ：

16、 = a ：；,bi（有理數(shù)變?yōu)槠渥约海﹦t由 i2 - _1 =. （a +bi ）2 = a2 - b2 3 2abi - _1 222ab = 0, a - b - -1若 b=0=a2=_1 是有理數(shù)，在就出現(xiàn)矛盾，所以有a = 0因而b = ±1.在就是說，只能i t i或 i - -i i5 . J 3表示模3的剩余類所作成的集合.找出加群J3的所有自同構(gòu)映射，這找出域J3!的 所有自同構(gòu)映射.證 1）對加群J3的自同構(gòu)映射自同構(gòu)映射必須保持！ 0' 0故有 1 : i _. i2）對域j3的自同構(gòu)映射.自同構(gòu)映射必須保持0與，13所有只有 ：ii6 .令R是四元數(shù)

17、除環(huán)，R是子集S =一切（a,0）這里a阿是實數(shù)，顯然與實數(shù)域S同 構(gòu).令R是把R中S換成S后所得集合；替R規(guī)定代數(shù)運算.使R與R,分別用i, j ,k表示R的 兀（i ,0）, （0,1）, （0, i）,，那么R的元可以寫成a+bi十cj十dk （a , b, c, d是實數(shù)）的形式（參看3.3. 習(xí)題 5 ）. 驗證.i = j = k = 1 , ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j.證 1）對a （a,0） t a來說顯然S與S2） S = 一 切（a,0） a 實數(shù)S =一切（a,0） a 實數(shù)R =（ a, BI 一切（a,0）復(fù)數(shù)對（aP

18、）是不屬于S的R的元.r =（5聲, 一切 a規(guī)定（I：），（，：）,（a,0） > a由于S與S的補足集合沒有共同元，容易驗證中是R與R間的一一映射.規(guī)定R的兩個喚的和等于它們的逆象的和的象R的兩個元的積等于它們的逆象的積的象首先，這樣規(guī)定法則確是 R的兩個代數(shù)運算.其次,對于這兩個代數(shù)運算以及R的兩個代數(shù)運算來說在中之下R三R(3)由3.3.習(xí)題5知(a bi,c di) =(a ,0) (b,0)( i,0) - (c,0)( 0,1) (d ,0)(0,i)這里a,b,c,d實數(shù)這是因為令 i =(i,0), j =(0,1), k =(0,i)(4) i2 =(i,0)(i,0

19、) =(_1,0) =_1 .2j =(0,1)(0,1) =(-1,0) = -12k =(0,1)(0,1) =( -1,0) =-1ij =(i,0)(0,1) =(0,1) - -kji =(0,1)(i,0) =(0,-i) =-k同樣 jk = _kj = i, ki = -ik = j6多項式環(huán)1 .證明，假定R是一個整環(huán)，那么R上的一個多項式環(huán) Rx也是一個整環(huán).證 R !是交換環(huán)=Rx交換環(huán)，R有單位元1 = 1是Rx的單位元，R沒有零因子 =Rx沒有零因子事實上，f (x) = a0，a1x 一 anxn,a - 0g(x) =b。- bxbmxm,bm =0則 f (x)

20、g (x) =a0b° +十a(chǎn)nbmxn.因為R沒有零因子，所以anbm 00因而 f (x)g(x) =0這樣Rx是整環(huán)2 .假定R是模7的剩余類環(huán)，在R x里把乘積 32(3x5x -4)( 4x -x 3)計算出來解 原式=5x5 3x4 +x3 + 5x 5 =5x5 +4x4 + x3 + 5x +23 .證明：(i ) R«1,«2 =R«2,«1(ii )若x1, x2，xn是R上的無關(guān)未定兀，那么每一個xi都是R上的未定兀 i1 i2.證(1) Rot1 ,a2 =一切 £ ai1i2a2% r 一j 2 jiRC&l

21、t;2 ,a1 = 一切乙 a j 2 j1 2 % i1 i 2j 2 j1田于 1V ai1i2.二 2、11= 1V aj2jl"2 Q：1因而R、工1，、工2 = R、工2，、工l n(五)設(shè)、akxk =0nk _000- h 00akXiXiXi Xi 1 Xnk _0因為21,X2，Xn是R上的無關(guān)未定元，所以即Xi是R上的未定兀4 .證明：(i )若是Xi, X2，Xn和yi, y2,yn上的兩組無關(guān)未定元，那么RX1，X2，Xn三 Ryi，y2，yn(ii ) R !上的一元多項式環(huán) R x能與它的一個真子環(huán)同構(gòu).證(i)： f(Xi，X2，Xn)T f(yi，y2

22、,yn)根據(jù)本節(jié)定理 3RX1, x2, Xn Ry1，y2,yn容易理僉證 fl (Xi, X2，Xn )= f2 (Xi, X2，Xn) = fi( 丫1 , y 2,y n )= £2(丫1。2,Yn)這樣 R Xi , X2， Xn三 R yi, y2，yn (ii)令 R X =一切 a。+aiX 假定R是整數(shù)環(huán)，證明(3,7) = i. + +anX2n顯然 Rx2二 Rx但x更R x2 不然的話,2, 2m,2, 2mx = b°biXbmx =.b0x ,xbmx這與x是R上未定元矛盾.所以Rx2是Rx上未定元顯然故有(i ) Rx = Rx2這就是說，Rx

23、2是Rx的真子環(huán)，且此真子環(huán)與Rx同構(gòu).7理想i.假定R是偶數(shù)環(huán)，證明，所有整數(shù)4r是3的一個理想，等式!對不對？證4rl ,4r2 三：二，r2R4ri - 4r2 = 4(ri - r2)三r1f r2 三 R''_' 一 八'r - R, (4 ri) r = 4(r1r 片口rir - R二3 是R的一個理想.等式 3 = (4)不對這是因為R沒有單位元，具體的說4W(4)但4乏&(3,7) 5證 R是整數(shù)環(huán)，顯然R=又 1=( /)3 1(7) . (3,7)(3,7) =13 .假定例3的R是有理數(shù)域，證明，這時(2,x)是一個主理想 證 因

24、為2與x互素，所以存在R(x), P2(x)使2P(x)xPz(x) =1= 1(2,x)>Rx =(1) =(2,x)。即是一個主理想.4 .證明，兩個理想的交集還是一個理想.證費是代的兩個理想次代非空顯然a,bWNn a,bW?L= a b 三 J；,a b - : =' a -b 三.二 .a 三： .、，r 三 R 二 a 三：' ,r 三 R= ra , ar 三 J；,ra,ar ' '； = ra , ar 三5 .找出模6的剩余類環(huán)的所有理想.證找出的理想是R = 0, 1, 2, 3, 4,5R = 0R2 = 0,3R3 = 0,24我

25、們只有這四個理想必包0若包含1或5則必包含所有的元若同時含2,3;或3, 4則必包含5或16.一個環(huán)R !的一個子集S叫做R的一個左理想，假如(ii)aWS,rWRn ra s s你能不能在有理數(shù)域 F上的2 M 2矩陣環(huán)里找到一個不是理想的左理想取SR =4以 =a 1b C1201：1121- f22a12a22a* c是有理數(shù)0 ' 一卜21 c22C21C22 .，lb 0，-(d1 a 0c!12b 0lC21 a + c22 b 0小是F22的一個左理想 但它不是理想.c11c12aciia%C22bCi2gi: 0)bc228剩余類環(huán)、同態(tài)與理想1 .假定我們有一個環(huán) R

26、的一個分類，而S是由所有的類a,b, c, 所作成的集合 又假定x +y =x +y, x y =xy 規(guī)定兩個S的代數(shù)運算，證明0是R的一個理想 并且給定類剛好是模0的R剩余類。證 (i) 先證0是R的一個理想a,b 0即a =0, b =0a b =0 0 =0 0 = 0而a b -a b. a b =0 =. a b - 0a - 0a =0a -a =a -a =0a-a =0 -a =0 -a =-a. -a =0二-a - 0r R,ra =r a =r0 =0 -a = -a，ra W 0 同理 ar = 0于是 0是R的理想(ii) 若x,y屬于同一類，即x=yx -y =x

27、 - -y =x - y =0xyW0即x, y屬于對0同一剩余類反之，若x, y屬于對0的同一剩余類即x - y e 0所以x - y =0即x =y 亦即x,y屬于同一類這樣給定的類正好是對口來講的剩余類。2 .假定6是環(huán)R到環(huán)R的一個同態(tài)滿射，證明， 6是R與R間的同構(gòu)映射，當(dāng)而且 只當(dāng)6的核是R的零理想的時候。證(i ) 若RmR , 0的逆象只有0既核是零理想(11) 若小的核的零理想a,bR 而 a#b那么a -b乏核，®(a -b)豐0即(a)= '(b)二是同構(gòu)映射3 .假定R是由所有復(fù)數(shù)a + bi是整數(shù)1作成的環(huán)，環(huán) %1 +i)有多少元？證R是有單位元的

28、交換環(huán)那么主理想1+i的元的形式應(yīng)為(a +bi)(1 +i) =(a _b)+(a+b)i人x y y-x令 a_b=x,a b=y a=, b -：22我們說當(dāng)而且只當(dāng)x, y的奇偶性相同時，a,b是整數(shù)所以% +i)共有兩個元：一個元是u +vi而u,v奇偶性相同以1+i代表一個元是u +vi而u,v奇偶性相反以1 +2i代表實際上，R的任二元a1 +b/,a2 + b2i而(a1bli) - (a2b2i) = (a1 - a2) (b1 - b2)i 三(1 i)則 a1 一22與0 -b2奇偶性相同二(a1 -a2) _(b1 -b1)=偶數(shù)二(a1 -b1) (a2 b2)=偶數(shù)

29、=a1 -b1與a2 -b2奇偶性相同若 a1 -。與 a2 -b2均奇數(shù)=a1 -b1以及a2 b2均奇偶性相反，若 a1 -b與a2 -b2均偶數(shù)na1 -b1以及a2 b2均奇偶性相同,反之亦然。9最大理想1.假定R是由所有復(fù)數(shù)a+bi(a,b是整數(shù) 所作成的環(huán)，證明，R4+i)是一個域,證 證法一，由3.8.習(xí)題3知猊是只包含兩個元，是有單位元的交換環(huán)且有零理想與單位理想，所以R/是一個域。(1 i)證法二，證明(1+i)是R的最大理想。設(shè)索是R的一個理想，且R 二 五 二(1 - i)同時有a +bi貴(1 +i)而a +bi亡次根據(jù)3.8 .習(xí)題3知a, b奇偶性相反x十yi W

30、R若 x + yi w (1 +i)貝U x + yi w 小若x + yi貴(1 +i) 則x, y的奇偶性相反同屬一類即(a - bi ) - (x yi )(1 , i)三：區(qū)是理想，故x+yiR ,四=R 而R是有單位元交換環(huán)自不必多說根據(jù)本節(jié)定理R/是域。(1 i)2 .我們看環(huán)R上的一個多項式環(huán) Rx,當(dāng)R是整數(shù)環(huán)時，Rx的理想(x)是不是最 大理想？當(dāng)R是有理數(shù)域的時候，情形如何？證 (i) R是整數(shù)環(huán)時，(x)不是Rx的最大理想這是因為由3.7.例3知(2,x)是Rx的理想明顯的有 Rx 一(2,x) = (x)且 Rx =(2,x) =(x)(ii)當(dāng)R是有理數(shù)域時，可證 (x)是Rx的最大理想。設(shè)由是Rx的一個理想，且 重口(x)而次#(x)那么，b0 b1x - ,，bm