不等關(guān)系與不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用不等式(組)表示實際問題的不等關(guān)系 2 初步學(xué)會作差法比較兩實數(shù)的大 小.3掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.=知識梳理自主學(xué)習(xí)知識點一不等關(guān)系與不等式1 不等關(guān)系在現(xiàn)實生活中，不等關(guān)系主要有以下幾種類型:(1)用不等式表示常量與常量之間的不等關(guān)系，如“神舟”十號飛船的質(zhì)量大于“嫦娥”探 月器的質(zhì)量；(2)用不等式表示變量與常量之間的不等關(guān)系，如兒童的身高小于或等于1.4 m；(3)用不等式表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系，如當(dāng)xa 時，銷售收入 f(x)大于成本 g(x);(4)用不等式表示一組變量之間的不等關(guān)系，如購置課桌的費用

2、60 x 與購置椅子的費用30y的和不超過 2 000 元.2 不等式(1)不等式的定義用數(shù)學(xué)符號“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等 關(guān)系，含有這些不等號的式子叫做不等式.關(guān)于 a b 和 awb 的含義1不等式 a b 應(yīng)讀作：“a 大于或等于 b”，其含義是 a b 或 a= b,等價于“ a 不小于 b”， 即若a b 或 a= b 中有一個正確，則 ab 正確.2不等式 awb 應(yīng)讀作：“a 小于或等于 b”，其含義是 avb 或 a= b,等價于“ a 不大于 b”， 即若學(xué)習(xí)必備歡迎下載avb 或 a= b 中有一個正確，則 awb 正確.知識點二比較大小的依據(jù)(1) 比較

3、實數(shù) a, b 大小的文字?jǐn)⑹?如果 a b 是正數(shù)，那么 ab;2如果 a b 等于 0,那么 a 二 b;3如果 a b 是負(fù)數(shù)，那么 a 0? ab;2a b = 0? a 二 b;3a b0? a1 時，x2x_0(填“”或“v”).(2) (込+V2)2_ 10+4 誦(填“”或“V”).答案v解析(1)X2 x= x(x 1)x 1 時，x 1 0, x0,/ x(x 1)0, / x2 x0.(2)( ,6+.2)2=8+2 12=8+4 .3V10+4 3.知識點三常用的不等式的基本性質(zhì)(1) ab? bb, bc? ac(傳遞性);(3) ab? a+ cb + c(可加性)

4、;(4) ab, c0? acbc;學(xué)習(xí)必備歡迎下載ab, c0? acb, cd? a+ cb+ d;ab0, cd0? acbd;ab0? anbn）（n N N , n1;（8）ab0? ab）（n N N , n2.題型探究重點突破題型一一用不等式（組）表示不等關(guān)系例 1鐵路旅行常識規(guī)定：一、隨同成人旅行，身高在1.11.4 米的兒童享受半價客票（以下稱兒童票），超過 1.4 米的應(yīng)買全價票，每一名成人旅客可免費帶一名身高不足1.1 米的兒童，超過一名時，超過的人數(shù)應(yīng)買兒童票.十、旅客免費攜帶物品的體積和重量是每件物品的外部長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米，桿狀物品不得超過200

5、厘米，重量不得超過 20 千克設(shè)身高為 h（米），物品外部長、寬、高尺寸之和為 P（厘米），請用不等式表示下表中的不等關(guān) 系.文字表述身咼在 1.11.4 米身高超過1.4 米身咼不足1.1 米物體長、寬、高尺寸之和不得超過160 厘米付號表示解 由題意可獲取以下主要信息：（1）身高用 h（米）表示，物體長、寬、高尺寸之和為 P（厘米）;（2）題中要求用不等式表示不等關(guān)系.解答本題應(yīng)先理解題中所提供的不等關(guān)系，再用不等式表示.學(xué)習(xí)必備歡迎下載身咼在 1.11.4 米可表示為 1.1Whw1.4,身高超過 1.4 米可表示為 h 1.4,身咼不足 1.1 米可表示為 hV1.1,物體長、寬、咼尺

6、寸之和不得超過160 厘米可表示為 Pw160.如下表所示:文字表述身咼在 1.11.4 米身高超過 1.4 米身咼不足 1.1 米物體長、寬、高尺寸之和不得超過 160 厘米付號表示1.1whw1.4h1.4hV1.1PW160跟蹤訓(xùn)練 1 如下圖，在一個面積為 350 平方米的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地.倉庫的長 L 大于寬 W 的 4 倍.寫出 L 與 W 的關(guān)系.解由題意，得L + 10 W+ 10 = 350,L 4W,L L0 0，W 0.題型二比較實數(shù)(式)的大小例 2 (1)比較 x6+ 1 與 x4+ x2的大小，其中 x R R;設(shè) x, y, z R R，比較 5

7、x2+ y2+ z2與 2xy+ 4x+ 2z 2 的大小.解(1) /x6+ 1 (x4+ x2)=x6 x4 x2+ 1=x4(x2 1) (x2 1)學(xué)習(xí)必備歡迎下載=(x2 1)(x4 1)學(xué)習(xí)必備歡迎下載=(x2- 1)2(x2+ 1) 0.當(dāng) x= 時，x6+ 1 = x4+ x2；當(dāng) XM1 時，x6+ 1 x4+ X2綜上所述，x6+ 1 x4+ X2,當(dāng)且僅當(dāng) x= 1 時取等號.(2) / (5x2+ y2+ z2)- (2xy + 4x+ 2z- 2)=4x2- 4x+ 1 + x2- 2xy+ y2+ z2 2z+ 1=(2x 1)2+ (x- y)2+ (z- 1)2

8、 0, 5x2+ y2+ z2 2xy+ 4x + 2z- 2,當(dāng)且僅當(dāng) x= y= 2且 z= 1 時取等號.跟蹤訓(xùn)練 2 設(shè) a 0, b 0,且 b，比較 aaJ 與 abba的大小.學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) ab0 時,當(dāng) ba0 時，0va av1, a-bv0,ba ba b才a 1又 aabb 0, abba0, 題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用例 3 已知 a b 0, cvdv0, ev0，求證:eb d. .證明/ cvdv0,-c d 0,又 a b 0,a a 1, a- b0, b即學(xué)習(xí)必備歡迎下載跟蹤訓(xùn)練 3 已知 ab, mn, p0，求證：n apvm bp.證明 / a b,

9、又 p 0, ap bp. apv bp,又 m n,即 nvm.napvmbp.易錯點忽視性質(zhì)成立的條件導(dǎo)致錯誤例 4 已知 1 a b 2 且 2Wa + b 4,求 4a 2b 的取值范圍. 錯解 K a b 2,2wa+bw4,由+，得 3w2ab+ ( d)0,即 a c b d 0, 0V1bd，又/ ev0,a cebd. .學(xué)習(xí)必備歡迎下載由X4+X( 2),得 3W4a 2b 12.33錯因分析 由上述解題過程可知，當(dāng) a =3 3且 b =號時，3 4a 2b 才取等號，而此時 a b = 0, 不滿足式，因此 4a 2b 是不能等于 3 的.同理可驗證 4a 2b 也不能

10、等于 12.出現(xiàn)上述錯 誤的原因是“同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向”這一性質(zhì)是單向的，用它來作變形，是非同解變形，因此結(jié)論是錯誤的.正解 令 a+ b= u, a b= v,則 2uw4,1WvW2.a + b= u, a b=v,u + v 4a 2b = 4 2=2u + 2v u + v= u+ 3v./ 2wuw4,32002.設(shè) xa0,則下列不等式一定成立的是（）2 2 2 2A . x axaxaC. x a a ax3.設(shè) M = x?, N= x 1,貝 V M 與 N的大小關(guān)系是（）A . M NB. M = NC. MVND.與 x 有關(guān)x14.-若 x

11、R R，則 _2與-的大小關(guān)系為.1 + x 2課時精練A . 1 個B . 2 個C . 3 個D . 4 個5.已知 a, b, c 滿足 cvbva,且 acv0,則下列選項中不恒成立的是（）b cA. -a abaB.0c.2 2b、aC c cac cD.acv0 ac6.卜列命題中，疋正確的疋)1 1 A .若 ab，且了b，則 a0, bv0aB .若 ab, b 工 0,貝 U 1bC. 5x+ 4y= 200D.5x+4yw200學(xué)習(xí)必備歡迎下載C. 若 ab，且 a+ cb+ d,貝 U cdD. 若 ab，且 acbd,貝 U cd7.甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路

12、程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行,半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則誰先到教室（）A .甲B.乙C.同時到達D.無法判斷二、填空題&給出下列命題： ab? ac2 bc2:a |b|? a2 b2;ab? a3b3;|a| b? a2 b2其中正確的命題序號是 _ .9.一輛汽車原來每天行駛x km，如果該輛汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在 8天內(nèi)它的行程就超過 2 200 km ,寫出不等式為 _ ;如果它每天行駛的路程比原來少 12 km，那么它原來行駛8 天的路程就得花9 天多的時間，用不等式表示為10. 已知實數(shù) x, y 滿足4 x yW1， 1

13、 0, bd0,求證：W;b da+ m a已知 a, b, m 均為正數(shù)，且 avb,求證： .b+ m b學(xué)習(xí)必備歡迎下載12.若二次函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 y 對稱，且 1Wf(1)W2,3Wf(2)W4,求 f(3)的取值范圍.學(xué)習(xí)必備歡迎下載13.設(shè) f(x) = 1 + logx3, g(x) = 2logx2，其中 x 0 且XM1，試比較 f(x)與 g(x)的大小.學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)堂檢測答案1 答案 D解析 據(jù)題意知，500 x+ 400yW20 000，即 5x+ 4yW200,故選 D.2.答案 B解析/ xaa2.2 2/x ax = x(x a)0, x ax.2

14、2又 ax a = a(x a)0 , axa .2 2x xaa .3.答案 A解析M N= x2+ x+ 1 = (x+寸)2+ 4 0. M N.4.答案解析黑-1 1=2 2ff=77 三0 0學(xué)習(xí)必備歡迎下載課時精練答案學(xué)習(xí)必備歡迎下載一、選擇題1 答案 C解析方法一一Ta+ b 0,二 a b,又 bv0, a 0，且 |a| |b|, a b b a.方法_二設(shè) a = 3, b= 2,貝Ua bb a.2.答案 C解析 設(shè) a = 3, b= 1，驗證即得 A、D 錯誤；結(jié)合 y= loggx, y= 2x的單調(diào)性得 B 錯誤，C332正確.3.答案 B解析M N= ab (a

15、 + b 1) = ab a b + 1=(a 1)(b 1)./ a,b(0,1), a1v0,b1v0M N 0, M N.4.答案 C1 1解析中，av0vb, -v-,a b1 1中,bvav0, 1a b1 1中 a b0, v-，a b學(xué)習(xí)必備歡迎下載又 bc,.b bc c，故 A 恒成立;a ab_a/ bva, b_ av0,又 cv0, /- 0,故 B 恒成立;ca_ c/ cva, a_ c0，又 acv0, v0，故 D 恒成立; acb2a2當(dāng) b=_ 2, a = 1 時，b2a2,又 cv0, -va a，故 C 不恒成立.故選 C. c c6.答案 A又 a

16、b, b av0, abv0, a0, bv0，故 A 正確;對于 B,當(dāng) a 0, bv0 時，有呂 2+ 3,但 1v3,故 C 錯；對于 D，當(dāng) a =_ 1, b=_ 2 時，有(一 1)X( 1) ( 2)X3，但一 1v3,故 D 錯.故選 A.7.答案 B解析設(shè)路程為 S,步行速度 v1，跑步速度 v2，則1 11S1St1=+,V1V2ti_ t2+衛(wèi)-具t t122vi2V2vi+ V2(V1+ V2 2 4V1V2解析對于 A ,_ bb aab 0,甲用時乙用時耳,vi+ V22Vi+ V2學(xué)習(xí)必備歡迎下載2V1V2Vi+ V2學(xué)習(xí)必備歡迎下載甲用時多.、填空題&

17、答案解析當(dāng) c2= 0 時不成立.一定成立.3當(dāng) a b 時，a b = (a b)(a?+ ab+ b)= (a b) + 2)+ 4b 0 成立.4當(dāng) bv0 時，不一定成立.如：|2| 3,但22V( 3)2.“宀8x 小9.答案 8(x+ 19) 2 200 9X 12解析 由題意知，汽車原來每天行駛 x km,8 天內(nèi)它的行程超過 2 200 km ,則 8(x+ 19) 2 200.8x若每天行駛的路程比原來少12 km，則原來行駛 8 天的路程就要用 9 天多，即一先9.x 1210.答案6,9解析 設(shè) 9x 3y= a(x y) + b(4x y) = (a+ 4b)x (a

18、+ b)y,9x3y=(xy)+2(4xy),/ 14xyw5, 22(4xy)10,又一 4wx y 1, 69x3y0, bc ad.學(xué)習(xí)必備歡迎下載/ bd 0,c+ d方法二作差比較,a+ b _ c+ d_ ad+ bd be bd _ ad bebT_bd _ bd /ad be0,A 0,a+ ma_ ab+ bm ab am (b a m()()b+m bb b + mb b+ m，avb,二 b a 0,又 m, b 均為正數(shù)，ba m0,b(b + m )a + m a.- -b + m b212.解 由題意設(shè) f(x)= ax + e(a豐0),則f1f1=汨C C,f 2 = 4a + e,a3,所以ef f f( (2 2)e e3, 而 f(3) 9a + e 3f(2) 3f(1) +4f 1f 23d+1 1a a+i,i淳X扒14吝Af(3)A9z3x13 孺f(x)g(x)H1+-Ogx32ogx2”-ogxI(2M飛丄吝xJLogx我HP吝f(x)Hg(x)j1434OA XA V- - 3X V嚴(yán)(3)MS axMox 17=IT;43xsOAXATMXVOOIogxzvpsf(x)vg(x)4Bk呂序Mf(x)Ag(x)jJ4Mx Jf(x)Ng