立體幾何大題練習(xí)(文科)

1、立體幾何大題練習(xí)(文科)：1.如圖，在四棱錐 S- ABCD中，底面 ABCD是梯形，AB/ DC, / ABC=90, AD=SD BC=CD寺心，側(cè)面SAD丄底面ABCD(1)求證：平面SBD丄平面SAD,求側(cè)面 SAB的面積.(2)若/ SDA=120,且三棱錐S- BCD的體積為迫12【分析】(1)由梯形ABCD設(shè)BC=a則CD=a AB=2a運用勾股定理和余弦定理，可得AD，由線面垂直的判定定理可得 BD丄平面SAD,運用面面垂直的判定定理即可得證；(2)運用面面垂直的性質(zhì)定理，以及三棱錐的體積公式，求得BC=1,運用勾股定理和余弦定理，可得SA【解答】(1)證明：在梯形SB,運用三

2、角形的面積公式，即可得到所求值.ABCD 中，AB/ DC,/ ABC=90, BC=CD=aL ,設(shè) BC=a 則 CD=a AB=2a可得 BDa,/ CBD=45,在直角三角形 BCD中，/ BCD=90,/ ABD=45,由余弦定理可得 ad引A哄距a，貝U BD丄AD,由面SAD丄底面ABCD可得BD丄平面SAD,又BD?平面SBD,可得平面SBDI平面SAD(2)解：/ SDA=120,且三棱錐S- BCD的體積為逅1由 AD=SDa,在SAD中，可得 SA=2SDsin60s= a, SAD的邊AD上的高SH=SDsin60逅2a,由SH1平面BCD可得X a2羋,1XaX132

3、2解得a=1, 由BD丄平面SAD,可得BD丄SD,SB+BD+2a=2a，又 AB=2a在等腰三角形SBA中,邊SA上的高為SAX 座 a亞 a£i .2 2 2【點評】本題考查面面垂直的判定定理的運用， 注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查三棱錐 的體積公式的運用，以及推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.2.女口圖，在三棱錐A- BCD中，AB丄AD, BC丄BD,平面ABDX平面BCD點E、F （E與A、D不重合）分別在棱 AD, BD上，且EF丄AD. 求證：（1） EF/平面ABC;(2) AD丄 AC.【分析】（1）利用AB/ EF及線面平行判定定理可得結(jié)論;（2）通過取線段CD上點G

4、,連結(jié)FG EG使得FG/ BC,貝U EG/ AC,利用線面垂直的性質(zhì)定理可知FG丄AD,結(jié)合線面垂直的判定定理可知 AD丄平面EFG從 而可得結(jié)論.【解答】證明：（1）因為AB丄AD, EF丄AD,且A、B、E、F四點共面,所以 AB/ EF,又因為EF?平面ABC AB?平面ABC,所以由線面平行判定定理可知：EF/平面ABC;(2)在線段CD上取點G,連結(jié)FG EG使得FG/ BC,貝U EG/ AC,因為 BC丄 BD, FG/ BC,所以FG丄BD, 又因為平面ABD丄平面BCD 所以FG丄平面ABD,所以FG丄AD, 又因為AD丄EF,且Em FG=F所以AD丄平面EFG所以AD

5、丄EG,【點評】本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化思 想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質(zhì)及判定定理，注意解題方法的積累, 屬于中檔題.3.如圖，在三棱柱 ABC- A1B1C1中，CC丄底面ABC AC丄CB點M和N分別是BiCi和BC的中點.求證：MB/平面AGN;(1)GN/ MB ,即可證明MB /平面ACN;(2)證明AC丄平面BCCBi，即可證明AC丄MB.【解答】證明：(1)證明：在三棱柱ABC- AiBiCi中，因為點M , N分別是BiCi,BC的中點,所以 CiM / BN, GM=BN.所以MCiNB為平行四邊形.所以 CiN/ MB.因為C

6、iN?平面ACN, MB?平面ACN, 所以MB/平面ACiN;(2)因為CG丄底面ABC所以AC丄CG.因為 AC丄 BC BCG CG=C,所以AC丄平面BCCBi.因為MB?平面BCCBi, 所以AC丄MB.考查學(xué)生分析BC, PD丄底面【點評】本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì), 解決問題的能力，屬于中檔題.4.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD|ABCD/ ADC=90, AD=2BC Q為AD的中點，M為棱PC的中點.(D證明：PA/平面BMQ;(D已知PD=DC=AD=2求點P到平面BMQ的距離.利用線面平行【分析】(1)連結(jié)AC交BQ于N

7、,連結(jié)MN，只要證明MN / PA的判定定理可證;（2）由（1）可知，PA/平面BMQ,所以點P到平面BMQ的距離等于點A到平面BMQ的距離.【解答】解：（1）連結(jié)AC交BQ于N,連結(jié)MN，因為/ ADC=90, Q為AD的中點，所以N為AC的中點.（2 分） 當M為PC的中點，即PM=MC時，MN為PAC的中位線,故MN / PA,又MN?平面BMQ，所以PA/平面BMQ.（5分）（2）由（1）可知，PA/平面BMQ,所以點P到平面BMQ的距離等于點A到平面 BMQ 的距離，所以 Vp- bmq=VA-bmq=Vm-abq,取CD的中點K,連結(jié)MK,所以MK/ PD,曲斗PD二1 , - （

8、7分） 又PD丄底面ABCD,所以MK丄底面ABCD又 BCAD=1 , PD=CD=2 所以 AQ=1, BQ=2, |MQ咗，NQ=1 , （ 10 分）所以 Vp-bmq=Va- bmcfVm-（11 分） 則點P到平面BMQ的距離d嚴二呼【點評】本題考查了線面平行的判定定理的運用以及利用三棱錐的體積求點到直 線的距離.5.如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，BC丄AC, D, E分別是AB, AC的中點.（1）求證：Bic/平面 A1DE;（2）求證：平面A1DE±平面ACCA1.即可證明Bi Ci /平面AiDE（2）證明DE丄平面ACCAi ,即可證明平面 AiD

9、E!平面ACCAi.【解答】證明：（i）因為D , E分別是AB, AC的中點,所以DE/ BC,（2 分） 又因為在三棱柱 ABC- Ai Bi Ci中,BiO / BC,所以BiCi / DE（4分） 又BiCi?平面AiDE, DE?平面AiDE,所以BiO /平面AiDE（6分）（2）在直三棱柱ABC- AiBiCi中,CC丄底面ABC又DE?底面ABC所以CG丄DE（8分） 又 BC丄AC, DE/ BC,所以 DE丄AC, - （10分） 又 CC, AC?平面 ACCAi,且 CGG AC=C 所以 DEX平面 ACQAi- （12 分） 又DE?平面AiDE,所以平面AiDE!

10、平面ACCAi（i4分）【點評】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問 題的能力，屬于中檔題.6.在四棱錐P- ABCD中, PC丄底面ABCD M , N分別是PD, PA的中點，AC丄AD ,/ ACD=Z ACB=60 ° PC=AC求證:PBCPA!平面 CMN;【分析】（1）推導(dǎo)出MN / AD , PC丄AD, AD! AC,從而AD!平面PAC進而AD丄PA, MN丄PA,再由CN丄PA 能證明PA!平面CMN.（2）取CD的中點為Q ,連結(jié)MQ、AQ ,推導(dǎo)出MQ / PC,從而MQ/平面PBC再求出AQ/平面,從而平面 AMQ/平面PCB由此

11、能證明 AM/平面PBC【解答】證明：(1)v M , N分別為PD PA的中點, MN 為PAD的中位線， MN / AD, PC1底面 ABCD AD?平面 ABCD 二 PC丄 AD,又 AD丄 AC, PCG AC=C 二 AD丄平面 PAC AD丄 PA,. MN 丄 PA又 PC=AC N 為 PA的中點， CN丄 PA MN n CN=N MN?平面 CMN, CM?平面 CMN, PA!平面 CMN.解( 2) 取 CD的中點為Q,連結(jié)MQ、AQ, MQ 是PCD的中位線， MQ / PC,又 PC?平面 PBC, MQ?平面 PBC 二 MQ /平面 PBC AD丄 AC,

12、/ ACD=60 , / ADC=30 ./ DAQ=/ ADC=30，丄 QAC=Z ACQ=60, / ACB=60,A AQ / BC, AQ?平面 PBC, BC?平面 PBC, AQ/平面 PBC, MQn AQ=Q 平面 AMQ /平面 PCB AM?平面 AMQ , AM /平面 PBCPADB【點評】本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間 的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn) 化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題.7.如圖,在四棱錐P- ABCD中 ,底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)面PAD丄 底面ABCD,

13、且PA=PDAD , E、F分別為PC BD的中點.2(1)求證：EF/平面PAD(2)求證：面PAB丄平面PDC.【分析】(1)連接AC,則F是AC的中點,E為PC的中點，證明EF/ PA利用直線與平面平行的判定定理證明 EF/平面PAD(2)先證明CD丄PA然后證明PA1PD.利用直線與平面垂直的判定定理證明PA1平面PCD最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可得到面 PABI面PDC.【解答】證明：(1)連接AC,由正方形性質(zhì)可知，AC與BD相交于BD的中點F,F也為AC中點，E為PC中點.所以在 CPA中，EF/ PA又PA?平面PAD, EF?平面PAD,所以EF/平面PAD(2)平面PAD

14、丄平面ABCD平面 PADn 面 ABCD=AC? CD丄平面 PAD? CD丄 PA正方形ABCD中 CD丄ADPA?平面PADCD平面ABCD 又PA=PD=AD，所以 PA2+PDmAC2且，即 PA1PD.£因為 CDn PD=D,且 CD PD?面PDC所以 PAD是等腰直角三角形，所以PA丄面PDC又PA?面PAB所以面PAB!面PDC【點評】本題考查直線與平面垂直的判定， 直線與平面平行的判定的應(yīng)用，考查 邏輯推理能力.&如圖，在四棱錐P- ABCD中，PAX平面ABCD,底面ABCD為菱形，且PA=AD=2 BD=, E、F分別為AD、PC中點.(1)求點F到

15、平面PAB的距離;【分析】(1)取PB的中點G,連接FG AG,證得底面ABCD為正方形.再由中位線定理可得FG/ AE且FG=AE四邊形AEFG是平行四邊形，則 AG/ FE運用線面平行的判定定理可得 EF/平面PAB點F與點E到平面PAB的距離相等，運用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得 AD丄平面PAB,即可得到所求距離;(2)運用線面垂直的判定和性質(zhì)，證得 BC丄平面PAB EF丄平面PBC再由面面垂直的判定定理，即可得證.【解答】(1)解：如圖，取PB的中點G,連接FG、AG,因為底面ABCD為菱形，且PA=AD=2 血， 所以底面ABCD為正方形. E、F分別為AD PC中點, FG/ B

16、C, AE/ BC, PG今EC，址冷AD , FG/ AE且 FG=AE四邊形AEFG是平行四邊形， AG/ FE, AG?平面 PAB EF?平面 PAB EF/ 平面 PAB點F與點E到平面PAB的距離相等, 由PA1平面ABCD 可得PA1AD， 又 AD 丄 AB, PAH AB=A,AD丄平面PAB則點F到平面PAB的距離為EA=1.(2)證明：由(1)知 AG丄 PB, AG/ EF, PAI平面 ABCD BC丄 PA BC丄AB, ABn BC=B 二 BC丄平面 PAB由AG?平面PAB BC丄AG,又 PBn BC=B AG丄平面PBC EF丄平面PBC EF?平面 PC

17、E【點評】本題考查空間點到平面的距離，注意運用轉(zhuǎn)化思想，考查線面平行和垂 直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的判定，熟練掌握定理的條件和結(jié)論是解題的關(guān) 鍵，屬于中檔題.9.在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為直角梯形，/ BAD=/ ADC=90,DC=2AB=2ADBC丄PD, E, F分別是PB, BC的中點.求證：(1) PC/平面DEF;故而PC/平面DEF(2)由直角梯形可得BC丄BD,結(jié)合BC丄PD得出BC丄平面PBD,于是平面PBC丄平面PBD.【解答】證明：(1)v E, F分別是PB, BC的中點, PC/ EF,又PC?平面DEF, EF?平面DEF PC/平面 DEF(2

18、)取CD的中點M，連結(jié)BM,則 A也DM，又 AD丄 AB, AB=AD,四邊形ABMD是正方形， BM丄 CD BM=CM=DM=1 , BD邊, bc£ , BE2+BC2=CD, BC丄 BD, 又 BC丄 PD, BDn PD=D, BC丄平面PBD,又BC?平面PBC平面PBC!平面PBD.C【點評】本題考查了線面平行，面面垂直的判定，屬于中檔題.10.女口圖,在三棱錐A-BCD中 , E, F分別為BC, CD上的點,且BD/平面AEF.(1)求證：EF/平ABD面；(2)若AE丄平面BCD, BD丄CD,求證：平面 AEFI平面ACD.【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)可得 BD/ EF,從而得出EF/平面ABD;（2）由AE丄平面BCD可得AE丄CD,由BD丄CD,