東南大學高數(上)至年期末考試(附答案)

1、東南大學高數（上）至年期末考 試（附答案）作者:日期:一、單項選擇題1.設函數0310級高等數學2003級高等數學（每小題 4分，共16分）y（x）由方程1"dt（A）（上冊）期末試卷A）（上）期末試卷x確定，則(C)e-1(A)e1；(B)1-e;(D)2e.（A） y（C） y*二、填空題Acos2x;Ax cos2xBxs in2x;(B)(D)1.xm0(ex2.（每小題1X)x2arcta n x3分，共18 分）ef仏x），其中f可導，則dydx.1、八 一、 x sin-, 設 f(x)x0,Axcos2x;Asi n2x0若導函數f（X）在x 0處連續(xù)，則的取值范圍是

2、0x3.4.若 f (x)x2 t 4_3dt,則f (x)的單增區(qū)間為,單減區(qū)間為5曲線yxe X的拐點是6.微分方程y 4y 4y 0的通解為y三、計算下列各題(每小題 6分，共36 分)1計算積分arcta n x .dxx2)2(1.計算積分5COS x寸223.計算積分x3e x dx0dx4.計算積分一dx一0 2 cosx5.設f(x)連續(xù)，在x 0處可導，且f (0)x 00(tt f(u)du)dt0, f (0)4，求 lim 一x 0 x sinx6.求微分方程2xydy(x22y2)dx0的通解四.（8分）求微分方程3y2y2xex滿足條件yxo 0,y0的特解五.（8

3、分）設平面圖形x2y22x與y x所確定，試求D繞直線x 2旋轉一周所生成的旋轉體的體積。t與X軸所圍成，試求其質量m2tx 5t2（7分）設質量均勻分布的平面薄板由曲線 C:y t2七.（7分）設函數f（X）在a,a上有連續(xù)的二階導數，且f（0）0,證明：至少存在一aa, a，使得 a f (x)dx1.2.3.4.5.填空題函數f已知F設函數2004級高等數學（A）（上）期末試卷（每小題4分，共20分）1X 1的間斷點X是第類間斷點.x是f X的一個原函數，且f X0,則 f X1 X2X2005ex e x dxSint/U4du dt,則 f 02x dt。dt X 0 ,則當 x &

4、lt;1 t3時,取得最大值.二.單項選擇題（每小題4分,共16分）1.設當Xx0時,X都是無窮小0 ,則當X0時,下列表達式中不一定為無窮小的是2(A)X(B)sin- (C)XIn 1(D)2.曲線y1e" arctan，1的漸近線共有2(A) 1 條(B) 2條 (C) 3(D) 43.微分方程2yxe2x的一個特解形式為(A) ax b2 2xX e(B)2xaxe (C)axb e2x(D)ax b2xxe4.下列結論正確的是(A)若c,da,b ,則必有dbf X dx f Xcadx.(B)在區(qū)間a,b上可積，則f X在區(qū)間a, b上可積(C)是周期為T的連續(xù)函數，則對

5、任意常數a都有aX dxTf X dx.(D)在區(qū)間a,b上可積，則f X在a,b內必有原函數三.（每小題7分，共35分）0X2In cost t dt 01. limx 04.2.設函數y x是由方程 x2y2 yexy2所確定的隱函數，求曲線y yx在點0, 2處的切線方程.arcta n x ,.-dxJ 24 I3.X燈COS x cos xdx0sin x5.求初值問題y 01, y1 的解.2四.（8分）在區(qū)間1, e上求一點,使得圖中所示陰影部分繞x軸旋轉所得旋轉體的體積最小In xX五.（7分）設0 a b,求證六.（7分）設當x1時,可微函數f X滿足條件0Xf t dt 0

6、且f 01 ,試證:成立.七 .（7 分）設 f X1在區(qū)間 1,1上連續(xù)，且 f1X dxf X tarXdx 0,證明在區(qū)間 1,1內至少存在互異的兩點1,2,使ff 20.1.2.3.填空題（本題共X22Sint dtlim 6x 0x62005級高等數學（A）（上）期末試卷9小題，每小題4分，滿分36分）3曲線 y 2(1 x)2的斜漸近線方程是y y(x)是由方程y In ylnx所確定的隱函數，則dxf (x) sin x0 f (x)dx，則 f(x). 21 X , X5.設 f(x)Xe , Xsin x6. 2dxxcosx7.曲線yln X相應于1&已知y1e x

7、 與 y2 ea_，常數b9. f (X0)0是曲線y設f在區(qū)間0,上連續(xù)，且4.0，則03(x 2)dxx 3的一段弧長可用積分表示;2x分別是微分方程y ay by 0的兩個特解，則常數f （x）以點（X0, f（X0）為拐點的條件。二.計算下列各題（本題共 4小題，每小題7分，滿分28 分）1.設 f(x)tsin dt，求 f(X)x.e1,e4C/ -24.3.xssin x sin xdx02.4.dx1 X 2x（本題滿分9分）設有拋物線bx2（a 0,b0），試確定常數a、b的值,使得（1） 與直線yx 1相切;與x軸所圍圖形繞y軸旋轉所得旋轉體的體積最大。四.（本題共2小題，

8、滿分14分）1.（本題滿分6分）求微分方程2xye"1 dx ex dy 0的通解。292.(本題滿分8分)求微分方程y 2y X e2x滿足初始條件y(0)2,y (0)的特4解。五.(本題滿分7分)試證：(1)設U方程xinx U在x e時存在唯一的實根 x(u);(2)當 U時,1是無窮小量，且是與x(u)等價的無窮小量。U六.(本題滿分6分) 1證明不等式：lnY2n 11-3AA一5 III 詁1 "亦，其中n是大于1的正整數。2006級高等數學（A） （上）一.填空題（本題共 9小題，每小題4分，滿分36分）X t2e dt0期末試卷X1. lim- X 0 x

9、(cosx 1)2.曲線X 1 t2y t3 在t2對應的點處的切線方程為5.3.4.6.7.函數f(X) X ln(1y（x）是由方程X）在區(qū)間內嚴格單調遞減;xy In y 1所確定的隱函數，則 y （0）5 XX X2 71 X2 dx1 X XX122設 f (x)連續(xù)，且 0tf(2x t)dt - arctanx2，已知 f(1)1,則 f(x)dx y(x)在任意點X處的增量 y y x2，當 X 0時， 是X的1 X已知y高階無窮小，已知y(0)，貝y y(i)&曲線yxIn e1丄的斜漸近線方程是X9.若二階線性常系數齊次微分方程有兩個特解3x¥1 e ,y

10、2ex,則該方程為二.計算題（本題共4小題，每小題7分，滿分28分)1 .計算不定積分arscoHdxVXX22 計算定積分X sin X dx3.計算反常積分 dxX X 14.設 G(x)3dt，求10G(x)dx1x In cost（第 3 頁）三.（本題滿分7分）求曲線 1 自t 0到t 一一段弧的長度。y -si nt42四.（本題共2小題，第1小題7分，第2小題9分，滿分16 分） 1 -求微分方程yy sinx y2 cotx的通解。3x相切。22.求微分方程y y X sinx的特解，使得該特解在原點處與直線y五.(本題滿分7分)設a 1，求積分I (a)a e2xdx的最大值

11、。八.(本題滿分6分)設函數f(x)在2,4上存在二階連續(xù)導數，且f(3) 0,證明：至少存在一點2,4，使得4f ( ) 3 2 f(x)dx。22007級高等數學（A）（上）期末試卷一.填空題（本題共 9小題，每小題4分，滿分36分）1x-22.設y3.已知e x x；，則 dy _;2，則 lim f(3 h) f(3)h 0 sin2h4.對數螺線5.設 y y(x)e在 一對應的點處的切線方程是2石x耳 是由方程 Jet2dtxcost2dt 0確定的隱函數，則y（x）0的單調增加區(qū)間是，單調減少區(qū)間是6.曲線2xy xe的拐點坐標是_，漸進線方程是_7.limnnn2 3n2&am

12、p;Cos2x cosx2 s in3x dx9.二階常系數線性非齊次微分方程y y 2sin x的特解形式為二.計算下列積分（本題共 3小題,210.0x2dx12。e xcosxdx每小題7分，滿分21分）11. arcta n 1 dx三（13）.（本題滿分8分）設f（X）xex2x 0，F(x)（）問F（x）是否為f（X）在（四（14）（本題滿分7分）設f （x）五（15）（本題滿分6分）求微分方程）內的一個原函數？為什么？（2）xx2tsin凹 dt，求 limx 0f(x)2xf (x)dx(ycosxsin 2x)dxdy 0的通解.六（16）.（本題滿分 8 分）設 f（X）、

13、g（x）滿足 f（X） g（x）, g（X） 2ex f（X），且f(0)0, g(0)2，求 0g(X)1 X七（ 17）.（本題滿分8分）設直線y aX （0 a 1）與拋物線y x2所圍成的圖形面積為XS，它們與直線x 1所圍成的圖形面積為 S2 （1）試確定a的值，使S S2達到最小,并求出最小值 （2）求該最小值所對應的平面圖形繞X軸旋轉一周所得旋轉體的體積八（ 18）（本題滿分6分）設f（X）X 12Isint2dt，求證：當 X 0 時，I f(X)| X一.填空題(本題共1.函數xF(x) 12.已知3.曲線4.曲線5.6.7.9.2008級高等數學(A)(上)期末試卷9小題，

14、每小題4分，滿分36分)1-L 2 dt(x 0)的單調增加區(qū)間為t2x arcta n(ax)dxlim , 1，則 at632y x 6x 3x 5的拐點是X3y 3(2 x)2的斜漸近線的萬程是二階常系數線性非齊次微分方程y yx設是常數，若對 x 0，有 ln tdt02 sin4 xdx0設f (x)是連續(xù)函數，且f(x) sinx設 f (x)1 cost2dt，則 0 f (x)dx二.按要求計算下列各題(本題共 5小題,10. limX 0 x(1 cos x)6y 5e2x的特解形式是yxln寸，則f (x)dx，則0 f(x)dx每小題6分，滿分30分)11.0 x274

15、x2 (x 1)4sin(x 1) dx12.已知f(x)的一個原函數為(1 sin x)ln x，求 xf (x)dx13.設 f (x)2xdt, p(x) ax2 bx c,求常數 a、b、c,使得1 tP(0) f (0), P (0)f (0), P (0) f (0)。14。0gdxx0 1，(15).(本題滿分8分)求微分方程y y Si nx 2ex滿足初始條件yx 00的特解.四（16）.（本題滿分7分）設函數f在區(qū)間0,）上連續(xù)，且恒取正值，若對 x （0, f在0, x上的積分（平）均值等于f （0）與f （x）的幾何平均值，試求 f （x）的表達式.2x的切1Sk五（1

16、7）.（本題滿分7分）在xOy平面上將連接原點 0（0,0）和點A（1,0）的線段OA （即 區(qū)間0,1）作n等分，分點記作Pk -,0 ，k 12卅，n 1，過Pk作拋物線y1 n線，切點為Qk，（ 1）設三角形 RQkA的面積為Sk，求Sk ；（ 2）求極限lim -n n k1六（18）.（本題滿分6分）試比較J2 1與In 1 J2的大小，并給出證明.（注：若通過比較這兩個數的近似值確定大小關系，則不得分）七（ 19）（本題滿分 6分）設f（x）在區(qū)間0,2上連續(xù)可導，f（0）f（2） 0,求證:20 f（x）dx maxi f （x）.1.函數f(x)2.設 f(x)3.曲線y4.5

17、.函數y6.7.9.2009級高等數學(A)(上)期末試卷1的定義域是，值域是x xln x-,x1 xa ,0, x1，當a1時，f (x)在x 1處連續(xù);x2的斜漸進線的方程是2(x 1)71 x2 dxx2.2(t 1)edt的極大值點是0dx施1 X)曲線族y(x)是由xxy C1exn . k sin n二.按要求計算下列各題ln sin x ,10.2dxsin xx y t2e1dt 0所確定的函數，則型dxC2e x ( Ci,C2為任意常數)所滿足的微分方程是(本題共5小題，每小題6分，滿分30分)11.2dx(x 7)Jx 212. |im cos(sin X)cosx X

18、 0x2(1 cosx)dx2 cos2x14。設 f(X) arcsin(x 1)2， f (0)0,計算10 f (X)dX.三（15）.（本題滿分8分）求微分方程y 2yX e2X滿足初始條件y（0）1，5y (0)-的特解.4四（16）（本題滿分8分）設函數yf（X）在區(qū)間0,1上可導，在（0,1）內恒取正值，且滿足 xf（X） f（X）3x2，又由曲線yf（X）與直線X 1,y0所圍成的圖形S的面積為2，求函數f（X）的表達式，并計算圖形 S繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積2X2五（17）.（本題滿分6分）已知方程 一ln（1 X ） a在區(qū)間（1,1）內存在兩個互異的實根，試確定常數

19、a的取值范圍.2x六(18).(本題滿分6分)設f(x)在區(qū)間0,1上非負、連續(xù)，且滿足f2(x) 1證明：對 x 0,1，有 f(X)1 x七( 19).(本題滿分6分)設f C l,l,f (x)在x 0處可導，且f (0)(1)求證： x (0,l),(0,1)，使得X0 f(t)dt xf( x) f(x)(2)求極限lim1.2.3.4.5.6.7.9.填空題（本題共x22010級高等數學（A）（上）期末試卷9小題，每小題4分，滿分3 6分）limx (x a)(x b)曲線sin（xy） In（y x） x在點（0,1）處的切線方程是曲線y若曲線函數y的漸近線方程是1 x2ln(1

20、設可導函數y2ax bx 1有拐點（1,0），則b2x）在x 0處的n階導數x y t2y(x)由方程0 e t dt2仮cos仮dx0 dx1x 7x7微分方程二.(本題共10.求極限y(0):Edt確定，則蘆xy y 0滿足條件y（1） 1的特解是4小題，每小題7分，滿分28分）lim(sin x sin (sin x)si n x1 COSX211.求反常積分1求定積分1 sin(ln x)dx.13.求不定積分1x(1dx.x )dx.sin 2xcosx112.sin x,0三(14).(本題滿分7分)設f(x) X,X 0, g(x)0,x 2，分別求0 X -與2x所圍圖形的面積

21、及此圖形繞 xx 時積分0 f(t)g(x t)dt的表達式.四（15）.（本題滿分8分）求由y xsi nx,y軸旋轉的旋轉體的體積.五（16）.（本題滿分7分）求微分方程y 3y2y 2xex滿足初值條件y(0)0 , y (0)0六（17）.（本題滿分8分）設函數yy（x）由參數方程X 2t t (t1)所確定，其中(t)y (t)a5具有二階導數，且（1） I， （1）6，已知32,求函數 (t).dx24(1 t)d2y七（ 18）.（本題滿分6分）設fCa,b,值，證明：至少存在一點a,b，使得:M , m分別是f (X)在a,b上的最大值和最小bf (x)dx M ( a) m(

22、b )-答案:特別說明：以下內容僅供參考，其實解答題和證明題中，解法很多，并且有些解 法比下面提供的參考答案更簡潔。在一些參考答案后，我寫了些說明，有些沒寫。還是希望同學們自己多動腦筋，多思考，多多地動手、動筆去推導去計算。在復 習階段，相互間多討論，多交流交流。別的同學有疑問向你求解釋時，請耐心的 解答（大學時光很寶貴，大學同學間的友情也彌足珍貴。 每一個人都有困難的時 候，說不定什么時候，就換作你自己要尋求別人的幫助。 這是我作為過來人的體 會）。當然，問題確實很繁瑣時，可以建議他直接找我討論。謝謝大家。祝大家 復習愉快，考試取得各自理想的成績，回家開開心心過大年。2003級高等數學（A）

23、（上）期末試卷答案一、單項選擇題（每小題 4分，共16分）1. C2.B3.D 4. C1二、（每小題 3分,共 18 分）1. e2 ; 2.x22sin x f fef2(cosx).34. （ 2,0） （2,三、（每小題6分,共 36 分)2)U(0,2);5.2(2,2e );6. C1 (C2 C3x)e2x1. xarCtanx2.14cos x-ta n3x121c-ta n X C ; 413.-23 2 -e25.2 ；2 2解為 y x (ln IXIC)。四、所求特解y2ex2e2x (x22x)ex.五443七、由f（X）f(0)aaf (x)dx f (0)xaa1

24、 2(0)x 2 f ( )x21 2 1 -f ( )x dx - 2 2a,a上存在最大值 M和最小值m，于是a 2 a 2 mx dx f ( )x dx aa /1 2(0)x 2 f ( )x2 (在 0mx2a 22Mx dx - am a3與x之間）知)x2dx ;又因 f C，所以f在f ( )x2 Mx2 (x a,a),所以2af（）x2dx孑3M，由推廣的積分中值定理知,aa,a使得 af (223)xdx 于 faa3)'即 af(X)dX Ef().Note :還有別的解法。女0“變動的觀點”，構造函數F（x）Xf （t）dt，原問題等價于證: a32間，使F

25、（a）?。ǎ?2004級高等數學（A ）（上）期末試卷答案.（每小題4分，共20分）1.0,2.Cx3. 4e s 4. 1; 5.聶。二.單項選擇題（每小題4分,共16分）1.A; 2.B3. D; 4. C.三.(每小題7分,共35分）11.-6四.(812.（略）3.4. -5.2 21e逅是旋轉體的體積最小的點COSX sinxX -COSX2五.(7提示：設一t,原不等式等價于alnt2(t 1)t 11,即等價于f(t) (t 1)l nt 2(t 1)0,（用函數單調性證明）Note :還有別的構造函數的方法，也有其它解法六.（7分）提示：把所給方程轉化為微分方程，求解得f(x)

26、仟1 X再用函數的單調性和定積分的性質即可。七.（7分）提示：記F（x） J（t）dt，再用Rolle定理。Note :也有其它解法2005級高等數學（A ） （上）期末試卷答案1 -X21;4.1 ；3.x(1 ln y)Sinx 丄;5 .e3 J1 Xdx ;1 X& 1,非充分非必要。二. 1 .f (X)xsin X2 . 1 arctan2 24e 2X.ln(1 72)2-,b3-o 四.1. y Ce x x2e x42. y2xX(x 1)14五.（1 ）提示：設f （x）xinxu ,用零點定理及函數的單調性；（2）提示：用夾逼定理。六.設k為正整k x k 1,-

27、2k 1三邊積分得2x 1 2k 112k 113k 11dx1513In J2n 12x 112n 111 13Note :.1.9.1.，左邊關于k 1,2,2k 11,n 1相加得:2x 1dx ln"2n i邊關于 k 1,2,n也可以用數學歸納法I；2- y4y 3y11人dx2x 112n 1三.S,n相加得:i/2n，所以Inj2n 1+中值定理去證2006級高等數學（A）（上）期末試卷答案3x 7 ； 3.0。arccosVxCln 1四.1,0)；4.7. e4 ；2.1.3.4.2csc x2 . sin32.sin xx -cosx2五. 1 max 13 2

28、-e41 -e4六.證：f (3)f(x)f (3)(x 3)中(x 3)2,(2,4),由于(x)在2,4上連續(xù)，f (x)在2,4上存在最大值m ,才m33)2f()(x3)242 f (x)dxf (3)42(XM 2y(x 3)2，從而143)cx 2 2 f ( )(x3)2dx M4f(x)dx M,由介值定理知至少存在一點2,4，使得 f (4)32 f(x)dxNote :還有別的解法。參見 03年的第七題。2007級高等數學（A） （上）期末試卷答案1.1 . e2sin111112. x x -sin-2cos In x dx ;3.1 ；4.x x x x2x y e2;

29、7 逅& 4/2 ；5.9.6 .1,e 25一.10.一 ； 11 . x arctan 18仮Vxln x2jX12三(1) F(x)不是f(x)在(）內的一個原函數,因為F(0)F(00) 0F(x)在(1 x2-e2f(x)dx 21 2 x2C,四. 'xm0fx 1 五.y Cesinx 2(1 sinx)六.由已知條件知 f（X）2ex，解出f(x)2C,xsin x cosx e ,從而可求出-g(x)0 1 x (1 x)f(x)2Note :求積分時，可采取保持一個不動（比如g(x)1 x不動），然后讓另一個等價變形（朝著保持不動的那一項方向等價變形）o當然

30、還有別的方法，如湊微分等。七.(1)S(a) S(a) S2(a)a0(ax x)dxjx23ax)dx 3是最小值Vx30八.提示：t2,則 f(x)21 cosx2 x2cos(x 1)(X 1)2 cosux2frf(x)1 (X 1)214 x2爐u2008級高等數學（期末試卷答案.1. 0,42.3 ；3. (2, 5) ; 4. y1-X4 ； 5. Axe2x ； 6. - ;7.空3e4xx39.si n128.二；1二.10. 2 ; 11.3a 3, b21 .y-SInx -cosx21 由題意得0 f(t)dt Jf(O)f(X), X12. si nx(xcosx 1

31、sin x)ln x C13.四.0, c 214. hn 22xp f (0) f (x),記f（X） y，則兩端對X求導知y 2yXf(x)f(0)2。CJf (0)x五.（1）設Qjx-yk），則由題意得xk2kdk nyklimn1n1n k 1Skf(x)ln(11 n 12 lim 丄 1n n k 1、 1 2x) x x2(或 f (x)In 1七.2:；(1 x)x2dxln(1 x)Note :也有別的解法，而且解法很多20 f(x)dxx 1 dxmax f0x220 f(x)dxf(x)dx, f(x)21 f(x)dx, f(x)3:F(x)項，即(x)20 f(x)

32、d(x 110f(x)dxf(0)f(2)(x 1)f(x),由函數單調性可得20(X1)f (x)dxmax f (x)0x221 f(x)dx（函數的觀點，將f （ ）x，再用積分的單調性及絕對值不等式的性質放縮。f （ ）（x2），再用積分的單調性及絕對值不等式的性質放縮。20 f （x）dx是某個函數在一些定點處的取值,比如令X1 f (t)dt，將 F (x)分別在 X01和Xo 2處一階Taylor展開（帶Lagrange余F(x) F(X0)F(x0)(x x。)X。）2,介于x和x0間），然后在所得兩2式中都取x 1，再做相應的運算。Note :構造函數的方法也不是唯一的。20

33、09級高等數學（A）（上）期末試卷答案22yxy0 ；14.1710一. 1. R Z , (1,)；2.5.6.2arcsin 仮 C ；7. e1；8.xy10.cotxlnsin x cotx11.12.13.三.y1 z 24(xx)1(1x)e2x四.f(x)2x3x22x23x3dx五.設f(x)ln(1a ,則 fmax f (0)fminf( 1)ln20,故常數a的取值范圍是:ln2六.令F(x)x0 fWdtF (x)J1 2F(x)1,不等式兩邊對x積分,得J12F（x）即 f(x) $2；f(t)dtJ 2F(x)1七. (1)記 F(x)x0 f(t)dt,用Lagrange中值定理(2)由(1)得xx0 f(t)dt 0 f(t)dt2xf(xLf(o)f( x) f(0)x因此 2 f (0) limx 0x0 fWdtx化lim fix亠x 0 2x1一 lim2 x 0f(x)xf(0)f( x) f(0)f (0) 由于 f (