《物理學(xué)教學(xué)》6-2 平面簡諧波的運(yùn)動(dòng)方程

1、一、一、波長波長 波的周期和頻率波的周期和頻率 波速波速OyA A -ux 波傳播方向上相鄰兩振動(dòng)狀態(tài)完全相同波傳播方向上相鄰兩振動(dòng)狀態(tài)完全相同的質(zhì)點(diǎn)間的距離的質(zhì)點(diǎn)間的距離（一完整波的長度一完整波的長度）. 1 波長波長6-2 6-2 平面簡諧波的運(yùn)動(dòng)方程平面簡諧波的運(yùn)動(dòng)方程-波函數(shù)波函數(shù)橫波：橫波：相鄰相鄰 波峰波峰波峰波峰 波谷波谷 波谷波谷 縱波：縱波：相鄰相鄰 波疏波疏波疏波疏 波密波密波密波密 2 周期周期 T 波傳過一波長所需的時(shí)間波傳過一波長所需的時(shí)間，或一完整或一完整波通過波線上某點(diǎn)所需的時(shí)間波通過波線上某點(diǎn)所需的時(shí)間.uT3 頻率頻率 單位時(shí)間內(nèi)波向前傳播的完整波的單位時(shí)間內(nèi)

2、波向前傳播的完整波的數(shù)目數(shù)目. （1 內(nèi)向前傳播了幾個(gè)波長）內(nèi)向前傳播了幾個(gè)波長）s決定于介質(zhì)的彈性（彈性模量）和慣決定于介質(zhì)的彈性（彈性模量）和慣性（密度）性（密度）波在介質(zhì)中傳播的速度波在介質(zhì)中傳播的速度 4 波速波速 u鋼鐵中鋼鐵中 水水 中中例如，聲波在空氣中例如，聲波在空氣中1sm340-1sm5001-1sm0005-四個(gè)物理量的聯(lián)系四個(gè)物理量的聯(lián)系T1TuTuu注意注意0cosOyAt 設(shè)有一平面簡諧波沿設(shè)有一平面簡諧波沿 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 波速為波速為 ，坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn) 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為xuOyxuAA-OPx二、波方程的建立波方程的建立 表

3、示質(zhì)點(diǎn)表示質(zhì)點(diǎn) 在在 時(shí)刻離開平衡位置的距離時(shí)刻離開平衡位置的距離.OyyxuAA-OPx0cosOyAttO 考察波線上考察波線上 點(diǎn)點(diǎn)(坐標(biāo)坐標(biāo) ), , Px P P點(diǎn)比點(diǎn)比O O點(diǎn)的振動(dòng)落后點(diǎn)的振動(dòng)落后 , , P點(diǎn)在點(diǎn)在t t 時(shí)刻時(shí)刻 的位移是的位移是O O點(diǎn)在點(diǎn)在 時(shí)刻的位移，由此得時(shí)刻的位移，由此得xtuxtu-( )()POytytt-()Oxytu-( )( )()POOxytyttytu-0( )()Poxxyty tAtuu-cos 由于由于 為波傳播方向上任一點(diǎn)，因此上為波傳播方向上任一點(diǎn)，因此上述方程能描述波傳播方向上任一點(diǎn)的振動(dòng)，述方程能描述波傳播方向上任一點(diǎn)的振

4、動(dòng)，具有一般意義，即為沿具有一般意義，即為沿 軸正方向傳播的軸正方向傳播的平平面簡諧波的波函數(shù)，又稱波動(dòng)方程面簡諧波的波函數(shù)，又稱波動(dòng)方程.Px0( )cos()OytAtyxuAA-OPx換一種思路！換一種思路！ 由于沿波的傳播方向每增加一個(gè)波長由于沿波的傳播方向每增加一個(gè)波長 ，位相滯后位相滯后 ，所以，所以， 點(diǎn)處振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位相點(diǎn)處振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位相滯后原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)滯后原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)2P2xkx由原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程由原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程0( )cos()OytAt得得P P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為0()cos()y x tAtkx-,可得波動(dòng)方程的幾種不同形式：可得波動(dòng)方程的幾種

5、不同形式：利用利用000coscos2 2 cosxyAtutxATAtkxk-T22uT和和三三、波方程的幾種常見形式波方程的幾種常見形式波函數(shù)波函數(shù)0cos()xyAtu-質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度，加速度0vsin()yxAttu -2202cos()yxaAttu -四四 、 波函數(shù)的物理含義波函數(shù)的物理含義（波具有時(shí)間的周期性）（波具有時(shí)間的周期性）),(),(TtxytxytAycos 則則002x -令令002cosxyAt-Oyt 1 一定，一定， 變化變化 xt表示表示 點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（ 的關(guān)系）的關(guān)系）ty 0 x波線上各點(diǎn)的簡諧運(yùn)動(dòng)圖波線

6、上各點(diǎn)的簡諧運(yùn)動(dòng)圖00tC 令令（定值）（定值）22coscosxxyAA-則則 y o x002cosxyAt- 2 一定一定 變化變化xt 該方程表示該方程表示 時(shí)刻波傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻波傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)的位移的位移, 即即 時(shí)刻的波形（時(shí)刻的波形（ 的關(guān)系）的關(guān)系）ttxy 方程表示在不同時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移，方程表示在不同時(shí)刻各質(zhì)點(diǎn)的位移，即不同時(shí)刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播即不同時(shí)刻的波形，體現(xiàn)了波的傳播.yxuO3 、 都變都變xt0cosOyAtyxuAA-OPx如圖，設(shè)如圖，設(shè) 點(diǎn)振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)方程為Ouxt 點(diǎn)振動(dòng)比點(diǎn)振動(dòng)比 點(diǎn)超前了點(diǎn)超前了PO4 沿沿 軸方向傳播的波動(dòng)方程軸方

7、向傳播的波動(dòng)方程 x-從形式上看：從形式上看：波動(dòng)是波形的傳播波動(dòng)是波形的傳播.從實(shí)質(zhì)上看：從實(shí)質(zhì)上看：波動(dòng)是振動(dòng)的傳播波動(dòng)是振動(dòng)的傳播. 對(duì)波動(dòng)方程的各種形式，應(yīng)著重從對(duì)波動(dòng)方程的各種形式，應(yīng)著重從物理意義上去理解和把握物理意義上去理解和把握. 故故 點(diǎn)的振動(dòng)方程（波動(dòng)方程）為：點(diǎn)的振動(dòng)方程（波動(dòng)方程）為：P0( )cos ()()oxy ty ttAtu0()cos()y x tAtkx,0cosxyAt如圖，設(shè)如圖，設(shè) 點(diǎn)振動(dòng)方程為點(diǎn)振動(dòng)方程為0 x0 xxtu- 點(diǎn)振動(dòng)比點(diǎn)振動(dòng)比 點(diǎn)滯后點(diǎn)滯后P0 x5 已知點(diǎn)不在原點(diǎn)已知點(diǎn)不在原點(diǎn)的波動(dòng)方程的波動(dòng)方程的建立的建立 00()()cosP

8、xxyx ty x ttAtu- -,0()cosxxy x tAtu-,如果沿負(fù)方向傳播如果沿負(fù)方向傳播 00()()cosxxy x ty x ttAtu- ,0cosxyAt0()k xx- 點(diǎn)振動(dòng)位相比點(diǎn)振動(dòng)位相比 點(diǎn)滯后點(diǎn)滯后P0 x00()()cos()Pyx ty x ttAtk xx -,同樣由同樣由 得：得： 0()cos()y x tAtk xx-,因而平面簡諧波波方程的一般形式為因而平面簡諧波波方程的一般形式為0()cosxxy x tAtu-,m0()cos()y x tAtk xx-,m0( , )cos 2xxty x tAT-m0cosxyAt0()cosxy x

9、 tAtu,m0()cosy x tAtkx,m0( , )cos 2txy x tATm 例例1 一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿 軸正方向傳播，軸正方向傳播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)在平衡位置沿 軸正向軸正向運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng). 求：求： 波動(dòng)方程；波動(dòng)方程；m0 . 1A0tm0 . 2s0 . 2TOxOy解解 ( (1) ) 寫出原點(diǎn)處振動(dòng)方程寫出原點(diǎn)處振動(dòng)方程(0 )(2),cosytt-m0 . 1AT22- ()2( , )cosxy x ttu-1uT)(2xtA-cos解解 (2)(2) 寫出原點(diǎn)處振動(dòng)方程寫出原點(diǎn)處振動(dòng)方程(

10、0 )(2),cosytt-m0 . 1AT22-(2)y x tAtkx-( , )cos2k(2)( , )cosy x tAtx-2-0,0tyyv00 xtyAO解解 (3)(3) 寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式()2costx-()+ xy x tAtu-( , )cos2T1A1uT ()2y x ttx-( , )cos2-0,0tyyv00 xt)cos(-kxtAyyAO解解 (4)(4) 寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式)2(-xtycos22kT1A2-0,0tyyv00 xtyAO解解 (5)(5) 寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式寫出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)式()2cos

11、tx-22T1A2 ()+ txy x tAT-( , )cos2 ()222txy x tA-( , )cos 例例2 一平面簡諧波以速度一平面簡諧波以速度 沿直線傳播，波線上點(diǎn)沿直線傳播，波線上點(diǎn) A 的簡諧運(yùn)動(dòng)方的簡諧運(yùn)動(dòng)方 程程-1sm20u)4cos(1032tyA-求求: :( (1) )以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；( (2) )以以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程；( (3) )求傳播方向上點(diǎn)求傳播方向上點(diǎn)C、D 的簡諧運(yùn)動(dòng)方程；的簡諧運(yùn)動(dòng)方程；( (4) )分別求出分別求出 BC ，CD 兩點(diǎn)間的相位差兩點(diǎn)間的相位差.

12、.uABCD5 m9 mxo8 m單位分別為單位分別為m，s).yt, ,; ( (1) ) 以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程)cos()(5t41032x-uABCD5 m9 mxo8 m)cos(),(ttyyA410302-)cos(),(kxttxy-4103252k102u)20(41032xt -cos2(3 10 )cos4t5x-( (2) ) 以以 B 為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程)cos()(),(ttyyA410352-uABCD5 m9 mxo8 m2( , )3 10 cos4(5)y x ttk x- -5k25(3 1

13、0 )cos4(t)20 x- ( (3) ) 寫出傳播方向上點(diǎn)寫出傳播方向上點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程213( 13, )(3 10 )cos45Cyytt-m10uABCD5 m9 mxo8 m)cos()(tyA41032-(a)(a) 以以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)波動(dòng)方程20( , )(3 10)cos(4t)5Axyx t-29(9, )(3 10 )cos45Dyytt- ( (3) ) 寫出傳播方向上點(diǎn)寫出傳播方向上點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程cos)(),(513410382-ttyyCm10uABCD5 m9 mxo8 mtyA)s4cos()m103(12- (b) (b) 以以 B B 為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)波動(dòng)方程為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)波動(dòng)方程5t410320-xtxyBcos)(),(cos)(),(594103142-ttyyD 另解另解( (3) ) 寫出傳播方向上點(diǎn)寫出傳播方向上點(diǎn)C、D的運(yùn)動(dòng)方程的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)點(diǎn)C 的相位比點(diǎn)的相位比點(diǎn)A 超前超前cos)(ACtyC241032-cos)(51341032-tm10uABCD5 m9 mxo8 mtyA)s4cos()m103(12-23 10cos(4 )Ayt-2AC點(diǎn)點(diǎn) D 的相