等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1

1、粒共293222221求求等比等比數(shù)列的數(shù)列的前前3030項(xiàng)項(xiàng)的和。的和。( (一一) )問題探究問題探究問題問題1：這個(gè)故事中，地主中計(jì)了嗎？這個(gè)故事中，地主中計(jì)了嗎？ 到底誰吃虧了？到底誰吃虧了？問題問題2：這個(gè)月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？這個(gè)月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？問題問題3：這個(gè)月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？這個(gè)月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？ （1000粒米約粒米約40克）克）4030=120030=1200（斤）（斤）問題問題4：這是什么數(shù)列求和？求前多少項(xiàng)的和？這是什么數(shù)列求和？求前多少項(xiàng)的和？現(xiàn)在我們一起現(xiàn)在我們一起來尋找答案。來尋找答案。米粒的總數(shù)為米粒的總數(shù)為: :2

2、9323022221S問題問題5 5：如何求出這個(gè)和？用計(jì)算器怎么樣？如何求出這個(gè)和？用計(jì)算器怎么樣？問題問題7 7：怎樣求等比數(shù)列的前怎樣求等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式？項(xiàng)和公式？問題問題6：等差數(shù)列有求和的公式，那么等比數(shù)列是否等差數(shù)列有求和的公式，那么等比數(shù)列是否也有也有求和的公式求和的公式呢？若有就直接用公式呢？若有就直接用公式時(shí)間很長(zhǎng)，太麻煩了。時(shí)間很長(zhǎng)，太麻煩了。( (一一) )問題探究問題探究問題問題8 8：能否能否類比類比等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的求法？項(xiàng)和公式的求法？復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧( (2) 2) 在等比數(shù)列中若在等比數(shù)列中若 m+nm+n = = p+qp+q ,

3、 , 則則 1 1、等比數(shù)列的定義：、等比數(shù)列的定義： a an n . . n+1n+1a a=q =q ( (q=0)q=0)2 2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a = a qa = a qn 1n 1n-1n-13 3、等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的性質(zhì): : (1) (1) 若若 a , G , ba , G , b成等比數(shù)列成等比數(shù)列G =a bG =a b2 2a a = a aa a = a am n m n p qp q國(guó)王 ，我希望在第1個(gè)格子里放1顆麥粒，第2個(gè)格子里放2顆，第3個(gè)格子里放4顆 ，如此下去，每個(gè)格子放的麥粒數(shù)是前一格麥粒數(shù)的2倍,第64個(gè)格子放2

4、顆麥粒，請(qǐng)給我足夠的麥粒來實(shí)現(xiàn)63國(guó)王獎(jiǎng)勵(lì)國(guó)際象棋發(fā)明者問題國(guó)王獎(jiǎng)勵(lì)國(guó)際象棋發(fā)明者問題1 2 3 4 5 6 7 1 2 2 2 2 2 2 216 17 18 19 20 21 22 232 2 2 2 2 2 2 2 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2.24 25 26 27 28 29 30 312 2 2 2 2 2 2 2.32 33 34 35 36 37 38 392 2 2 2 2 2 2 2.40 41 42 43 44 45 46 47 2 2 2 2 2 2 2 2.48 49 50 51 52 53

5、54 5556 57 58 59 60 61 62 63 . 2 2 2 2 2 2 2 2. 沒問題沒問題！ 1+2+4+8+263=?2 26464-1-1超過超過70007000億噸億噸二、新課講解：二、新課講解： 633222221S即， 646332222222S， 得即., 12264 SS1264S由此對(duì)于一般的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和n112111nnqaqaqaaS，如何化簡(jiǎn)？根據(jù)根據(jù)式，式，如何構(gòu)造另一個(gè)式子如何構(gòu)造另一個(gè)式子？ 把這兩個(gè)式子怎么樣？把這兩個(gè)式子怎么樣？nnnaaaaS121等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)121aaaaSnnn + + 得：得：)()

6、()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn)(21nnaanS2)(1nnaanS倒序相加倒序相加nnSna項(xiàng)和為為等差數(shù)列，其前數(shù)列( (三三) )方法回顧方法回顧的目的：出現(xiàn)相等的項(xiàng)，從而化簡(jiǎn)的目的：出現(xiàn)相等的項(xiàng)，從而化簡(jiǎn)解析解析1 1：找個(gè)具體的等比數(shù)列來檢驗(yàn)找個(gè)具體的等比數(shù)列來檢驗(yàn)問題問題1 1：對(duì)于等比數(shù)列，是否也能用對(duì)于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加倒序相加的方法的方法進(jìn)行求和呢進(jìn)行求和呢? ?請(qǐng)大家動(dòng)手試試。請(qǐng)大家動(dòng)手試試。nnnaaaaS121項(xiàng)和公式前為等比數(shù)列，請(qǐng)推導(dǎo)其已知數(shù)列nan168421nS124816nS) 116()28()44()82()161 (2n

7、S171081017( (四四) )類比探究類比探究每個(gè)括號(hào)里的值不相等每個(gè)括號(hào)里的值不相等, ,不能寫成不能寫成n n倍來化簡(jiǎn)倍來化簡(jiǎn)! !)()(121nnaaaa)()()()(2121121aaaaaaaaSnnnnn所以所以解析解析2 2：一般地，對(duì)于等比數(shù)列，因?yàn)椋阂话愕?，?duì)于等比數(shù)列，因?yàn)椋簡(jiǎn)栴}問題1 1：對(duì)于等比數(shù)列，是否也能用對(duì)于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加倒序相加的方法的方法進(jìn)行求和呢進(jìn)行求和呢? ?請(qǐng)大家動(dòng)手試試。請(qǐng)大家動(dòng)手試試。nnnaaaaS121項(xiàng)和公式前為等比數(shù)列，請(qǐng)推導(dǎo)其已知數(shù)列nan( (四四) )類比探究類比探究)(1naan無法化簡(jiǎn)無法化簡(jiǎn)11212111

8、nnnqaqaqaqaaS問題問題1 1：對(duì)于等比數(shù)列，是否也能用對(duì)于等比數(shù)列，是否也能用倒序相加倒序相加的方法的方法進(jìn)行求和呢進(jìn)行求和呢? ?請(qǐng)大家動(dòng)手試試。請(qǐng)大家動(dòng)手試試。nnnaaaaS121項(xiàng)和公式前為等比數(shù)列，請(qǐng)推導(dǎo)其已知數(shù)列nan反思：反思：對(duì)于等比數(shù)列求和，不能照搬對(duì)于等比數(shù)列求和，不能照搬倒序相加倒序相加的方的方法。而是要挖掘此方法的本質(zhì)（求和的根本目的）。法。而是要挖掘此方法的本質(zhì)（求和的根本目的）。問題問題2 2：求和的根本目的是什么？求和的根本目的是什么？答：答：求和的根本目的是求和的根本目的是消項(xiàng)消項(xiàng)。消項(xiàng)后就可化簡(jiǎn)。消項(xiàng)后就可化簡(jiǎn)。改進(jìn)：改進(jìn)：為了看清式子的特點(diǎn)，我們

9、不妨把各項(xiàng)都用為了看清式子的特點(diǎn)，我們不妨把各項(xiàng)都用首項(xiàng)和公比來表示。首項(xiàng)和公比來表示。( (四四) )類比探究類比探究11212111nnnqaqaqaqaaS項(xiàng)和公式前為等比數(shù)列，請(qǐng)推導(dǎo)其已知數(shù)列nan問題問題4 4：類比等差數(shù)列求和方法，需要構(gòu)造另一個(gè)式子類比等差數(shù)列求和方法，需要構(gòu)造另一個(gè)式子，而，而要達(dá)到消項(xiàng)的目的，就須使兩式具有要達(dá)到消項(xiàng)的目的，就須使兩式具有問題問題3 3：觀察求和的式子觀察求和的式子，相鄰兩項(xiàng)有什么特征？怎樣把某，相鄰兩項(xiàng)有什么特征？怎樣把某一項(xiàng)變成它的后一項(xiàng)？一項(xiàng)變成它的后一項(xiàng)？后項(xiàng)后項(xiàng)= =前項(xiàng)前項(xiàng)公比公比相同的項(xiàng)相同的項(xiàng)問題問題5 5：如何構(gòu)造式子如何構(gòu)造

10、式子？ 將式子將式子的兩邊都乘以的兩邊都乘以qnnnqaqaqaqaqaqS11131211問題問題6 6：為了消項(xiàng)，接下來將這兩個(gè)式子怎么樣？為了消項(xiàng)，接下來將這兩個(gè)式子怎么樣？相減相減( (四四) )類比探究類比探究qqaSnn 1)1(1nnaaaS21 - - 得：得：nnqaaSq111問題問題7 7：要求出：要求出 ，是否可以把上式兩邊同除以，是否可以把上式兩邊同除以 ？nSq1當(dāng)當(dāng) 時(shí)，除以時(shí)，除以 得：得： q11, 01qq即當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，1, 01qq即?nS111aaa11212111nnnqaqaqaqaaSnnnqaqaqaqaqaqS111312111na( (四四

11、) )類比探究類比探究當(dāng)當(dāng) q=1 時(shí)，時(shí)，1naSn項(xiàng)和為的前設(shè)等比數(shù)列nan當(dāng)當(dāng)q1時(shí)，時(shí)，nnaaaaS.321則則qqaSnn 1)1(1探究成果：探究成果：( (四四) )類比探究類比探究等差數(shù)列等差數(shù)列方法小結(jié)：方法小結(jié)：課后思考：課后思考：用錯(cuò)位相減法求和時(shí)只能乘以用錯(cuò)位相減法求和時(shí)只能乘以公比嗎？能否乘以其它的數(shù)？公比嗎？能否乘以其它的數(shù)？聯(lián)想我們所學(xué)過的知識(shí)，即類比聯(lián)想我們所學(xué)過的知識(shí)，即類比，挖掘其方法的（求，挖掘其方法的（求和的根本目的是），結(jié)合等比數(shù)和的根本目的是），結(jié)合等比數(shù)列自身的來構(gòu)造式子，再把兩列自身的來構(gòu)造式子，再把兩式，這種求和方法叫做式，這種求和方法叫做求

12、和方法求和方法本質(zhì)本質(zhì)消項(xiàng)消項(xiàng)特征特征相減相減錯(cuò)位相減錯(cuò)位相減( (四四) )類比探究類比探究問題問題1 1：還有其它的推導(dǎo)方法嗎？還有其它的推導(dǎo)方法嗎？11212111nnnqaqaqaqaaS問題問題2 2：根據(jù)式的特點(diǎn)，能否建立一個(gè)關(guān)于根據(jù)式的特點(diǎn)，能否建立一個(gè)關(guān)于 的的方程？若能，就可從方程中解出方程？若能，就可從方程中解出nSnS問題問題3 3：式的左邊是式的左邊是 , ,要建立一個(gè)關(guān)于要建立一個(gè)關(guān)于 的方的方程程, ,那就要將式的右邊也用含那就要將式的右邊也用含 的式子來表示。的式子來表示。nSnS問題問題4 4：觀察觀察式的右邊式的右邊，從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)，從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)

13、都含有因式都含有因式 ，是否可考慮將之提出來？，是否可考慮將之提出來？qnS( (五五) )方程探究方程探究11212111nnnqaqaqaqaaS問題問題5 5：括號(hào)里面的，與括號(hào)里面的，與式右邊對(duì)照，少了哪一項(xiàng)式右邊對(duì)照，少了哪一項(xiàng)？)(2131111nnqaqaqaaqa問題問題6 6：括號(hào)里面的，怎樣用含括號(hào)里面的，怎樣用含 的式子表示？的式子表示？nS)(1qa nS從這個(gè)方從這個(gè)方程解出程解出nS11nnqaS問題問題7 7：這樣就得到了一個(gè)什么方程？這樣就得到了一個(gè)什么方程？問題問題8 8：解方程時(shí)要注意對(duì)進(jìn)行。解方程時(shí)要注意對(duì)進(jìn)行。 一元一次方程一元一次方程未知量的系數(shù)未知量

14、的系數(shù)討論討論( (五五) )方程探究方程探究nnqaaSq111當(dāng)當(dāng) q=1 時(shí)，時(shí)，1naSn當(dāng)當(dāng)q1時(shí)，時(shí)，qqaSnn 1)1(111212111nnnqaqaqaqaaS)(2131111nnqaqaqaaqa)(111nnqaSqanS( (五五) )方程探究方程探究(建立方程建立方程)用用 表示表示注意：注意：方程法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法！方程法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法！ 一部分項(xiàng)一部分項(xiàng)提公因式提公因式過程小結(jié)：過程小結(jié)：解方程解方程nS根據(jù)等比數(shù)列求和式子的特點(diǎn)，對(duì)其部分項(xiàng)提出公根據(jù)等比數(shù)列求和式子的特點(diǎn)，對(duì)其部分項(xiàng)提出公因式后，可將其用含的式子表示出來，因式后，可將其用含

15、的式子表示出來，從而建立關(guān)于的方程，解此方程即可。從而建立關(guān)于的方程，解此方程即可。 課后思考：課后思考：對(duì)和式的右邊部分，只能提出公對(duì)和式的右邊部分，只能提出公比嗎？能否提出其它的公因式？比嗎？能否提出其它的公因式？ nSnSq( (五五) )方程探究方程探究( (六六) )熟悉理解熟悉理解等比數(shù)列前等比數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式當(dāng)當(dāng)q1時(shí)，時(shí)，.11qqaaSnn 當(dāng)當(dāng)q1時(shí)，時(shí)，;1naSn ,1)1(1qqaSnn 思考思考1 1：根據(jù)公式，要求一個(gè)等比數(shù)列的前根據(jù)公式，要求一個(gè)等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和，項(xiàng)和，一般要先求出哪些量？一般要先求出哪些量？思考思考2 2：能否將能否將SnSn

16、和用和用a a1 1, , q q, , a an n來表示？來表示？思考思考3 3：什么時(shí)候用公式什么時(shí)候用公式, , 什么時(shí)候用公式什么時(shí)候用公式? ?例例1.求下列等比數(shù)列前求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和項(xiàng)的和. 0,2431,27)2(91 qaa81,41,21)1( (七七) )公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用思考：能否用公式求思考：能否用公式求 ？8S答：可以。但要先求出公比答：可以。但要先求出公比 和和8aq解題思路：求出公比解題思路：求出公比 后用公式求后用公式求8Sq21)21 (1)2(84211nn變式變式1 1 判斷正誤：判斷正誤：aaaaann1)1 (1112反思總結(jié)反思總結(jié):用公

17、式前，先弄清楚數(shù)列的首項(xiàng)用公式前，先弄清楚數(shù)列的首項(xiàng) 、公比、公比 、項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)數(shù)n n1aq21)21 (12222132nn( (七七) )公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用29323022221S( (八八) )問題解決問題解決問題問題1：這個(gè)故事中，地主中計(jì)了嗎？這個(gè)故事中，地主中計(jì)了嗎？ 到底誰吃虧了？到底誰吃虧了？問題問題2：這個(gè)月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？這個(gè)月，農(nóng)夫一共要給地主多少斤米？問題問題3：這個(gè)月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？這個(gè)月，地主一共要給農(nóng)夫多少斤米？ （1000粒米約粒米約40克）克）4030=120030=1200（斤）（斤）地主中計(jì)地主中計(jì)米粒的總數(shù)為米粒的總數(shù)為: :粒

18、930301007. 11221)21 (1斤85600啟示啟示：這個(gè)故事告訴我們這個(gè)故事告訴我們( (八八) )問題解決問題解決( (九九) )課堂小結(jié)課堂小結(jié)1. 一個(gè)公式：一個(gè)公式：2. 兩種方法：兩種方法：3. 三種數(shù)學(xué)思想：三種數(shù)學(xué)思想：這節(jié)課我們主要學(xué)到了什么？這節(jié)課我們主要學(xué)到了什么？錯(cuò)位相減錯(cuò)位相減解方程解方程類比類比方程方程分類討論分類討論,11)1 (,111qqaaqqanaSnnn1q1q( (十十) )作業(yè)布置作業(yè)布置qaaaaaann12312(2)(2)請(qǐng)從等比數(shù)列定義的兩種形式出發(fā)，分別請(qǐng)從等比數(shù)列定義的兩種形式出發(fā)，分別用不同的方法推導(dǎo)出等比數(shù)列前用不同的方法

19、推導(dǎo)出等比數(shù)列前n n項(xiàng)和的公式項(xiàng)和的公式: : 形式形式形式形式qaaqaaqaaqaann1342312,(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和231, 3 , 5, 7,aaa在等比數(shù)列中，已知 中的三個(gè)，可求另外兩個(gè)。變式變式2 2 填空：填空：1, , ,nna q n aS反思總結(jié)反思總結(jié): :如果不能用公式直接求出某個(gè)量，就要建立方程組來求解。qn第1題326第2題80.50.5第3題 -1.5496第4題 1.534.5第5題-2-96 -661anSna96189515.5-476.511.5-65等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí)1等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí)項(xiàng)和練習(xí)2

20、1. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 1，2，4，從第從第5項(xiàng)到第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和項(xiàng)的和. ,2, 11qa,21,231qa.1521)21 (144S.102321)21 (11010S1008151023SS410 從第從第5項(xiàng)到第項(xiàng)到第10項(xiàng)的和項(xiàng)的和: 2. 求等比數(shù)列求等比數(shù)列 從第從第3項(xiàng)到第項(xiàng)到第7項(xiàng)的和項(xiàng)的和. ,83,43,23.1283812112112377 S從第從第3項(xiàng)到第項(xiàng)到第7項(xiàng)的和項(xiàng)的和:.1281534912838143237S 已知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為 的等比數(shù)列求下列數(shù)列的前 項(xiàng)和：2112.31,nnnnnanaa aa 已知數(shù)列求的前 項(xiàng)和11113.1,242nnnaan 課堂練習(xí)：.等比數(shù)列的公比前 項(xiàng)和求求和：等比數(shù)列的前 項(xiàng)和為若求公比 的值422336912,2.13.,2,.nnnnnnSaqnSaSxxxxanSSSSq 342q 等比數(shù)列的首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的和為 ，偶數(shù)項(xiàng)的和為求數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)。4.185170,共 項(xiàng),公比q=28111(1)(1)1