汽車結構有限元分析第二講有限元基礎理論ppt課件

1、第二講 有限元基礎理論 及平面問題有限元方法 講述以下問題-1.有限元與力學關系2.回想-材料力學研究對象與研究方法3.強度問題 、剛度問題、穩(wěn)定性問題4.點的應力狀態(tài)-空間問題5.廣義Hooke定律6.彈性力學的基本方程7.彈性力學問題分類8.三大方程、三類問題、三種解法9.平面問題10.平面問題的有限元方法1.有限元與力學關系彈性力學與理論力學區(qū)別：理論力學研究對象是質點、質點系與剛體質點系力學與剛體力學）。材料力學與彈性力學研究變形體。 力學分支眾多：材料力學、結構力學、彈性力學、板殼力學、塑性力學、斷裂力學、損傷力學、復合材料力學、結構穩(wěn)定性理論、振動理論、流體力學、結構動力學等; 有

2、限元方法是以力學理論為基礎，是一種現(xiàn)代數(shù)值計算方法，是一種解決工程實際問題的數(shù)值計算工具，是現(xiàn)代設計與分析方法的支柱！2.回想-材料力學研究對象與研究方法研究各種工程結構：常見的如下結構元件構件）: （1桿、桿系、梁、柱，（長寬和高）-材料力學（2板(中厚板)、殼，（厚長與寬）-扳殼力學（3三維體，-彈性力學截面法是處理固體力學問題的最基本的方法：通過外力作用力和約束力與內力應力平衡求構件的響應，通過本構物理關系求變形位移與應變），最重要的是材料力學中的平截面法，其中尤以梁的平截面假設最為重要。-簡化計算！平截面假設平截面假設初始與梁的中性軸垂直的平面初始與梁的中性軸垂直的平面,在變形后仍垂直

3、在變形后仍垂直于軸線于軸線, 并且在垂直軸線方向上無變形；并且在垂直軸線方向上無變形；梁的基本方程：梁的基本方程：22dxwdEIM122dxwd2max6bhM)4(222ayhIQbhQ23maxmax maxIyM 3.研究工程結構在使用狀態(tài)下的安全性、可靠性、使用性等，實現(xiàn)結構的功能與性能。強度問題(應力值不超過許用值) ；剛度問題(變形不太大)；穩(wěn)定性問題不失穩(wěn)）；振動問題量值在限制范圍）；碰撞問題安全生存空間）；4 .點的應力狀態(tài)-空間問題xyzyyzyxzyzxxyxzyzyxxzxz彈性問題彈性問題 應力只取決于應變狀態(tài)，與達到該狀態(tài)的過程無關。應力只取決于應變狀態(tài)，與達到該狀

4、態(tài)的過程無關。九個應力分量，九個應變分量獨立變量各六個）。九個應力分量，九個應變分量獨立變量各六個）。單元體研究方法。單元體研究方法。 zzyzxyzyyxxzxyx zzyzxyzyyxxzxyx 2121212121216.彈性力學的基本方程-三大方程物理方程 x=2Gx + xy = Gxy y=2Gy + yz = Gyz z=2Gz + zx = Gzx0Xzyxzxyxx0Yzyxzyyxy0Zzyxzyzxz 平衡方程平衡方程xuxxvyuxyyvyywzvyzzwzzuxwzx 幾何方程5.各向同性彈性體廣義Hooke定律 EEzyxx xyxyE 12 EExzyy yzyz

5、E 12 EEyxzz zxzxE 12彈性力學有彈性力學有15個基本方程：個基本方程： 3個平衡方程；個平衡方程； 6個幾何方程；個幾何方程； 6個本構方程；個本構方程；15個基本未知量：個基本未知量： 3個位移分量；個位移分量； 6個應力分量；個應力分量； 6個應變分量；個應變分量；* 加適當邊界條件。加適當邊界條件。彈性力學問題解法-三種解法位移法、應力法、混合法）物理方程 應力平衡微分方程靜力邊界條件 變形(位移與應變)變形協(xié)調方程(或位移單值連續(xù))位移邊界條件以位移作為未知數(shù)幾何方程求應變物理方程求應力位移解法聯(lián)立求解彈性力學問題分類-三類邊界問題靜力邊界問題 位移邊界問題混合邊界問

6、題S uS (X,Y,Z)(X,Y,Z)由位移表示的平衡微分方程其中 是Lplace算子靜力邊界條件使用位移表示位移邊界條件0)(XxGuG20)(YyGvG20)(ZGwG2z2222222zyx9. 平面問題平面應變物體是一柱體，軸向方向很長 所有外力體積力和面力都平行于橫截面作用，且沿軸線大小不變平面應力沿z方向的厚度t均勻且很小所有外力均作用在板的周邊和板內，平行于板面作用，且沿厚度不變xyzyt/2t/2t/2zxy平面應變特點 （1位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w = 0 （2應變 平面內， x、y、xy 0，均為x、y的函數(shù)； 平面外，z=xz=yz =0； （3應力

7、 z=(x+y)平面問題的協(xié)調方程01)(yxzz Eyxrxyxyyx222222平面應力特點 （1應力 在z = 的面上各點沒有任何應力 z=zx =zy =0 在面內： x、y、xy 0 （2應變2txyxyyxyyxx E EE EE12yxz E xz=yz=0 （3) 位移 u=u(x,y) v=v(x,y) w 0平面問題平衡微分方程0Xyxyxx 0Yyxyxy 平面問題幾何方程yvy xvyuxy xux 10.有限元方法概念平面問題的有限元法用彈性力學經典解法解決實際問題的主要困難在于求解偏微分方程的復雜性，而有限元方法則將原來連續(xù)的彈性體離散化，其中最簡單的就是采用三角形

8、單元對彈性體進行劃分。 把整個求解區(qū)域分成許多個有限小區(qū)域，這些小區(qū)域稱之為單元。在每個單元上構造近似位移函數(shù)，即進行所謂的分片插值。在每一個單元上求勢能。將所有單元上的勢能加起來得彈性體的總勢能。最后應用最小勢能原理求解單元節(jié)點位移。對每個三角形單元選擇最簡單的線性函數(shù)為位移模式，單元中任一點的位移可以通過3個結點的位移進行插值運算，這樣整個區(qū)域中無限多個未知位移量就可以用有限個節(jié)點來表示，從而避免了求解覆蓋整個區(qū)域的位移函數(shù)的困難。平面問題的有限元法，不僅可用來解決實際問題，而且通過其相對簡單的概念，可以詳細了解用有限元法對一般彈性體進行應力分析的基本原理和方法步驟，了解有限元法的性能特點

9、，使用中應注意的問題，從而為學習后續(xù)各章節(jié)打下基礎。 ijmxy(x, y)uv下面就以平面三角形單元闡明有限元的基本概念單元位移模式 每個節(jié)點在單元平面內有兩個位移分量，相應有兩個自由度： 一個三角形單元有三個節(jié)點，共6個節(jié)點位移分量，其單元節(jié)點位移列陣可表示為：位移模式可取為最簡單的線性函數(shù)，包含6個待定常數(shù) 、 。 Tiiivu),(mji TmmjjiiTTmTjTievuvuvu163321321321yxuyxuyxummjjjiii3654654654yxvyxvyxvmmjjjiii一種簡單的線性位移函數(shù)為：式中 、 為6個待定常數(shù)，可以由單元的節(jié)點位移確定。設節(jié)點 的坐標分別

10、為( ， )、（ ， ）、（ ， ），其節(jié)點位移為， ，將它們代入上式得：聯(lián)立求解上述公式左邊的6個方程，可以求出待定常數(shù): 整理后得 ：yxvyxu65432116ixiyjxjymxmy),(),(),(mmjjiivuvuvu、3321321321yxuyxuyxummjjjiii3654654654yxvyxvyxvmmjjjiii)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAv單元形函數(shù)函數(shù) 表示單元內部的位移分布形態(tài)，故 可稱為單元的形態(tài)函數(shù)，簡稱為形函數(shù)。 得到由節(jié)點位

11、移表達單元內任一點位移的插值公式，即位移模式的另一形式。)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu)()()(21mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAv),()(21mjiycxbaANiiii),(mjivNvNvNvuNuNuNummjjiimmjjiiiNiNjNmN單元應變和應力 mmjjiimmjjiimjimjixyyxvuvuvubcbcbccccbbbA00000021 eB mjiBBBB eeSBD mjiSSSBDS ),(2/)1 (2/)1 ()1 (22mjibccbcbAEBDSiiiiiiii單元平

12、衡方程 整個結構處于平衡狀態(tài)，所劃分出的一個小單元體同樣處于平衡狀態(tài)，而結構的平衡條件可通過節(jié)點的平衡條件表示。有限元的任務就是要建立和求解整個彈性體的節(jié)點位移和節(jié)點力之間關系的平衡方程。為此首先要建立每一個單元的節(jié)點位移和節(jié)點力之間關系的平衡方程。單元平衡方程可以利用最小勢能原理建立，也可以利用虛功原理求解。單元節(jié)點力列陣 ：單元節(jié)點虛位移列陣：單元內部引起的虛應變 ： 根據虛功原理：外力虛功等于內力虛功。所以節(jié)點力在節(jié)點的虛位移上所作的虛功應等于單元內部應力在虛應變上所作的虛功。這就是單元保持平衡狀態(tài)所必須滿足的條件，即單元的平衡條件。 TmmjjiieYXYXYXF Tmmjjiivuv

13、uvu* Tzyx* tdxdyFTeeT*eTetdxdyBDBFeeekFtdxdyBDBkTeemmmjmijmjjjiimijiimjiTmTjTiekkkkkkkkkAtBBBDBBBk單元剛度矩陣 利用虛功方程來建立剛度方程，其實質就是單元的平衡方程。單元剛度矩陣具有以下性質： (1) 單元剛度矩陣中每個元素有明確的物理意義。其物理意義是單位節(jié)點位移分量所引起的節(jié)點力。例如， 是表示當單元第n個自由度產生單位位移而其它自由度固定時，在第m個自由度產生的節(jié)點力。 是對稱矩陣。其元素之間有如下關系： ，這個特性是由彈性力學中功的互等定理所決定的。（3） 是奇異矩陣。其每一行每一列元素之

14、和均為零，物理意義就是：在無約束的條件下，單元可作剛體運動。根據行列式性質，可知值也為零。 mnksrrskkekek 單元等效節(jié)點載荷 外載荷必須作用在節(jié)點上，而實際的外載荷又往住并不是通過節(jié)點作用的。因此，必須將這些非節(jié)點載荷按一定原則移置到節(jié)點上，即所謂等效節(jié)點載荷處理。這種移置必須滿足靜力等效原則。 處理單元內的集中力、體力和單元邊界上的分布力 ，慣性力則作用在整個結構上?？倓偠染仃?當以有限個單元通過有限個節(jié)點連接而成的組合體來代替實際的連續(xù)體結構而受力變形時，顯然它們必須滿足整個結構的變形連續(xù)條件和平衡條件。 在整體分析中，利用節(jié)點為分析對象，根據各節(jié)點的靜力平衡條件，即可建立起組

15、合體所有節(jié)點的靜力平衡方程式。把它們匯集在一起，得到的平衡方程組就代表了整個結構的平衡條件。進行整體分析，即是將各個單元的平衡方程集合在一起，得到結構的整體平衡方程。 K為結構的整體剛度矩陣，一般稱為總剛度矩陣，其維數(shù)為2n2n。可寫成分塊形式。 RK TTnTTT321 TTnTTTRRRRR321解題步驟與算例 (1)首先繪出結構幾何簡圖，在此基礎上將結構離散化。平面問題采用三角形單元(其他形狀單元以后講述)，所以其離散就是將計算對象劃分成許多三角形單元。包括：進行節(jié)點編號、單元編號，任選一直角坐標系，定出所有節(jié)點的坐標值等等。確定載荷和邊界約束條件，將各單元所受的非節(jié)點載荷，包括體力、面力以及可能有的集中力按虛功等效原則移置到節(jié)點上，并將各節(jié)點上的這些載荷包括直接作用在節(jié)點上的集中載荷分別按相同方向疊加等。 (2)其次進行單元分析、組集總剛度矩陣、求單元應力和節(jié)點應力。 前處理計算后處理 nnnnnnnRRRnKKKKKKKKK2121212222111211平面問題的離散化 v單元類型的選擇 v單元的大小 v單元有密有疏 v不同厚度或不同材料處，應取作為單元的邊界線 平面問題的有限元法，不僅有實際意義，而且通過其相對簡單的概念，可以詳細了解用有限元法對一般彈性體進行應力分析的基本原理和方法