滬教版(上海)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)17.2一元二次方程及其解法(一)教案

1、17.2 一元二次方程及其解法（一） 教案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會(huì)把一元二次方程化為一般形式；2 .掌握直接開平方法和因式分解法解方程，會(huì)應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問題；3 .理解解法中的降次思想，直接開平方法和因式分解法中的分類討論與換元思想【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的有關(guān)概念1 . 一元二次方程的概念：通過化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.要點(diǎn)詮釋：識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：（1）整式方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元

2、二次方程，缺一不可 2. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于 x的一元二次方程，都能化成形如 篦J十歷:斗。=0（口豐，這種形式叫做一元二次方程的一般形式.其中以?是二次項(xiàng)，比是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).要點(diǎn)詮釋：（1）只有當(dāng)口注0時(shí)，方程+ e = 0才是一元二次方程；（2）在求各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要漏 掉前面的性質(zhì)符號(hào).3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4. 一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程 /

3、斗/= 0（口 H0）必有一根 x=1 ；反之也成立，即若 x=1是一元二次方程+5工斗c = 0（。主0）的一個(gè)根，則 a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程&W +方4+匯=0（。工0）必有一根x=-1 ；反之也成立，即若 x=-1是一元二次方程 5/ d岳r + c = 0口牡0）的一個(gè)根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程 a/十岳r + c = O（3 W。）有一個(gè)根x=0,則c=0;反之也成立，若 c=0,則一元二次方程+厲r-c = 0（以k 0）必有一根為0.要點(diǎn)二、特殊的一元二次方程的解法1 .直接開方法解一元二次方程：(1)直接開方法解一元二次方

4、程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法(2)直接開平方法的理論依據(jù)： 平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：形如關(guān)于x的一元二次方程 犬=次,可直接開平方求解.若白、。，則;=±而；表示為戈1 = J工4 = - V ,有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；若口 : 0 ,則x=o；表示為其=均：=0 ,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若4 V。，則方程無實(shí)數(shù)根.形如關(guān)于x的一元二次方程("工4舞)“二陰別之0),可直接開平方求解，兩根是要點(diǎn)詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù) 的完全平方式，

5、右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根2 .因式分解法解一元二次方程(1)用因式分解法解一元二次方程的步驟將方程右邊化為 0;將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；令這兩個(gè)一次式分別為 0,得到兩個(gè)一元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解(2)常用的因式分解法提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法等要點(diǎn)詮釋：(1)能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是 0,另一邊可以分解成兩個(gè)一次 因式的積；(2)用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0,那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；(3)用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：必須

6、將方程的右邊化為0;方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、關(guān)于一元二次方程的判定例題1.判定下列方程是不是一元二次方程：；(/2)=24工 + ：)一1/ ;(2) 3H2-1)+6 = 2 6(白一/) .dj【答案】(1)是；(2)不是.【解析】(1)整理原方程，得I 3 2 -4 a-x - - = 2工 + x+ x ,3332 c所以 一3二一五一一二U.3其中，二次項(xiàng)的系數(shù) 一 ,所以原方程是一元二次方程.(2)整理原方程，得6K 3工十 6 二 -2-24 + 6?1 ,所以。，產(chǎn)一3工十？2二0.其中，二次項(xiàng)的系數(shù)為 口，所以原方程不是一元二次方程.【總結(jié)

7、】識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)條件：(1)整式方程；(2)含有一個(gè)未知數(shù)；(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個(gè)條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可舉一反三：【變式】判斷下列各式哪些是一元二次方程.小 2一 2_12_21 x2x 1 ；9x26x 0; 一y20; 5x24 0 ；22x x2 xy 3y2 0; 3y2 2；(x 1)(x 1) x2 .【答案】.2三 2122.【斛析】x x 1不是方程.5x 4 0不是整式方程； x xy 3y 0含有2個(gè)未知 '2x數(shù)，不是一元方程；(x 1)(x 1) x2化簡(jiǎn)后沒有二次項(xiàng)， 不是2次方程.符合一元二次方程的定義.

8、類型二、一元二次方程的一般形式、各項(xiàng)系數(shù)的確定例題2.把下列方程中的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項(xiàng)的系數(shù):-3x 2-4x+2=0 ;(2)3x = 04【答案與解析】(1)兩邊都乘-1 ,就得到方程 3x 2+4x-2=0 .各項(xiàng)的系數(shù)分別是：a=3 , b=4, c=-2 .(2)兩邊同乘-12 ,得到整數(shù)系數(shù)方程6x 2-20x+9=0 .各項(xiàng)的系數(shù)分別是：屐:6,啟二20, c = 9.【總結(jié)】一般地，常根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)的一元二次方程調(diào)整為二次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù)的 一元二次方程；把分?jǐn)?shù)系數(shù)的一元二次方程調(diào)整為整數(shù)系數(shù)的一元二次方程.值得注意的是，確定各項(xiàng)

9、的系數(shù)時(shí)，不應(yīng)忘記系數(shù)的符號(hào)，如 (1)題中c=-2不能寫為c=2, (2)題中占三一20不能寫為啟=20 .舉一反三：【變式】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：(1) 3x2 5x 2；(2) a(x 1)(x 1) 2 x .【答案】(1) 3x2 5x+2=0 ,二次項(xiàng)系數(shù)是 3、一次項(xiàng)系數(shù)是-5、常數(shù)項(xiàng)是2.(2) a(x 1)(x 1) 2 x化為ax2 x a 2 0,二次項(xiàng)系數(shù)是a、一次項(xiàng)系數(shù)是1、常數(shù)項(xiàng)是 一a-2.類型三、一元二次方程的解(根)22例題3.若0是關(guān)于x的萬程 m 2 x 3x m 2m 8 0的解，求實(shí)數(shù) m的值，并討論

10、此方程解的情況.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程解的性質(zhì)，直接求出m的值，根據(jù)若是一元二次方程時(shí)，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0,再利用根的判別式求出即可.【答案與解析】解：0是關(guān)于x的方程 m 2 x2 3x m2 2m 8 0的解，2m 2m 8 0m 2或 m 4當(dāng)m 2 0 m 4原方程為： 6x2 3x 0b b2 4ac 9 0，此方程有兩個(gè)不相等的根.6x2 3x 03x 2x 10解得：x 0或0.5當(dāng)m 2 3x 0x 0【總結(jié)】此題主要考查了一元二次方程的解以及根的判別式，熟練記憶根的判別式公式是解決問題的關(guān) 鍵.類型四、用直接開平方法解一元二次方程例題 4.解方程(1) 3x2-24=

11、0 ;(2)5(4-3n)2=320 .【答案與解析】(1)把方程變形為 3x2=24, x2=8.開平方，得原方程的根為x=2近或x=- 242 -(2)原方程可化為(4-3n) 2=64,所以有 4-3n=8 或 4-3n=-8 .所以，原方程的根為 n=- 士或n=4.5“開平方”是解這種方程最直接【總結(jié)】應(yīng)當(dāng)注意，形如 x=k(k >0)的方程是最簡(jiǎn)單的一元二次方程, 的方法.“開平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一.舉一反三：【變式1】用直接開平方法求下列各方程的根:x2=361;(2)2y 2-72=0 ;(3)5a 2-1=0;(4)-8m 2+36=0.【答案】(

12、1) x 2=361, x=19 或 x=-19 .(2) .2y2-72=0, 2y 2=72, y2=36,y=6 或 y=-6 .(3) ,-5a2-1=0,5a 2=1,2a =£,.a=9或a=-色.55(4) , -8m2+36=0,-8m 2=-36 ,2"m =,【變式2解方程：4 (x+3) 2=25 (x-2) 【答案】解：4 (x+3) 2=25 (x2) 2, 開方得：2 (x+3) =±5 (x-2), 解得：宜以冷，K?4.類型五、因式分解法解一元二次方程2-25 = 0.例題5.用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2= 2(x+

13、2) ;(2)(2x+3)【答案與解析】(1)移項(xiàng).得 3(x+2) 2-2(x+2) =0, (x+2)(3x+6-2) =0.x+2 =0 或 3x+4=0,c4x 1 2 , x2一,3(2)(2x+3-5)(2x+3+5)=0,2x-2 =0或 2x+8 = 0,x 1=1, x2= -4 .【總結(jié)】(1)中方程求解時(shí)，不能兩邊同時(shí)除以(x+2),否則要漏解.用因式分解法解一元二次方程必須將方程右邊化為零，左邊用多項(xiàng)式因式分解的方法進(jìn)行因式分解.因式分解的方法有提公因式 法、公式法、二次三項(xiàng)式法及分組分解法.(2)可用平方差公式分解.例題6.解下列一元二次方程：2(1)(2x+1)+4(2x+1)+4 =0;(2)(3x 1)(x 1) (4x 1)(x 1).【答案與解析】(1)(2x+1) 2+4(2x+1)+4 =0,22(2x+1+2) =0.即(2x 3)0,3 xx2-.2(2)移項(xiàng)，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0,即(x-1)(x+2) =0,所以 x1 1 , x22 .【總結(jié)】解一元二次方程