第34課時(shí)——函數(shù)模型（2）教師版

1、第三十四課時(shí)函數(shù)模型及其應(yīng)用（2）【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 知識網(wǎng)絡(luò) 待定系數(shù)法服務(wù)函數(shù)模型（指、對數(shù)）實(shí)際問題（增長率）函數(shù)模型的結(jié)果學(xué)習(xí)要求 1能用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)解決如復(fù)利、人口增長等與增長率有關(guān)的問題，2提高學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系的能力.自學(xué)評價(jià)1.復(fù)利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再計(jì)算下一期的利息（就是人們常說的“利滾利”）設(shè)本金為，每期利率為，存期為，則本金與利息和 2.單利在計(jì)算每一期的利息時(shí)，本金還是第一期的本金設(shè)本金為，每期利率為，存期為，則本金與利息和 3在實(shí)際問題中，常常遇到有關(guān)平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為，平均增長率為，則對于時(shí)間的總產(chǎn)值，可以用公式 表

2、示【精典范例】例1：物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述:設(shè)物體的初始溫度是,經(jīng)過一定時(shí)間后的溫度是,則,其中表示環(huán)境溫度,稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用熱水沖的速容咖啡,放在的房間中,如果咖啡降到需要,那么降溫到時(shí),需要多長時(shí)間?聽課隨筆【解】由題意知,即,解之,得,故 , 當(dāng)時(shí),代入上式, 得 , 即 ， 兩邊取對數(shù),用計(jì)算器求得因此,約需要,可降溫到點(diǎn)評: 本題是利用已知的函數(shù)模型來解決物理問題，需由已知條件先確定函數(shù)式，然后再求解.本題的實(shí)質(zhì)為已知自變量的值，求對應(yīng)的函數(shù)值的數(shù)學(xué)問題，由于運(yùn)算比較復(fù)雜，要求學(xué)生借助計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算.例2：現(xiàn)有某種細(xì)胞個(gè)，其中有占總數(shù)的細(xì)胞每小時(shí)分裂一次

3、，即由個(gè)細(xì)胞分裂成個(gè)細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)可以超過個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：）.分析：現(xiàn)有細(xì)胞個(gè)，先考慮經(jīng)過、個(gè)小時(shí)后的細(xì)胞總數(shù)，【解】小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為；小時(shí)后，細(xì)胞總數(shù)為;可見，細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為： ，由，得，兩邊取以10為底的對數(shù)，得， ，. 答：經(jīng)過小時(shí)，細(xì)胞總數(shù)超過個(gè).點(diǎn)評:本例用歸納猜想的方法得出了細(xì)胞總數(shù)與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；解類似這類的不等式，通常在不等式兩邊同時(shí)取對數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解這種通過觀察幾個(gè)特殊值的特征，從而歸納出函數(shù)一般表達(dá)式的方法叫做“不完全歸納法”，是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一種

4、方法例3：某公司擬投資萬元，有兩種獲利的可能可供選擇：一種是年利率，按單利計(jì)算，年后收回本金和利息；另一種是年利率，按每年復(fù)利一次計(jì)算，年后收回本金和利息哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資年可多得利息多少元？參考數(shù)據(jù)：，分析：可分別根據(jù)復(fù)利與單利的計(jì)算方法，分別計(jì)算出本息和，再進(jìn)行比較，判斷優(yōu)劣【解】本金萬元，年利率，按單利計(jì)算，年后收回的本息和是萬元，本金萬元，年利率，按每年復(fù)利一次計(jì)算，年后收回的本息和是萬元，因此，按年利率的復(fù)利一次計(jì)算要比按年利率的單利計(jì)算更有利，年后多得利息萬元點(diǎn)評：我國現(xiàn)行的定期儲蓄中的自動轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)是一種類似復(fù)利計(jì)息的儲蓄追蹤訓(xùn)練一1某工廠的一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量第二

5、年比第一年增加，第三年比第二年增加，求這兩年的平均增長率 解：設(shè)該產(chǎn)品第一年的年產(chǎn)量為，兩年的平均增長率為，則 解得 2在銀行進(jìn)行整存整取的定期儲蓄，當(dāng)?shù)狡跁r(shí)，銀行會將本息和進(jìn)行自動轉(zhuǎn)存，某人年月日在銀行存入元的一年定期，年利為，若他暫時(shí)不取這筆錢，當(dāng)?shù)侥暝氯諘r(shí)，該筆存款的本息和為多少元？（精確到元）聽課隨筆答案：元.3. 已知鐳經(jīng)過年剩留原來質(zhì)量的，計(jì)算經(jīng)過多少年剩留原來質(zhì)量的一半？分析：設(shè)原來的質(zhì)量為，由題意可知經(jīng)過乘年剩留，經(jīng)過乘年剩留，經(jīng)過乘年剩留，依題意有【解】設(shè)經(jīng)過乘年后剩留原來質(zhì)量的一半，依題意，有，兩邊取對數(shù)，得解得.（年）.答：約經(jīng)過年剩留原來質(zhì)量的一半.【選修延伸】一、函數(shù)

6、與圖像 高考熱點(diǎn)1.（1998全國文11，理10）向高為的水瓶中注水，注滿為止.如果注水量V與水深的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是（ ）【解】答案分析：如上圖所示，取水深時(shí)，注水量，即水深至一半時(shí)，實(shí)際注水量大于水瓶總水量之半.中，、中，故排除、，選.思維點(diǎn)拔：（1）解答應(yīng)用題的基本步驟：設(shè)：合理、恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出變量；寫：根據(jù)題意，抽象概括數(shù)量關(guān)系，并能用數(shù)學(xué)語言表示，得到數(shù)學(xué)問題；算：對所得數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析、運(yùn)算、求解；答：將數(shù)學(xué)問題的解還原到生活實(shí)際問題，給出最終的答案.（2）在用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題時(shí)的能力要求有：閱讀理解能力；抽象概括能力；數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用能力；分析、解決數(shù)學(xué)問題的

7、能力.（3）分析圖表是數(shù)學(xué)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，特別要能夠結(jié)合圖表分析函數(shù)，應(yīng)好好體會追蹤訓(xùn)練二聽課隨筆1我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控手段以達(dá)到節(jié)約用水的目的某市用水收費(fèi)方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)+超額費(fèi)+損耗費(fèi)該市規(guī)定：（1）若每戶每月用水量不超過最低限量立方米時(shí)，只付基本費(fèi)元和每月的定額損耗費(fèi)元；（2）若每戶每月用水量超過立方米時(shí)，除了付基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過部分每立方米付元的超額費(fèi)；（3）每戶每月的損耗費(fèi)不超過元（）求每戶月水費(fèi)（元）與月用水量（立方米）的函數(shù)關(guān)系；（）該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費(fèi)用如下表所示，試分析一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求的值（）由題意，每月用水量為（立方米），支付費(fèi)用（元），則 （），由表知，一、二月份的水費(fèi)均大于元，故用水量立方米，立方米都大于最低限量立方米，將和分別代入的解析式，得 ，由得，從而 ， 又三月份用水量為立方米，若，將代入得，即這