關(guān)于車輛內(nèi)輪差的數(shù)學(xué)建模論文

1、1車輛內(nèi)輪差的分析及防范措施摘 要內(nèi)輪差是車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)，前內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑與后內(nèi)輪轉(zhuǎn)彎半徑之差。在頻發(fā)的各類交通事故中，由于內(nèi)輪差導(dǎo)致的事故占據(jù)很大比例。因此內(nèi)輪差這一名詞也逐漸成為交通警示紅燈。本文就不同類型車輛產(chǎn)生內(nèi)輪差的原因進(jìn)行了分析，并對內(nèi)輪差的大小進(jìn)行了定量研究。我們將數(shù)學(xué)理論和物理原理相結(jié)合，建立了不同的數(shù)學(xué)模型，逐層深入地探討了不同類型車輛的內(nèi)輪差。最后我們利用數(shù)據(jù)計(jì)算內(nèi)輪差，并給出了一個(gè)避免內(nèi)輪差事故發(fā)生的可行方法。首先，我們建立的模型一是將車輛簡化為具有一定長度的矩形狀剛體（適用于小轎車和客車），并假設(shè)其前輪和后輪的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧。然后通過平面幾何的方法來求出內(nèi)輪差。接著，我們將上

2、述模型加以改進(jìn)，建立模型二。我們僅假設(shè)前輪的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，接著推導(dǎo)后輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。在坐標(biāo)系下，建立解析幾何模型，再用微分方程和參數(shù)方程表示前后輪的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，推導(dǎo)出后輪運(yùn)動(dòng)軌跡，最后求出內(nèi)輪差。在模型三中，我們進(jìn)一步考慮轎車司機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)的駕駛細(xì)節(jié)，根據(jù)相關(guān)駕駛資料，前輪轉(zhuǎn)向帶動(dòng)后輪轉(zhuǎn)向，車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)的軌跡并不是理想的圓弧。于是我們先通過建立解析幾何模型定義了曲率不斷變化的前輪軌跡，再通過數(shù)學(xué)方法建立聯(lián)系，求得后輪軌跡以及內(nèi)輪差。我們在矩形剛體模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究折腰式機(jī)組（多為鏈接式貨車），建立模型四折腰式模型。此時(shí)依然假設(shè)前輪在所建立的坐標(biāo)系中做圓周運(yùn)動(dòng)，求出內(nèi)輪差。在模型改進(jìn)階段，基于模型

3、四，我們進(jìn)一步考慮了機(jī)車前輪進(jìn)入彎道、后輪未進(jìn)入時(shí)的調(diào)整階段。分析比較了最大內(nèi)輪差與改進(jìn)前的差別。最后，我們依據(jù)我們所建立的模型，代入不同車型的數(shù)據(jù)，計(jì)算出了小型車、中型車、大型車的最大內(nèi)輪差，并提出了一個(gè)防范此類事故發(fā)生的可行建議。關(guān)鍵詞：參數(shù)方程 微分方程 平面幾何 解析幾何 曲率一、 問題重述1.1 背景資料與條件為了從探知“內(nèi)輪差”產(chǎn)生原因從而達(dá)到防范此類事故的發(fā)生并給與警示行人的目的， 需要通過一定的數(shù)學(xué)方法計(jì)算出各種型號汽車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的內(nèi)輪差。由于現(xiàn)實(shí)中各種其他因素干擾，如路面狀況等次要因素，現(xiàn)僅把該現(xiàn)象簡化為理想模型，忽略次要因素。通過基本的觀察與假設(shè)，我們發(fā)現(xiàn)：轉(zhuǎn)彎車輛是以內(nèi)側(cè)后

4、輪為支點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)的，前后車輪劃過的區(qū)域其實(shí)是不同的。車身越長，轉(zhuǎn)彎幅度越大，形成的輪差就會(huì)越大。故經(jīng)過簡化，影響內(nèi)輪差主要因素為車身長度和轉(zhuǎn)彎角度。1.2 需要解決的問題1. 對于不同結(jié)構(gòu)的車輛剛性和非剛性汽車我們應(yīng)該用何種不同模型來反映和計(jì)算內(nèi)輪差。2. 如何改進(jìn)模型，考慮司機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)的駕駛細(xì)節(jié)，使模型更貼合實(shí)際。 3. 計(jì)算不同車型的內(nèi)輪差。4. 給出一個(gè)可行的避免內(nèi)輪差的方法。二、 符號說明 三、 模型的建立與求解模型一模型一假設(shè)：1、研究對象為具有剛性的汽車，車身為一整體、不可變形。通常情況下，轎車及客車屬于此類。2、前后輪軸始終保持平行。3、車在轉(zhuǎn)彎時(shí)前輪后輪的軌跡均為圓弧且兩圓圓心重

5、合。圖1-1如圖1-1所示，軌跡半徑為彎道半徑A r ，設(shè)前輪到后輪的距離AB 為l ，則我們可以求出后輪的軌跡OB半徑為。 我們可以得出內(nèi)輪差：D=tan2A r l -=。 所以小汽車的轉(zhuǎn)向角越大，內(nèi)輪差越大。小汽車取最大轉(zhuǎn)向角時(shí)，內(nèi)輪差最大。模型二模型二假設(shè)：1、研究對象為具有剛性的汽車，車身為一整體、不可變形。通常情況下，轎車及客車屬于此類。2、由于汽車導(dǎo)向僅依靠前輪，假設(shè)轎車前輪的轉(zhuǎn)彎路徑是圓弧，后輪待定。 3、轎車進(jìn)入彎道后勻速行駛。4、在彎道內(nèi)行駛的過程中，汽車以恒定的轉(zhuǎn)向角轉(zhuǎn)彎，即方向盤固定在同一個(gè)位置上。下面我們用解析幾何模型進(jìn)一步推導(dǎo)內(nèi)輪差。在前面的推導(dǎo)中，我們認(rèn)為轎車轉(zhuǎn)彎

6、時(shí)前輪后輪的軌跡都是圓弧，但是這樣的假設(shè)并不嚴(yán)謹(jǐn)。轎車轉(zhuǎn)向時(shí)，只有前輪起導(dǎo)向作用，帶動(dòng)后輪偏轉(zhuǎn)；因此汽車以恒定的轉(zhuǎn)向角、恒定的線速度轉(zhuǎn)彎時(shí)（C =），只能確保前輪的軌跡為圓弧，而后輪經(jīng)車身帶動(dòng)，軌跡需要進(jìn)一步確定。在這一模型中，我們僅假設(shè)前輪的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，接著推導(dǎo)后輪軌跡。轎車是剛體，即車身不發(fā)生任何形狀變化。根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度分解規(guī)律，前輪后輪沿車身方向的分速度相等：cos A C v V =Ar上式的微分形式為cos A v = 又因?yàn)榍昂筝喌木嚯x始終為車身長l ，故有：222( ( C A C A x x y y l -+-=根據(jù)假設(shè)，設(shè)前輪的軌跡：cos A A x r =sin

7、 A A y r =因?yàn)槠嚽拜喿鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，所以參數(shù)與, v t 的關(guān)系為：AAv t r =以上六式中，, , A A l r v 為常量，, , , , C C A A x y x y 為變量。 用Matlab 的dsolve 函數(shù)解得：cos cos cos sin C A C A x r y r =即2222cos CC A x y r +=。 圖2-1如圖2-1所以當(dāng)轎車以恒定的轉(zhuǎn)向角、恒定的速度轉(zhuǎn)彎時(shí)，前后輪的軌跡為同心圓弧。 內(nèi)輪差為兩圓半徑的差： cos A A D r r =-如圖2-2所示，根據(jù)幾何關(guān)系sin Ar l =。內(nèi)輪差也可表示為( tan2D l =。模型三

8、模型三假設(shè)：1、研究對象為具有剛性的汽車，車身為一整體、不可變形。通常情況下，轎車及客車屬于此類。2、依據(jù)現(xiàn)實(shí)中轉(zhuǎn)彎時(shí)的駕駛過程，汽車的轉(zhuǎn)彎路徑不為理想的圓。3、汽車的轉(zhuǎn)向角以一定的規(guī)律變化，并非恒定。司機(jī)進(jìn)入彎道后先打方向盤，后回方向盤，操作過程對于時(shí)間完全呈反對稱。模型三的建立與求解中給出具體細(xì)節(jié)。 4、汽車進(jìn)入彎道后勻速行駛。5、所研究的彎道為多見的90度彎道。在現(xiàn)實(shí)中，我們進(jìn)一步考慮汽車司機(jī)轉(zhuǎn)彎時(shí)的駕駛細(xì)節(jié)。根據(jù)駕車技術(shù)的相關(guān)資料，司機(jī)應(yīng)該在后輪駛過線時(shí)開始打方向盤。車輛行駛到彎道中央時(shí)，方向盤打到最大程度。即將結(jié)束彎道進(jìn)入直道時(shí)，司機(jī)要開始將方向盤慢慢回位。車輛離開彎道時(shí)，方向盤剛好

9、回到原始位置。 根據(jù)以上對現(xiàn)實(shí)情況的分析，車輛在轉(zhuǎn)彎時(shí)的軌跡并不是理想的圓弧。由于打方向盤以及回正方向盤都是一段持續(xù)的過程，所以從進(jìn)入彎道（90度彎道）開始，車輛的轉(zhuǎn)向角將連續(xù)變化，先增大后減小。反映在行駛軌跡上，即軌跡的曲率先增大后減小，曲率半徑先減小后增大。為了更好地研究內(nèi)輪差，我們不妨假定：車輛后輪進(jìn)入彎道時(shí)司機(jī)開始打方向盤；行駛到彎道中點(diǎn)時(shí)方向盤剛好打到最大程度，之后隨即開始逆向轉(zhuǎn)動(dòng)回正；后輪離開彎道時(shí)方向盤剛好回正，整個(gè)過程中方向盤的操作完全反對稱。 在這種情況下，最大內(nèi)輪差即為前輪軌跡與后輪軌跡的最大距離。我們先定義前輪的軌跡，再根據(jù)關(guān)系推導(dǎo)后輪軌跡。結(jié)合以上假設(shè)，根據(jù)曲率先增大后

10、減小的變化規(guī)律，我們猜想曲線333A x y r +=符合上述曲率變化規(guī)律，可以更為精確地反映前輪行駛軌跡。我們的驗(yàn)證過程如下。 這類曲線可以用參數(shù)方程( cos ( sin A A x r y r =lAr AC圖2-2表示，令1A r =，這一曲線在第一象限的圖像如圖3-1所示。圖3-1根據(jù)參數(shù)方程的曲率公式，其曲率為88322232sin cos (sincos A r (-(K=(+(+''''''''=K 對求導(dǎo)可得，導(dǎo)函數(shù)( K '圖形如圖3-2所示，2cos sin (02x y <=<其中圖3-

11、2區(qū)間0,4內(nèi)( 0K '>，K 單調(diào)遞增；區(qū)間, 42內(nèi)( 0K '<，K 單調(diào)遞減。 2=時(shí)( 0K '=，K 取得極大值。曲率K 的變化規(guī)律與實(shí)際情況符合得很好，因此我們采用這類曲線，用22cos sin 2A A A A x r y r ,(0=作為汽車前輪的軌跡。以10A r =為例，大體來看，汽車的行進(jìn)路線如圖3-3所示。(y K '=圖3-3考慮到內(nèi)輪差問題，我們充分分析前后輪的時(shí)間和空間關(guān)系，進(jìn)一步確定后輪的軌跡。 剛體的速度關(guān)系式：cos A C v v = 即cos A v = 前后輪的距離始終為車身長：222( ( C A C

12、A x x y y l -+-=軌跡弧長為線速度在時(shí)間上的積累： A d v t =其中22cos sin 2A A A A x r y r ,(0=與的關(guān)系：d dt=根據(jù)以上六式，用Matlab 的dsolve 函數(shù)解得后輪的軌跡方程為注：方塊為小汽車max max cos cos cos sin 2C A C A x r y r ,(0= 其中當(dāng)4=時(shí)，取得最大值max ，max cos =兩輪軌跡如圖3-4所示。圖3-4內(nèi)輪差隨角度變化的表達(dá)式為 ( (1A D r =- 當(dāng)4=時(shí)，D取得最大值(1A D =-2cos sin 2A A r r ,(0=模型四模型四假設(shè)：1、研究對象為

13、車身可以變形的折腰式機(jī)組，車身分兩段。 2、在轉(zhuǎn)彎時(shí)機(jī)車前輪輪軸與后輪輪軸并非始終平行，前后輪均做圓周運(yùn)動(dòng)，兩圓圓心重合。 3、機(jī)車前輪輪軸所在直線與前輪轉(zhuǎn)向半徑所在直線重合，后輪輪軸所在直線與后輪轉(zhuǎn)向半徑所在直線重合。由于小汽車前輪的驅(qū)動(dòng)軸和后輪的從動(dòng)軸始終是平行的，但是對于大型貨車或重卡，之前的模型不再適用，我們需要用折腰式模型研究其內(nèi)輪差。前后輪的輪軸長度相差很小(一般只有10cm 左右, 因此內(nèi)輪差可以近似等于前后輪軸中心到轉(zhuǎn)向中心距離的差。內(nèi)輪差D 22C A A C A C rr L L r r =- 首先將模型簡化，假設(shè)前輪沿著彎道前進(jìn)，則前輪的轉(zhuǎn)向半徑A r 等于彎道的曲率半徑

14、R , 下面求出此時(shí)的內(nèi)輪差。圖4-1和4-2中折線ABC 代表機(jī)車車組。根據(jù)假設(shè), 當(dāng)機(jī)車進(jìn)入彎道后前輪和后輪的轉(zhuǎn)向中心都為點(diǎn)O , 根據(jù)圓內(nèi)幾何關(guān)系, OABC 構(gòu)成的一個(gè)四邊形形狀保持不變，如圖4-1： 圖4-1圖中OA AB ，OC BC AOC =, 為汽車的轉(zhuǎn)向角。A OA r =，OB B r =，C OC r =；AB a =, BC b =；則根據(jù)勾股定理，22222A B C r AB r r BC +=+即Cr = 內(nèi)輪差A(yù) C A D r r r =-=-將A r R =代入得D R = D d dR = 因?yàn)閷?shí)際情況下機(jī)車的a b <, 所以D0d dR<

15、，內(nèi)輪差隨著彎道曲率半徑的增大而減小。轉(zhuǎn)向半徑越小，內(nèi)輪差越大。但是由于汽車在轉(zhuǎn)彎過程中前輪并不一定嚴(yán)格沿著彎道所在的圓弧行進(jìn)，其圓弧軌跡和彎道軌跡可能有偏差。前輪的轉(zhuǎn)向半徑和轉(zhuǎn)向角之間有如下的關(guān)系。(sin -Bbr = cos ABr r = 由上式可以得出cos sin A b r =-再根據(jù)arctanAar =可以得到 cos sin A b a r +=將A r 對求導(dǎo)dr d =2bcos 0sin a -< 所以得出前輪轉(zhuǎn)向半徑A r 隨轉(zhuǎn)向角的增大而減小。根據(jù)復(fù)合函數(shù)(A D r 增減性規(guī)律，內(nèi)輪差D 隨轉(zhuǎn)向角的增大而增大；在實(shí)際轉(zhuǎn)彎過程中，彎道的曲率半徑越小，相應(yīng)的轉(zhuǎn)

16、向角越大，內(nèi)輪差也就越大。四、模型改進(jìn)模型四改進(jìn)階段的假設(shè)： 1、考慮到剛進(jìn)入彎道時(shí)，司機(jī)開始打方向盤，在前輪進(jìn)入彎道、后輪未進(jìn)入的過程中兩輪軌跡曲率圓的圓心不重合。 2、進(jìn)入彎道后機(jī)車以恒定轉(zhuǎn)向角轉(zhuǎn)向。由于機(jī)車車身較長，前輪進(jìn)入彎道開始繞轉(zhuǎn)向中心O 點(diǎn)轉(zhuǎn)向時(shí)，后輪按另一點(diǎn)O '點(diǎn)轉(zhuǎn)向（點(diǎn)O '為后輪軸的延長線與前輪轉(zhuǎn)向半徑延長線的相交點(diǎn)）。隨著機(jī)車逐漸進(jìn)入彎道，機(jī)車的轉(zhuǎn)向角逐漸增大，O '點(diǎn)也逐漸向O 點(diǎn)靠近，當(dāng)兩中心重合時(shí)，前輪和后輪的軌跡為同心圓弧。下面我們求此時(shí)內(nèi)輪差D 與機(jī)車已轉(zhuǎn)過的角度，機(jī)車轉(zhuǎn)向角。圖4-2以前輪的轉(zhuǎn)向中心O 點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖4-2所示的直

17、角坐標(biāo)系，則AOX =，AOB =；將OA 的長記為A r ，OB 的長記為B r ；點(diǎn)A 的坐標(biāo)為(cos , sin A A r r ，點(diǎn)B 的坐標(biāo)為(cos(, sin( B B r r -，其中D B r =tan =Aa r 則可以求出直線AB 的斜率1k(1sin sin cos cos B A B A r r k r r -=-圖4-2中ABD =，通過機(jī)車的轉(zhuǎn)向角和AB 的斜率1k ，可以得出BC 的斜率2k 與、1k 的關(guān)系式：2112tan 1k k k k -=+根據(jù)BC 的斜率2k 、點(diǎn)B 的坐標(biāo)(cos(, sin( B B r r -及BC 之間的長度b 可以得到

18、下列兩個(gè)等式：2sin(cos(C B C B y r k x r -=-(222sin( cos C B C B y r x r b -+-=設(shè)后輪的轉(zhuǎn)向中心' O 為00(, x y , 設(shè)'O C 的斜率為3k 因?yàn)辄c(diǎn)O 后輪軸的延長線與前輪轉(zhuǎn)向半徑延長線相交的點(diǎn)，則可以得到下列三個(gè)等式：231k k =-030( C C y y k x x -=- 000tan OA y k x x =則C r = 內(nèi)輪差為：A C D r r =-根據(jù)等式（）我們可以得到機(jī)車剛進(jìn)入彎道的不同位置下的內(nèi)輪差。但是這些等式的求解過程較為復(fù)雜，我們沒有得出具體的解析解。但是根據(jù)實(shí)際轉(zhuǎn)彎情況，汽車前輪在調(diào)整過程的時(shí)間較短，此階段轉(zhuǎn)過的角度較小。據(jù)分析，機(jī)車的轉(zhuǎn)向角逐漸增大，此階段的內(nèi)輪差一定 比完全進(jìn)入彎道后的內(nèi)輪差小。所以若要計(jì)算最大內(nèi)輪差，我們利用模型四即可。這一改進(jìn)模型分析了更為具體的內(nèi)輪差變化過程。五、內(nèi)輪差的計(jì)算 計(jì)算結(jié)果表示，模型一、二相對于模型三算出的內(nèi)輪差總是較大。這是因?yàn)槟Ｐ鸵弧⒍槔硐牖Ｐ?，而模型三考慮了實(shí)際中轉(zhuǎn)彎的駕駛過程。16 六、模型評價(jià) 模型一至