(新)集合問題中常見易錯點歸類分析答案

1、集合問題中常見易錯點歸類分析有關集合問題，涉及范圍廣，內(nèi)容多，難度大，題目靈活多變初學時，由于未能真正 理解集合的意義，性質(zhì)，表示法或考慮問題不全， 而造成錯解.本文就常見易錯點歸納如下:1 代表元素意義不清致誤例1設集合A =( x, y) I x + 2 y =5，B=( x, y) I x 2 y= 3，求 A Bx2y 5x1錯解:由得從而 A B= 1，2.x2y 3y2分析上述解法混淆了點集與數(shù)集的區(qū)別,集合A、B中兀素為點集，所以 A B = （1，2）例 2 設集合 A = y I y = x2 + 1，x R ，B = x I y= x + 2，求 APB.錯解： 顯然A=

2、y I y>lB= x I y>2.所以 A P B=B .分析錯因在于對集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y，從而A = yI y> 1，但集合B中的元素為x,所以B = x I x > 0，故A P B=A .變式：已知集合 A y | y x2 1，集合B y | xy2，求A B解:A y | y2 x1y| y 1，B y|xy2RAB y|y1例3設集合Ax2x260,B x|x x6 0，判斷A與B的關系。錯解：A B 2,3分析：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。元素的屬性可以是方程，可以是數(shù)，也可以是點，還可以是集合

3、等等。集合A中的元素屬性是方程，集合B中的元素屬性是數(shù)，故 A與B不具包含關系。例4設B = 1,2，A = x|x? B，則A與B的關系是（）A . A? B B . B? A C. A B D . B A 錯解：B分析：選 D. / B 的子集為1，2，1,2，?， A = x|x ? B = 1，2，1,2，?，從集合與集合的角度來看待A與B，集合A的元素屬性是集合，集合B的元素屬性是數(shù)，兩者不具包含關系，故應從元素與集合的角度來看待B與A，. B A.評注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本質(zhì)屬性，解題時應認真領會，以防出錯.2忽視集合中元素的互異性致錯例 5 已知集合 A

4、= 1，3，a，B= 1， a2 a + 1 ，且 A B，求 a 的值.錯解：經(jīng)過分析知，若a2 a 1 3,則a2 a 2 0,即a 1或a 2 若2 2a a 1 a,則 a 2a 10,即 a 1 .從而 a =1，1，2.分析 當a =1時，A中有兩個相同的元素 1,與元素的互異性矛盾，應舍去，故a =1，2 .例6 設A=xl x+(b + 2)x + b+1 = 0，b R，求A中所有元素之和.錯解：由 x2 +(b + 2)x + b+1 = 0得(x+1) (x + b + 1)=0(1) 當b = 0時，x i = x2 1，此時A中的元素之和為一2.(2) 當b 0時，x

5、 i + x2 =b 2.分析 上述解法錯在(1)上，當b = 0時，方程有二重根一1，集合A=1，故元素之和為一1，犯錯誤的原因是忽視了集合中元素的“互異性”因此，在列舉法表示集合時，要特別注意元素的“互異性” .評注：集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。在解題時也可以先確定字母參數(shù)的范圍后，再具體解決問題。3 .忽視空集的特殊性致誤例 7 若集合 A= x|x2+ x 6= 0，B= x|mx+ 1 = 0，且 B±A，求實數(shù) m 的值. 錯解：A= x|x2 + x 6=

6、0 = 3,2.BA，(1) B 3mx+ 1 = 0的解為一3，1由 m ( 3) + 1 = 0，得 m = 3;(2) B 2mx+ 1 = 0的解為2，, 1由 m2 + 1= 0，得 m= 2；11綜上所述，m-或m-32分析：空集是任何集合的子集，此題忽略了B 的情況。正解：A= x|x2 + x 6= 0 = 3,2./BA，(1) B ，此時方程 mx 10無解， m 0(2) B 3mx+ 1 = 0的解為一3，1由 m ( 3) + 1 = 0，得 m= 3;(3) B 2mx+ 1 = 0的解為2，1由 m2 + 1= 0，得 m= ；11綜上所述，m -或m 或m 03

7、2例8 已知A a的取值范圍。x|x24x 0，Bx|x2解: A x|2 x4x 0 4,0(l) B4(a1)2 4(a21)8(a(2) B 4，方程x22(a 1)xa21由2(a1)x a210，若 B A，求1)0，即 a 10有兩等根41608(a1) a2(3) B 0，方程 x2得a 1，所以無解0 a誠722(a 1)x a 10有兩等根o1，所以a 11(4) B 4,0，方程 x22(a 1)x a210有兩不等根4，00a 1由 402(a1)得 a24 0a 1a1 ，所以a 11綜上所述，a 1或a 1=，AU =A，例9 已知集合A x|x1或x 4，B x|2

8、a x a 3，若B A，求a的取值范圍。解: (l)B，2a a3得a 3(2) B則a 3a 3a 3 口或得a4 或 2 a 3a 312a 4綜上所述a4或a 2例io已知集合A x|x1 或x 4， B x| 1 a x 1 a，若 A B求a的取值范圍。解：(1) B，則aa 00，符合題意(2) B，則1 a10 a 21 a4綜上所述，a2變式：已知集合Ax|x1 或x 4， B x |1 a x 1 a，若 A B，求a的取值范圍。解：當A B時，a2所以當A B時，a2評注：對于任何集合A，皆有AA.的特殊性不容忽視.尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時，更要充分注意當參數(shù)在某個

9、范圍內(nèi)取值時所給的集合可能 是空集這種情況?？占且粋€特殊的集合，由于思維定式的原因，考生往往會在解題中遺忘 了這個集合，導致解題錯誤或是解題不全面。4忽視端點值能否取得致誤例 11 已知集合 A = xlx>4，或 xV5 ， B=xl a +l<x< a + 3， 若AUB = A，求a得取值范圍.錯解：由AUB = A得B A.a + 3w 5，或 a +14，解得 a w 8，或 a分析：上述解法忽視了等號能否成立，事實上，當 a =-8時，不符合題意；當 a = 3時，符合題意，故正確結果應為a v8，或a >3.評注：在求集合中字母取值范圍時，要特別注意該字

10、母在取值范圍的邊界能否取等號， 否則會導致解題結果錯誤.5忽視隱含條件致誤例 12 設全集U= 2，3, a2 + 2 a 3，A= 12 a 11，2 , CU A = 5，求實數(shù)a的值.錯解： CU A =5，5 s且 5 A，從而，a2 +2 a 3 = 5，解得 a =2， 或 a = 4.分析 導致錯誤的原因是沒有考慮到隱含條件，因為u是全集，所以Au.當a =2時，I2 a 11=3 s，符合題意；當 a = 4時，I2 a 11=9 s，不符合 題意；故a = 2.評注：在解有關含參數(shù)的集合時， 需要進行驗證結果是否滿足題設條件，包括隱含條件.6、忽視補集的含義致錯例13已知全集

11、I R，集合M xlx2 x 0，集合N x|- 1，則下列關x系正確的是()A.耐牡出 B.CDCrMUN-R1i錯解：N x| - 1的補集為C|N x| 1，故選C。xx剖析：本題錯誤地認為A X|f(x)0的補集為C|A X|f(x)0。事實上對于全集I R，由補集的定義有A GA R，但(x | f (滬嘰何f沙x| f(x) 0x| f (x)0x| 使 f (x )有意義，x R，即為 f(x)的定義域。所以只有當f(x)的定義域為R時才有A x| f(x) 0的補集為CI A x| f (x)0，否則先求A,再求CI A1X 1正解：N x|1x|0 x |x 0或 x 1，所

12、以 C|N x 10 x 1，xx而 M x|0 x 1，應選 A7、考慮問題不周導致錯誤例14已知集合A x | ax2 4x 4 0, x R, a R只有一個元素，求 a的值和這個元素。解：(1) a 0，由 4x 40 得 x1，此時A 1符合題意(2)a 016 16a1，此時A 2符合題意綜上所述，a 0或a 1 一、對代表元素理解不清致錯。2 2例已知集合 A y|y x 2x,x R, B y|y x 6x 16,x R，求 A B。2 2錯解 1：令x2xx6x16,得x 2，所以 y 8,A B 8。錯解 2：令x22xx26x16，得 x 2，所以 y 8，AB 2,8。

13、剖析：用描述法表示的集合 x|x p中，x表示元素的形式，x p表示元素所具有的 性質(zhì)，集合(x,y) |y f(x),x R表示函數(shù)f(x)的圖象上全體點組成的集合，而本題y|y f(x),x R表示函數(shù)f(x)的值域，因此求AB實際上是求兩個函數(shù)值域的交集。2正解：由 A y|y x2x,xRy|y(x1)2 1y|y1,2B y |y x 6x 16, x R y | y2(x 3)7y|y7,得 Ab y|y 7。二、遺漏空集致錯。例2.已知集合A x| 2 x 5，Bx |m1x 2m*，若AB，求實數(shù)m的取值范圍。錯解：解不等式2 m 1 2m15,得2m3。剖析：空集是特殊集合，

14、它有很多特殊性質(zhì)，如A,AA,空集是任何一個集合的子集，是任何一個非空集合的真子集。本題錯解是因考虛不周遺漏了空集，故研究A B時，首先要考慮B的情況。正解：若B 時，則m 1 2m 1,即m 2。2 m 1,若B 時,則m 1 2m 1,即m 2。由2m 成，A是由比4的整數(shù)倍大1的數(shù)的4組成的，所以A B，選Co5得3 m 3。所以2 m 3。由知m的取值范圍是(，3。三、忽視元素的互異性致錯。例 3.已知集合x,xy,lg(xy) O,|x|,y,求x y 的值。錯解：由xy 0，根據(jù)集合的相等，只有 ©(xy) 0,xy 1。所以可得|x| 1或|y| 1o1,1所以 x y

15、2或 xy 2 o1，這與集合中元素的互異剖析：當x y 1時，題中的兩個集合均有兩個相等的元素性相悖。其實，當xy 1時，集合xg 0,|x|,y，這時容易求解了。正解：舍去x y 1，故x y 2o四、混淆相關概念致錯。例4.已知全集U=R，集合x |x2 4ax4a2 230,xR, B x |x2 (a 1)x a20,xR, C x |x2 2ax2a°,x R ， 若B、C中至少有一個不是空集，求實數(shù) a的取值范圍。集。錯解：對于集合A，當2(4a)4( 4a3)0,得a12時，A不是空11 a 同理當3時，B不是空集；當a 2或a時，C不是空集。求得不等式解集的交集是空

16、集，知a的取值范圍為°剖析：題中“ A、B、C中至少有一個不是空集”的意義是“A不是空集或B不是空集或c不是空集”，故應求不等式解集的并集，得a (與1, ) o五、忽視補集的含義致錯。例5.已知全集I R，集合 M x |x1 2 x0，集合N1x|1x，則下列關系正確的A.CINB.M CiNC.CIND.CIM錯解:1N x |-x1的補集為CiN1x|x 1，故選C。剖析：本題錯誤地認為 A x |f (x)0的補集為C iAx|f(x)°。事實上對于全I R，由補集的定義有 A CIA R,但X|f(x) 6 x|f(x) 0x|使f(x)有意義,R，即為f(x)的定義域。所以只有當f(x)的定義域為R時才有Ax |f (x) 0的補集為C|Ax|f(x)0，否則先求a，再求cia。正解:1x