破解直線與圓中的定的問(wèn)題

1、破解直線與圓中的“定”的問(wèn)題直線與圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考必考考點(diǎn)之一，考題中往往涉及定點(diǎn)、定直線、定圓等“定”的問(wèn)題，其本質(zhì)就是曲線系，蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程 思想等。在解答此類問(wèn)題的探索過(guò)程中，學(xué)生常常找不到解題的切入點(diǎn)，為此，我們須弄清此類問(wèn)題，切實(shí)掌握其解決的方法。一、定點(diǎn)問(wèn)題我們對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線系并不陌生，如y二kx是過(guò)定點(diǎn)0 0,0的直線系，kx b（b是常數(shù)）是過(guò)定點(diǎn)0,b的直線系，y= kx-ab（a,b是常數(shù)）是過(guò)定點(diǎn)a,b的直線系，等等，那么，如何迅捷地找到直線所過(guò)的定點(diǎn)呢？例 1 平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線1 4k x- 2-3k y-3-12k

2、=0恒過(guò)一定點(diǎn)P，而直線mx y - 6 =0也過(guò)點(diǎn)P，則m二_。解法 1:直線1 4k x-：；：23k y -3-4k = 0，整理得k 4x 3y -12 x-2y-3i=0.令4x3y12=0，解得x=3x _2y _3 = 0y = 0代入直線mx，y-6= 0,得m=2，答案：2.12解法 2:令k，則y=0；令k，則x = 3；43所以直線1 4k x- 2-永y-3-1永二必過(guò)直線y=0與直線x = 3的交點(diǎn)3, 0，顯然P 3,0，代入直線mx，y-6=0，得m = 2。點(diǎn)評(píng)：含有參數(shù)的直線Ax By C = 0過(guò)定點(diǎn)時(shí)，只需將含有參數(shù)的部分整理到一起， 不含參數(shù)的部分整理到

3、一起，令系數(shù)均為0 即可解方程得直線所過(guò)的定點(diǎn)。變式 1:（ 2014 四川）設(shè)m R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x my = 0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線，所以P 3,0，mxym+3 = 0交于點(diǎn)P（x,y ），貝U PA+|PB的取值范圍是A、5 2、_5B. L. 10,2.5C. .10,4、.5D. 2 .5,4、_5答案 Bo2 2例 2 已知圓C : x y 2k 4k 10 y 10k 20 k- -1，則圓C過(guò)定 點(diǎn) o解法 1 ：圓C的方程可變形為x2y210y 20 k 2x 4y 10i； = 0 ,所以圓C必過(guò)兩曲線x2y210y - 20 =0與2x 4y 10 =0的交點(diǎn),答案為

4、1, -3。22522解法 2 :令k=0，貝V x y 10y 20二0,令k，貝U x y5x5 = 0,2圓C所過(guò)的定點(diǎn)必是曲線x2y210y 20 =0與x2 y2- 5x -5 =0的交點(diǎn)；x2y210y20 =0 x =1y y 20 0，解得，所以圓C過(guò)定點(diǎn)1, -3o|x2y25x5二0.y = _3點(diǎn)評(píng)：直線與圓的定點(diǎn)問(wèn)題要善于從運(yùn)動(dòng)中尋求不變的特性，挖掘曲線方程與哪些參數(shù) 無(wú)關(guān)。常見(jiàn)的方法有兩種：其一，直接按參數(shù)分離變量，進(jìn)而解出定點(diǎn)坐標(biāo)；其二，從特殊 入手，求出定點(diǎn)，再證這個(gè)定點(diǎn)與參數(shù)取值無(wú)關(guān)。變式 2:若圓x2 y2-2x -8y 13=0的圓心到直線a =()11A.

5、B.3C.D.333答案：Ao二、定直線問(wèn)題定直線問(wèn)題往往是動(dòng)點(diǎn)所在的定直線、動(dòng)圓的定切線，含有多個(gè)參數(shù)，其幾何特征不明顯，解決時(shí)常常不知從何入手，此時(shí)，須緊扣等量關(guān)系恒成立.，應(yīng)用待定系數(shù)法來(lái)處理。例 3 平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知半徑為r的L M的圓心M在直線y=2x 3上,且在y軸右側(cè)，L M被y軸軸截得的弦長(zhǎng)為.3r.(1)求 L M 的方程;聯(lián)立方程r22x + y +10y+20 = 02x 4y 10 =0，解得 =1，所以圓ly= 3C過(guò)定點(diǎn)1,-3。而聯(lián)立方程ax y -1 = 0的距離最大時(shí)，則(2)當(dāng)r變化時(shí)，是否存在定直線I與L M均相切？如果存在，求出定直線I的方程

6、;如果不存在，說(shuō)明理由。解析：(1)設(shè)M(a,2a + 3)(aA0卜則M的方程為(x a) +(y 2a3) =r2，設(shè)M到y(tǒng)軸的距離為d，即d二a，由L M被y軸軸截得的弦長(zhǎng)為、3r，(2)假設(shè)存在定直線I與L M均相切，定直線I的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意;-r.k21，得:_(k2+1 Jr2+化_2 )(b_3)r +(b_3)2= 0，丿JI k彳_ -112因?yàn)樯鲜綄?duì)任意實(shí)數(shù)r恒成立，所以q k -2 X b-3 )= 0所以存在兩條定直線y =3和4x 3y -9 =0與動(dòng)圓L M均相切。點(diǎn)評(píng)：本題動(dòng)圓的圓心與半徑都在變化，其幾何特征不明顯， 故采取直接論證dM二r恒成立。解決

7、含有多個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系恒成立時(shí)，必須緊扣等式的成立與r的取值無(wú)關(guān)這一特點(diǎn)。22o變式3:已知圓G：(x+2)+(y3m2)=4m(m0)，直線I的方程y二x m 2，圓C1關(guān)于直線I對(duì)稱的圓為C?。所以r2二d23r2、2，得d = a =，2故LM的方程為i2yr3 = r2。設(shè)直線I的方程為y二kx b，則k r 3*b2=r對(duì)于r - 0恒成立,2-k21 =0，解得或I2b_3i； =0(1)證明：當(dāng)m變化時(shí)，C2的圓心在一條定直線上；（2）求C2所表示的一系列圓的公切線方程。提示：（1）Ci-2,3m 2關(guān)于直線I對(duì)稱的點(diǎn)C22m 1,m 1,C2在一條定直線2于m恒成立，整理得(4

8、k 3 )m2+2(2k 1 k+b 1 )m+(k + b 1 ) = 0,-4k -3 =0所以2(2k1 )(k+b1) = 0，解之得彳2(k +b -1) =037所以C2所表示的一系列圓的公切線方程為；，即3x 40。二、定圓冋題解析：由題意知P 0,2t，Q -2,31I t丿1t所以直線PQ的方程為y -2t=七一x，即t2-1 x 2ty -4t2= 0，整理得t2-1 a -4t2= r t21，或4t2-：t2-1 a = r t21，所以 &-4上2-8-=0，或a r-4ta 0恒成立,a r -4 = 0a，或，解得、a - r = 0J=2x-2yT=0上

9、.（2）設(shè)公切線方程為y = kx b，則k 2m 1 - m 1 b=2 m對(duì)k3 k =4，4動(dòng)直線與定圓相切，是研究d弦心距-r恒成立，或者聯(lián)立方程幾=0恒成立，再按參數(shù)整理，令參數(shù)的系數(shù)為 0,得到方程組,最后解方程組求出圓心與半徑。例 4 已知點(diǎn)P在y上，縱坐標(biāo)為2t t = 0，Qi 23-：，求證：直線PQ恒與個(gè)圓心在x軸上的圓M相切，并求出圓M的方程。2 2 2設(shè)圓M的方程為xay = r r 0，則2 2t -1 a-4tt2-1 $ 4tr恒成立,a _r -4 =0故-a _r =022x-2 y= 4。因此直線PQ恒與一個(gè)圓心在x軸上的圓M相切，圓M的方程為點(diǎn)評(píng)：解答題解題步驟是：設(shè)圓的方程-化簡(jiǎn)d弦心距二r或厶二0恒成立一變量分離一 求圓心與半徑一寫(xiě)出定圓方程，如果是客觀題，用特例法比較方便。變式4:已知直線|：2mx亠門-m2y_4m_4=0總與一個(gè)定圓相切，則該定