2017-2018學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-1：單元質(zhì)量評估（二） Word版含答案

1、溫馨提示： 此套題為word版，請按住ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉word文檔返回原板塊。單元質(zhì)量評估(二)第二章(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.橢圓x29+y2k2=1與雙曲線x2k-y23=1有相同的焦點,則k應(yīng)滿足的條件是()a.k>3b.2<k<3c.k=2d.0<k<2【解析】選c. k>0,9-k2=k+3,所以k=2.2.(2016·菏澤高二檢測)若雙曲線的頂點為橢圓x2+y22=1長軸的端點,且雙曲線的

2、離心率與該橢圓的離心率的積為1,則雙曲線的方程為()a.x2-y2=1b.y2-x2=1c.x2-y2=2d.y2-x2=2【解析】選d.由題意設(shè)雙曲線方程為y2a2-x2b2=1,離心率為e,橢圓x2+y22=1長軸端點為(0,2),所以a=2,又橢圓的離心率為12,所以雙曲線的離心率為2,所以c=2,b=2,則雙曲線的方程為y2-x2=2.3.(2016·鄭州高二檢測)已知f1,f2是兩個定點,點p是以f1和f2為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點,并且pf1pf2,e1和e2分別是上述橢圓和雙曲線的離心率,則有()a.e12+e22=2b.e12+e22=4c.1e12+1e22

3、=2d.1e12+1e22=4【解析】選c.由題意設(shè)焦距為2c,橢圓的長軸長2a,雙曲線的實軸長為2m,不妨令p在雙曲線的右支上,由雙曲線的定義|pf1|-|pf2|=2m,由橢圓的定義|pf1|+|pf2|=2a,又f1pf2=90°,故|pf1|2+|pf2|2=4c2,2+2得|pf1|2+|pf2|2=2a2+2m2,將代入得a2+m2=2c2,即1c2a2+1c2m2=2,即1e12+1e22=2.4.(2016·濰坊高二檢測)設(shè)橢圓x2m2+y2n2=1(m>0,n>0)的右焦點與拋物線y2=8x的焦點相同,離心率為12,則此橢圓的方程為()a.x2

4、12+y216=1b.x216+y212=1c.x248+y264=1d.x264+y248=1【解析】選b.因為y2=8x的焦點為(2,0),所以x2m2+y2n2=1的右焦點為(2,0),所以m>n且c=2.又e=12=2m,所以m=4.因為c2=m2-n2=4,所以n2=12.所以橢圓方程為x216+y212=1.【補償訓(xùn)練】(2016·成都高二檢測)已知雙曲線中心在原點且一個焦點為f(7,0),直線y=x-1與其相交于m,n兩點,mn中點的橫坐標(biāo)為-23,則此雙曲線的方程是()a.x25-y22=1b.x22-y25=1c.x23-y24=1d.x24-y23=1【解題

5、指南】先根據(jù)題意設(shè)出雙曲線的方程x2a2-y2b2=1,然后與直線方程聯(lián)立方程組,消元得二元一次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及mn中點的橫坐標(biāo)建立a,b的一個方程,又雙曲線中有c2=a2+b2,則另得a,b的一個方程,最后解a,b的方程組即得雙曲線方程.【解析】選b.設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1,將y=x-1代入x2a2-y2b2=1,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2a2a2-b2,則x1+x22=a2a2-b2=-23.又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,所以雙曲線的方程為x22-y25=1.5.p是長軸在x軸上的橢圓x

6、2a2+y2b2=1上的點,f1,f2分別為橢圓的兩個焦點,橢圓的半焦距為c,則|pf1|·|pf2|的最大值與最小值之差一定是()a.1b.a2c.b2d.c2【解析】選d.由橢圓的幾何性質(zhì)得|pf1|,|pf1|+|pf2|=2a,所以|pf1|·|pf2|pf1|+|pf2|22=a2,當(dāng)且僅當(dāng)|pf1|=|pf2|時取等號.|pf1|·|pf2|=|pf1|(2a-|pf1|)=-|pf1|2+2a|pf1|=-(|pf1|-a)2+a2-c2+a2=b2,所以|pf1|·|pf2|的最大值與最小值之差為a2-b2=c2.6.(2016·

7、;天津高二檢測)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于a,b兩點,o為坐標(biāo)原點.若雙曲線的離心率為2,aob的面積為3,則p=()a.1b.32c.2d.3【解析】選c.因為e=2,所以b2=3a2,雙曲線的兩條漸近線方程為y=±3x,不妨設(shè)a=-p2,3p2,b-p2,-3p2,則ab=3p,又三角形的高為p2,則saob=12×p2×3p=3,即p2=4,又因為p>0,所以p=2.7.(2016·東營高二檢測)已知點p是拋物線y2=-8x上一點,設(shè)點p到此拋物

8、線準(zhǔn)線的距離是d1,到直線x+y-10=0的距離是d2,則d1+d2的最小值是()a.3b.23c.62d.3【解析】選c.拋物線y2=-8x的焦點f(-2,0),根據(jù)拋物線的定義知,d1+d2=|pf|+d2,顯然當(dāng)由點f向直線x+y-10=0作垂線與拋物線的交點為p時,d1+d2取到最小值,即|-2+0-10|2=62.8.若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于a,b兩個不同的點,且ab的中點的橫坐標(biāo)為2,則k等于()a.2或-1b.-1c.2d.1±5【解析】選c.由y=kx-2,y2=8x,消去y得,k2x2-4(k+2)x+4=0,故=2-4k2×4=64(1+

9、k)>0,解得k>-1,由x1+x2=4(k+2)k2=4,解得k=-1或k=2,又因為k>-1,故k=2.【易錯警示】本題易忽略>0而錯選a.9.(2016·邯鄲高二檢測)設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虛軸長為2,焦距為23,則雙曲線的漸近線方程為()a.y=±22xb.y=±2xc.y=±12xd.y=±2x【解析】選a.由題意得2b=2,2c=23,解得b=1,c=3,所以a=c2-b2=2,因此雙曲線的方程為x22-y2=1,所以漸近線方程為y=±22x.10.(2015

10、·福建高考)已知橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為f,短軸的一個端點為m,直線l:3x-4y=0交橢圓e于a,b兩點.若|af|+|bf|=4,點m到直線l的距離不小于45,則橢圓e的離心率的取值范圍是()a.0,32b.0,34c.32,1d.34,1【解析】選a.不妨設(shè)左焦點為f2,連接af2,bf2,由橢圓的對稱性可知四邊形afbf2的對角線互相平分,所以四邊形afbf2為平行四邊形,所以af+bf=bf2+bf=2a=4,所以a=2,設(shè)m(0,b),所以d=45b45b1,所以e=1-b2a2=1-b241-14=32,又e(0,1),所以e0

11、,32.11.(2016·哈爾濱高二檢測)已知橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為f(3,0),過點f的直線交橢圓于a,b兩點.若ab的中點坐標(biāo)為(1,-1),則e的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.x245+y236=1b.x236+y227=1c.x227+y218=1d.x218+y29=1【解析】選d.設(shè)a點坐標(biāo)為(x1,y1),b點坐標(biāo)為(x2,y2),所以x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1.兩式相減得,x12-x22a2=y22-y12b2,即(x1-x2)(x1+x2)a2=(y2-y1)(y2+y1)b2,因為x1+x2=2,y1+y

12、2=-2,所以k=y2-y1x2-x1=b2a2,又因為k=-1-01-3=12,所以b2a2=12,又因為c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,所以b2=9,a2=18,即e的標(biāo)準(zhǔn)方程為x218+y29=1.12.(2016·寶雞高二檢測)設(shè)拋物線c:y2=3px(p>0)的焦點為f,點m在c上,|mf|=5,若以mf為直徑的圓過點a(0,2),則c的方程為()a.y2=4x或y2=8xb.y2=2x或y2=8xc.y2=4x或y2=16xd. y2=2x或y2=16x【解析】選c.由已知得f34p,0,a(0,2),my023p,y0,因為afam,所以kaf&#

13、183;kam=-1,即2-34p×2-y0-y023p=-1,所以y02-8y0+16=0,所以y0=4,所以m163p,4,因為|mf|=5,所以5=34p-163p2+16,所以34p-163p2=9.所以3p4-163p=3或3p4-163p=-3,所以9p2-36p-64=0,或9p2+36p-64=0,由得p=-43(舍),p=163.由得p=43,p=-163舍,所以c的方程為y2=4x或y2=16x.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.請把正確答案填在題中橫線上)13.橢圓mx2+ny2=1與直線l:x+y=1交于m,n兩點,過原點與線段mn中點的直線斜

14、率為22,則mn=.【解析】設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),所以mx12+ny12=1mx22+ny22=1又因為y2-y1x2-x1=-1,所以-得:m=n·y1+y2x1+x2,因為y1+y2x1+x2=y1+y22-0x1+x22-0=22,所以m=22n,所以mn=22.答案:2214.直線y=kx+1(kr)與橢圓x25+y2m=1恒有公共點,則m的取值范圍為.【解析】將y=kx+1代入橢圓方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.由m>0,5k20,知m+5k2>0,故=100k2-4(m+5k2)(5-5m)0對kr恒成立.即5

15、k21-m對kr恒成立,故1-m0,所以m1.又因為m5,所以m的取值范圍是m1且m5.答案:m1且m5【易錯警示】本題易忽略隱含條件m5而出錯.15.(2015·山東高考)過雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線,交c于點p,若點p的橫坐標(biāo)為2a,則c的離心率為.【解題指南】本題是雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用,應(yīng)從焦點和漸近線出發(fā)構(gòu)造a,b,c的關(guān)系,進(jìn)而求出離心率e.【解析】將y=ba(x-c)代入x2a2-y2b2=1消去y得x2a2-ba2(x-c)2b2=1,因為xp=2a<c,所以(2a)2a2-ba2(2a-c)2

16、b2=1,化簡得3a2=(2a-c)2,即3a=c-2a,所以e=2+3.答案:2+3【補償訓(xùn)練】(2016·濟寧高二檢測)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),f1,f2分別是橢圓的左、右焦點,橢圓上總存在點p使得pf1pf2,則橢圓的離心率的取值范圍為 ()a.22,1b.22,1c.0,22d.0,22【解析】選a.由pf1pf2,知f1pf2是直角三角形,所以|op|=cb,即c2a2-c2,所以a2c,因為e=ca,0<e<1,所以22e<1.16.(2015·浙江高考)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右

17、焦點f(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對稱點q在橢圓上,則橢圓的離心率是.【解題指南】利用已知條件求出點q的坐標(biāo),從而求出a,b,c的關(guān)系.【解析】設(shè)f(c,0)關(guān)于直線y=bcx的對稱點為q(m,n),則有nm-c·bc=-1,n2=bc×m+c2,解得m=c3-cb2a2,n=2bc2a2,所以qc3-cb2a2,2bc2a2在橢圓上,即有(c3-cb2)2a6+(2bc2)2a4b2=1,解得a2=2c2,所以離心率e=ca=22.答案:22三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知拋物線的頂點在原點,它的

18、準(zhǔn)線過雙曲線x2a2-y2b2=1的一個焦點,并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點的連線垂直,拋物線與雙曲線交點為p32,6,求拋物線方程和雙曲線方程.【解析】依題意,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),因為點32,6在拋物線上,所以6=2p×32,所以p=2,所以所求拋物線方程為y2=4x.因為雙曲線左焦點在拋物線的準(zhǔn)線x=-1上,所以c=1,即a2+b2=1,又點32,6在雙曲線上,所以94a2-6b2=1,由a2+b2=1,94a2-6b2=1.解得a2=14,b2=34.所以所求雙曲線方程為4x2-43y2=1.【補償訓(xùn)練】若已知橢圓x210+y2m=1與雙曲線x2-y2b=

19、1有相同的焦點,又橢圓與雙曲線交于點p103,y,求橢圓及雙曲線的方程.【解析】由橢圓與雙曲線有相同的焦點得10-m=1+b,即m=9-b,又因為點p103,y在橢圓、雙曲線上,所以y2=89m,y2=b9.解由組成的方程組得m=1,b=8,所以橢圓方程為x210+y2=1,雙曲線方程為x2-y28=1.18.(12分)求以直線x+2y=0為漸近線,且截直線x-y-3=0所得弦長為833的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】由于雙曲線的漸近線方程為x+2y=0,故可設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=(0).設(shè)直線x-y-3=0與雙曲線的交點為a(x1,y1),b(x2,y2).聯(lián)立方程組x-y-3=0,x2-

20、4y2=,消去y,整理得3x2-24x+36+=0.由=(-24)2-3×4(36+)>0,解得<12.由根與系數(shù)關(guān)系可得x1+x2=8,x1x2=36+3.代入弦長公式中,|ab|=2|x1-x2|=2·(x1+x2)2-4x1x2=2·82-4×36+3=8(12-)3,于是8(12-)3=833,解得=4(與<12符合).故所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y2=1.19.(12分)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為22的直線交拋物線于a(x1,y1),b(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|ab|=9.(

21、1)求該拋物線的方程.(2)o為坐標(biāo)原點,c為拋物線上一點,若oc=oa+ob,求的值.【解析】(1)直線ab的方程是y=22x-p2,與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4,由拋物線定義得|ab|=x1+x2+p=9,所以p=4,從而拋物線方程是y2=8x.(2)由p=4,方程4x2-5px+p2=0可化為x2-5x+4=0,從而x1=1,x2=4,y1=-22,y2=42,從而a(1,-22),b(4,42).設(shè)oc=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22),又y32=8x3,即2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=

22、0或=2.20.(12分)已知點p(3,4)是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點,f1,f2為橢圓的兩焦點,若pf1pf2,試求:(1)橢圓的方程.(2)pf1f2的面積.【解析】(1)令f1(-c,0),f2(c,0)(c>0),則b2=a2-c2.因為pf1pf2,所以kpf1·kpf2=-1,即43+c·43-c=-1,解得c=5,所以設(shè)橢圓方程為x2a2+y2a2-25=1.因為點p(3,4)在橢圓上,所以9a2+16a2-25=1.解得a2=45或a2=5.又因為a>c,所以a2=5(舍去).故所求橢圓方程為x245+y220

23、=1.(2)由橢圓定義知|pf1|+|pf2|=65,又|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2=100,2-得2|pf1|·|pf2|=80,所以spf1f2=12|pf1|·|pf2|=20.【補償訓(xùn)練】已知拋物線c:y2=2px(p>0)過點a(1,-2).(1)求拋物線c的方程,并求其準(zhǔn)線方程.(2)是否存在平行于oa(o為坐標(biāo)原點)的直線l,使得直線l與拋物線c有公共點,且直線oa與l的距離等于55?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.【解析】(1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,所以p=2.故所求的拋物線c的方

24、程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.由y=-2x+t,y2=4x,得y2+2y-2t=0.因為直線l與拋物線c有公共點,所以=4+8t0,解得t-12.另一方面,由直線oa到l的距離d=55,可得|t|5=15,解得t=±1.因為-1-12,+,1-12,+,所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.21.(12分)已知橢圓c的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=14x2的焦點,離心率為255.(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過橢圓c的右焦點f作直線l交橢圓c于a,b兩點,交y軸于點m,若ma=mfa,mb=nfb,求m+n的值.【解析】(1)設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).拋物線方程可化為x2=4y,其焦點為(0,1),則橢圓c的一個頂點為(0,1),即b=1.由e=ca=a2-b2a2=255.得a2=5,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25+y2=1.(2)易求出橢圓c的右焦點f(2,0),設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),m(0,y0),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),代入方程x25+y2=1,得(1+5k2)x2-20k2