完整概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)免費(fèi)超詳細(xì)版,推薦文檔

1、?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?第一章概率論的根本概念§ 2 .樣本空間、隨機(jī)事件1 .事件間的關(guān)系 A B 那么稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B發(fā)生A B xx A或x B稱為事件A與事件B的和事件,指當(dāng)且僅當(dāng) A, B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí),事件 A B發(fā)生A B xx A且x B稱為事件A與事件B的積事件,指當(dāng) A, B 同時(shí)發(fā)生時(shí),事件 A B發(fā)生A- B xx A且x B稱為事件A與事件B的差事件,指當(dāng)且僅當(dāng) A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí),事件 A B發(fā)生A B ,那么稱事件A與B是互不相容的,或互斥的,指事件 A與事 件B不能同時(shí)發(fā)生,根本領(lǐng)件是兩兩互不相容的A B S且A B ,

2、那么稱事件 A與事件B互為逆事件,又稱事件 A與事件B互為對(duì)立事件2 .運(yùn)算規(guī)那么交換律ABBAABBA 結(jié)合律(A B) C A (B C) (A B)C A(B C)分配律 A (B C) (A B) (A C)A (B C) (A B)(A C) 德摩根律ABAB A B A B§ 3 頻率與概率定義 在相同的條件下,進(jìn)行了 n次試驗(yàn),在這n次試驗(yàn)中,事件 A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù),比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn),S是它的樣本空間,對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù),記為P(A), 稱為事件的概率1 .概率P(A)滿足以下條件：(1)非負(fù)性：對(duì)于每

3、一個(gè)事件 A 0 P(A) 1(2)標(biāo)準(zhǔn)性：對(duì)于必然事件S P(S) 1(3)可列可加性：設(shè)A1, A2, ,An是兩兩互不相容的事件, 有P( Ak)P(AJ(n可k 1k 1以取 )2 .概率的一些重要性質(zhì)： P( ) 0nn(ii)假設(shè)Ai,A2, , An是兩兩互不相容的事件,那么有P( Ak)P(Ak) (n可以取 )k 1k 1(iii)設(shè) A, B 是兩個(gè)事件假設(shè) A B,那么 P(B A) P(B) P(A) , P(B) P(A)(iv)對(duì)于任意事件 A, P(A) 1(v) P(A) 1 P(A) (逆事件的概率)(vi)對(duì)于任意事件 A, B 有 P(A B) P(A)

4、P(B) P(AB)§ 4等可能概型(古典概型)等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素,試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同假設(shè)事件 A 包含 k 個(gè)根本領(lǐng)件,即 A eij 露伯),里ik是 12n中某k個(gè)不同的數(shù),那么有kP(A)Pe"j 1 一k A包含的根本領(lǐng)件數(shù) n S中根本領(lǐng)件的總數(shù)§ 5 條件概率(1) 定義：設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且 P(A) 0,稱P(B|A) 迪為事件A發(fā)生的條P(A)件下事件B發(fā)生的條件概率(2) 條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1非負(fù)性：對(duì)于某一事件 B ,有P( B | A) 02.標(biāo)準(zhǔn)性：對(duì)于必然事件 S, P(S|A) 1

5、3 可列可加性：設(shè) Bi,B2,是兩兩互不相容的事件,那么有P( Bi A ) P(Bi A ) i 1i 1(3) 乘法定理設(shè)P(A) 0,那么有P(AB) P(B)P(A| B)稱為乘法公式n(4) 全概率公式：P(A)R(Bi)P(A| Bi)i 1貝葉斯公式:P(Bk | A)P(Bk)P(A|Bk)nP(Bi)P(A|Bi)i 1§ 6 獨(dú)立性 定義 設(shè)A, B是兩事件,如果滿足等式 P(AB) P(A)P(B),那么稱事件A,B相互獨(dú)立定理一 設(shè)A, B是兩事件,且 P(A) 0,假設(shè)A, B相互獨(dú)立,那么 P(B| A) P B一 一 一 一定理二假設(shè)事件A和B相互獨(dú)立

6、,那么以下各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與B,A與B,A與B第二章隨機(jī)變量及其分布§ 1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S e. X X(e)是定義在樣本空間 S上的實(shí)值單值函數(shù),稱X X(e)為隨機(jī)變量§ 2離散性隨機(jī)變量及其分布律1 .離散隨機(jī)變量：有些隨機(jī)變量,它全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無限多個(gè),這種隨 機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量P(X xk) Pk滿足如下兩個(gè)條件(1) Pk 0,(2)Pk =1k 1 2.三種重要的離散型隨機(jī)變量(1) (0- 1)分布設(shè)隨機(jī)變量 X 只能取 0 與 1 兩個(gè)值,它的分布律是 P(X k) pk(1-p)1-k, k 0,1 (0

7、p 1),那么稱X服從以P為參數(shù)的(0- 1)分布或 兩點(diǎn)分布.(2)伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布一設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與A ,那么稱E為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)P(A) p (0 p 1),此時(shí)P(A) 1-p .將e獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行n次,那么稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為n重伯努利實(shí)驗(yàn).P(X k) npkqn-k, k0,1,2,n 滿足條件(1)pk0,(2)Pk=1 注意kk 1到n pkqn-k是二項(xiàng)式(p 4)的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng),我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)k為n, p的二項(xiàng)分布.(3)泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,而取各個(gè)值的概率為k -eP(X k) ,k0,1,2,其中

8、 0是常數(shù),那么稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為k!X -()§ 3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x是任意實(shí)數(shù),函數(shù) F(x) PX x,- x稱為X的分布函數(shù) 分布函數(shù)F(x) P(X x),具有以下性質(zhì)(1) F(x)是一個(gè)不減函數(shù) (2)0 F(x) 1,且5() 0,F( ) 1(3) F(x 0) F (x),即 F (x)是右連續(xù)的§ 4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F (x),存在非負(fù)可積函數(shù) f (x),使x對(duì)于任意函數(shù)x有F(x) f (t) dt,那么稱x為連續(xù)性隨機(jī)變量,其中函數(shù)f(x)稱為X-的概率密度

9、函數(shù),簡稱概率密度0, (2) f(x)dx 1；1概率密度f(x)具有以下性質(zhì),滿足(1) f(x)(3) P(XiX x2)2,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量x1f (x)dx；(4)假設(shè)f(x)在點(diǎn)x處連續(xù),那么有F (x) f (x)(1)均勻分布假設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量 X具有概率密度f (x)均勻分布記為X U (a, b)(2)指數(shù)分布假設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x)服從參數(shù)為的指數(shù)分布.(3)正態(tài)分布a x bb-a ' a x b ,那么成X在區(qū)間(a,b)上服從0 ,其他0為常數(shù),那么稱X假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度為f (x)其中,(0)為常數(shù),那么稱X服從

10、參數(shù)為,的正態(tài)分布或高斯分布,記為特別,當(dāng)0,1時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布§ 5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度fx(x),-,又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù),(x)y= g(X)是連續(xù)型變量,其概率密度為fY(y)fXh(y)0h,(y),y,其他第三章多維隨機(jī)變量定義設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是Se. XX(e)和Y Y(e)是定義在S上的隨機(jī)變量,稱 X X(e)為隨機(jī)變量,由它們構(gòu)成的一個(gè)向量( X, Y)叫做二維隨機(jī)變量設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x , y ,二元函數(shù)F (x, v) P(X x) (Y y)駕PX x, Y y稱

11、為二維隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)如果二維隨機(jī)變量 (X, Y)全部可能取到的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì),那么稱(X,Y)是離散型的隨機(jī)變量.我們稱P(X xi? Y yj pj, i, j 1,2,為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的 分布律.對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F (x, y),如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x,y),y x使對(duì)于任思乂,丫有5 (x, y) f (u, v) dudv,那么稱(X, Y)是連續(xù)性的隨機(jī)變量,-函數(shù)f (x, y)稱為隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度,或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度.§ 2邊緣分布二維隨機(jī)變量(X, Y)作為一個(gè)整體,具有

12、分布函數(shù)F (x, y).而X和Y都是隨機(jī)變量,各自也有分布函數(shù),將他們分別記為FX(x), FY(y),依次稱為二維隨機(jī)變量 (X, Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù).Pi?Pij PX x i1,2,PjPY Yi),1,2,分別稱Pi? p?j為(X, Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律.x(x)f (x, y) dyfY(y)f (x, y) dx分別稱X(x),概率密度,記為 fX|Y(xy) =f(x, y)fY(y)fY (y)為x , 丫關(guān)于x和關(guān)于y的邊緣概率密度.§ 3條件分布定義 設(shè)(X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量,對(duì)于固定的j,假設(shè)PY yj)0,PXxi,YVi

13、)pj那么稱PX xi Y yj)- 4/1,2,為在Y yj條件下jPYyj)p?jjPX xi,Yyj)pj隨機(jī)變量X的條件分布律,同樣PY yj X Xi) -j 口,j 1,2,jPXxi)pi?為在Xxi條件下隨機(jī)變量 X的條件分布律.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的概率密度為f(x,y), (X, Y)關(guān)于Y的邊緣概fY(y)率密度為fY(y),假設(shè)對(duì)于固定的V, fY(y)0,那么稱f(x, y)為在Y=y的條件下X的條件§ 4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義設(shè)F (x, y)及FX(x), FY(y)分別是二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).假設(shè)對(duì)于所有x

14、,y有PX x,Y y) PX x)PY y),即Fx, y)Fx (x)Fy (y),那么稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的.對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量(X , Y) , X和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0§ 5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1, Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,它具有概率密度f (x, y).那么Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量,其概率密度為fX Y (z) f (z y, y) dy或fX Y (z) f (x,z x) dx又假設(shè)X和Y相互獨(dú)立,設(shè)(X, Y)關(guān)于X , Y的邊緣密度分別為 fX (x), fY(y)那么fx Y(z)fX (z y) fY(y)dy

15、 和 fX y(z) fX(x) fy(z x)dx這兩個(gè)公式稱為fX , fY的卷積公式有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布Y 一2, Z 一的分布、ZXY勺分布X一八一J 、口一 一、Y設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,它具有概率密度f(x, y),那么Z ,Z XYX仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為fYX (z)x f (x, xz)dxfXY ( z)1f (x,2)dx又假設(shè)X和Y相互獨(dú)立,設(shè)(X, Y)關(guān)于X, Y的邊緣密度分別x x為 fX (x), fy(y)那么可化為 fy/X (Z) fX (x) fy (xz)dxfXY (z):fX(x)fY

16、3;)dx3 M maxX , Y及 N min X ,Y的分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為FX (x),FY(y)由于M maxX , Y不大于z等價(jià)于X和Y都不大于z故有PM z PX z,Y z又由于X和丫相互獨(dú)立,得到 M maxX, Y的分布函數(shù)為Fmax(z) Fx(z)Fy(z)N minX,Y的分布函數(shù)為 Fmin (z) 1 1 Fx (z) 1 Fy(z)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§ 1 .數(shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為PXxkPk, k=1,2,假設(shè)級(jí)數(shù)xkpk絕對(duì)k 1收斂,那么稱級(jí)數(shù)xkPk的和為隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望,

17、記為E(X),即E(X)xk Pkk 1i設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為f (x),假設(shè)積分 xf(x)dx絕對(duì)收斂,那么稱積分xf(x)dx的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為E(X),即E(X) xf(x)dx定理 設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y= g(X)(g是連續(xù)函數(shù))(i)如果X是離散型隨機(jī)變量,它的分布律為PX xk pk , k=1,2,假設(shè)g(xk)pkk 1絕對(duì)收斂那么有 E(Y) E(g(X)g(xk)pkk 1(ii)如果X是連續(xù)型隨機(jī)變量,它的分概率密度為 f (x),假設(shè) g(x) f (x)dx絕對(duì)收斂那么有 E(Y) E(g(X) g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性

18、質(zhì)1設(shè)C是常數(shù),那么有E(C) C2設(shè)X是隨機(jī)變量,C是常數(shù),那么有E(CX) CE(X)3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,那么有 E(X Y) E(X) E(Y);4設(shè)X, Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,那么有E(XY) E(X)E(Y)§ 2方差2.2定義 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,假設(shè) E X E(X) 存在,那么稱E X E(X) 為*的方差,記為D (x)即D (x) = E X E(X) 2,在應(yīng)用上還引入量 jD(x),記為(x),稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差._2_2_2D(X) E(X E(X)2E(X2) (EX)2方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù),那么有D(C) 0,2 _2設(shè)X是隨機(jī)變量,C

19、是常數(shù),那么有D(CX) CD(X), D(XC)D(X)3 設(shè) X,Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量,那么有 D(X Y) D(X) D(Y) 2E(X - E(X)(Y - E(Y)特別,假設(shè)X,丫相互獨(dú)立,那么有 D(X Y) D(X) D(Y)4D(X) 0的充要條件是X以概率1取常數(shù)E(X),即PX E(X) 1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量 X具有數(shù)學(xué)期望E(X) 2,那么對(duì)于任意正數(shù),不等式PX - F成立§ 3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義 量EX E(X) Y E(Y)稱為隨機(jī)變量 X與Y的協(xié)方差為Cov(X,Y),即Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y) E(XY) E(X)E(Y

20、)* Cov(X, Y) 而 xy ：_三稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)D(X) D(Y)對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量 X和Y, D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)協(xié)方差具有下述性質(zhì)lCov(X,Y) Cov(Y,X), Cov(aX,bY) abCov(X,Y)2Cov(Xi X2,Y) Cov(XY) Cov(X2,Y)定理 1 XY 12| xy|1的充要條件是,存在常數(shù) a,b使PY a bx 1當(dāng) XY 0時(shí),稱X和丫不相關(guān)附：幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué) 期望力差兩點(diǎn)分 布0 p 1PX k) pk(1 p)1k,k 0,1,pp(1 p)二項(xiàng)式 分布n 10 p 1P(X k) C：pk(1 p)nk,k 0,1, n,npnp(1 p)泊松分 布0k eP(X k) ,k 0,1,2,k!幾何分 布0 p 1k 1P(X k) (1 p) p,k 1,2,1 p1 p2p均勻分 布a b1.一、,a x bf(