完整證明線段相等,角相等,線段垂直的方法總結(jié),推薦文檔

1、«線段相等,角相等,線段垂直?方法總結(jié)一. 證實線段相等的方法：1. 中點2. 等式的性質(zhì) 性質(zhì)1:等式兩邊同時加上相等的數(shù)或式子,兩邊依然相等.假設(shè)a=b那么有a+c=b+c性質(zhì)2：等式兩邊同時乘或除相等的非零的數(shù)或式子,兩邊依然相等假設(shè)a=b丹S么有a c=b c或 ac=bc a,b 豐 0或 a=b ,cQ3. 全等三角形4借助中介線段要證a=b,只需要證實a=c, c=b即可二. 證實角相等的方法1. 對頂角相等2. 等式的性質(zhì)3. 角平分線4垂直的定義5. 兩直線平行同位角,內(nèi)錯角6. 全等三角形7. 同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的補角相等10等角的補角相等11

2、.三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和三. 證實垂直的方法1. 證實兩直線夾角=9002. 證實鄰補角相等3. 證實鄰補角的平分線互相垂直4證實三角形兩內(nèi)角之和=9005. 垂直丁平行線中的一條直線,必定垂直丁另一條6. 證實此角所在的三角形與的直角三角形全等«線段相等,角相等,線段垂直?經(jīng)典例題1. 利用角平分線的定義例題1.如圖, AB=AC , AD/BC ,求證2、根本圖形“雙垂直本節(jié)常用輔助線是圍繞角平分線性質(zhì)構(gòu)造雙垂直需對其對稱性形成感覺例題2.如圖,XC,邸AC與曹助的面積相等.求證：op平分ZAOB .例題3、如圖,點=, E是BC的中點,DE平分山冗.求證：AE是

3、乙口4占的平分線.國3. 利用等腰三角形三線合一例題4.正方形 ABCD中,F是CD的中點,E是BC邊上的一點,且 AE=DC+CE,求證：AF平分/ DAE4, 利用定理定理：到一個角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上例5.如圖, ABC的兩個外角/ MAC、Z NCA的平分線相交于點 P,求證點P在/ B的平分線上5.和平行線結(jié)合使用,容易得到相等的線段.根本圖形:P是/ CAB的平分線上一點, PD / AB,貝U有/ 1= / 2=/ 3,所以 AD=DP.例6,如圖, ABC中,/ B的平分線與/ C外角的平分線交于 D,過D作BC的平行線交 AB、AC于E、F,求證EF=BE-

4、CF6.利用角平分線的對稱性.例7.如圖,在 ABC中,AB>AC , AD是 ABC的角平分線,P是AD上一點,求證 AB-AC>PB-PC7,角平分線與垂直平分線綜合例題8、如圖,在 ABC中,AD平分/ BAC , DG ± BC ,且平分 BC于G , DE ± AB于E, DF± AC延長線于 F. I,疝(1)求證：BE=CF.D一、平分線的應(yīng)用.«線段相等,角相等,線段垂直?經(jīng)典例題(解答局部)幾何題中,經(jīng)常出現(xiàn) 巳知角的平分線這一條件.這個條件一般有下面幾個方面的應(yīng)用:(1) 利用 角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等的性質(zhì)

5、,證實兩條線段相等.(2) 利用角是軸對稱圖形,構(gòu)造全等三角形.(3) 構(gòu)造等腰三角形.二、應(yīng)用舉例:1.利用角平分線的定義例題1.如圖, AB=AC , AD/BC,求證 AD平分/ EAC.證實：因 AB=AC,故/ B= / Co又因 AD/BC,故/ 1 = / B, / 2= / C, 故/ 1 = 2 2,即 AD 平分/ EAC.2、根本圖形“雙垂直本節(jié)常用輔助線是圍繞角平分線性質(zhì)構(gòu)造雙垂直(需對其對稱性形成感覺)例題2.如圖, AC與 hFBD 的面積相等.求證：op平分4°召.分析：觀察條件中提到 AMD與,顯然與全等無關(guān),而面積相等、底邊相等,于是自然想到可得兩三

6、角 形的高線相等,聯(lián)系到角平分線判定結(jié)論可得.證實：作戶劉-LCW于m, FN上08于n.PM = 又一OPZAOB例題3、如圖,曷二匕° = 計,e是BC的中點,DE平分曷£'二.求證：AE是二口膈 的平分線.國分析：在初一學習平行線時就圍繞這個圖做過很多練習,當時我們證實過DE垂直AE等.還是這個圖條件變了,由角平分線條件不難想到做輔助線構(gòu)造“雙垂直的根本圖形,用“角平分線性質(zhì)推得距離相等,再由另一側(cè)距離相等用“角平分線判定 AE為角平分線.證實：作EF ±AD于f-DE平分 A脫,= EFLAD.EF = CE又.- E是BC的中點.CE = ESE

7、F = EB又-.-EF：LAD,匕月二丸口ae是Z-DAB的平分線3. 利用等腰三角形三線合一例題4.正方形 ABCD中,F是CD的中點,E是BC邊上的一點,且 AE=DC+CE,求證：AF平分/ DAE證實：連結(jié) EF并延長,交 AD的延長線于 G,貝U FDG A FCE,故 CE=DG , EF=GF,于是 AG=AD+DG=DC+CE=AE .又因EF=GF,故AF是等腰三角形的底邊上的中線,于是 AF平分/ DAE4. 利用定理定理：到一個角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.因P在/又因P在故點P在例5.如圖, ABC的兩個外角/ MAC、/ NCA的平分線相交于點 P,求證

8、點P在/ B的平分線上證實：過 P作PD± AB , PE ±AC , PF± BC ,垂足分別是 D、E、F,MAC的平分線上,故 PD=PE./ ACN的平分線上,故 PE=PF,于是PD=PF,/ B的平分線上.5.和平行線結(jié)合使用,容易得到相等的線段.根本圖形:P是/ CAB的平分線上一點, PD / AB,貝U有/ 1= / 2=2 3,所以 AD=DP例6.如圖, ABC中,/ B的平分線與/ C外角的平分線交于D,過D作BC的平行線交 AB、AC于E、F,求證 EF=BE-CF分析：由BD平分/ ABC , ED II BC,不難得出 BE=DE.要

9、證EF=BE-CF,就轉(zhuǎn)化為要證 EF=DE-CF.下面要證 FD=FC ,即要 證/ FCD= / FDC.由CD平分/ ACG , ED II BC ,很容易得出/ FCD= / FDC,從而問題得證.6.利用角平分線的對稱性.例7.如圖,在 ABC中,AB>AC , AD是 ABC的角平分線,P是AD上一點,求證 AB-AC>PB-PC分析：證實不等關(guān)系,一般要把所證實的有關(guān)線段放在一個三角形內(nèi).通過角平分線這一條件可以構(gòu)造全等三角形：在AB上截取 AC'=AC ,貝U有 AC'P ACP, AC'=AC,PC'=PC .在 BPC'中

10、,BC'+C'P>PB,即 AB-AC'>PB-PC',從而得出 AB-AC>PB-PC7.角平分線與垂直平分線綜合BC于G , DE ± AB于E, DF± AC延長線于 F.例題8、如圖,在 ABC中,AD平分/ BAC , DG ± BC,且平分(1)求證：BE=CF.2如果 AB=a, AC=b,求AE、BE的大小用含有a、b的式子表示.證實：1連結(jié)BD、CD丁 DG± BC,且平分BC于G- BD= CD 此處提前用到了垂直平分線的性質(zhì),即垂直平分線上的點到線段兩端距離相等,可由證實'&

11、quot;Gm頃"得到AD 平分/ BAC , DE ± AB , DF ± AC.一 EW DHB = £DFC = W 在 R1aDEB 和 Rlr&DFC 中BD=CD'DE=DFu.DEB = RLlDFC(：HE):.BE = CF(2) P AD 平分/ BAC./LEAD = FAD.尤砌Z?+山匕慮= 9.,同理：一二.一一上-一 L .£ADEZADF即ad平分匕"F"n一 -,-.AB = AF而 AE=AB-BE=a-BE , AF=AC+CF=b+CFa-BE= b+CF又二-BEfa

12、-ha -h (3+3：.BE = 2, AE=a-BE=a- 2 = 2角平分線練習題1.如圖,在 ABC中,/ ACB=90 , BE平分/ ABG EM AB于D,如果 AC=3那么AE+DE=()A. 22.如圖, ABC的兩個外角的平分線相交于點 P,那么點到左ABC的三邊所在直線的距離的關(guān)系是A.均不相等 B.均相等、C.其中有兩個相等D.無法確定3.如圖,X >表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,那么可選擇的地址有()A. 一處B.二處 C .三處D.四處4.在 ABC內(nèi)部到三條邊的距離相等的點有 個.(1) PC=PD (2) OC=OD (3) OC=2PC (4) / DPOW CPO5.如圖,OP平分/ AOB PCLOA于C, PU OB于D,以下結(jié)論:第3題第5題第6題6.如圖,/ C=90° , AD平分/ BAC , BD=2CD,點D到AB的距離等于5cm,貝U BC的長為cm.Cd AB于E, BD CE相交于 O, AO的延長線交 BC于F,那么圖中7. 如圖, ABC中,AB=AC BDLAC于 D, 全等的直角三角形的對數(shù)為 .第7題第8題 第9題第10題8. 如圖,AE = AD,要使ABDACE ,請你增加一個條件是 .只需要填一個你認為適宜的條件9. 如