完整版阿氏圓問題歸納

1、阿氏圓題型的解題方法和技巧以阿氏圓阿波羅尼斯圓為背景的幾何問題近年來在中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn),對于此類問題的歸納和剖析顯得非常重要 .具體內(nèi)容如下：阿氏圓定理全稱：阿波羅尼斯圓定理,具體的描述：一動點(diǎn) P到兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比 n豐1,那么P點(diǎn)的軌跡,是以定比n內(nèi)分和外分定線段 AB的兩個分點(diǎn)的連線為直徑的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),該圓稱為阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.定理讀起來和理解起來比較枯燥,阿氏圓題型也就是大家經(jīng)常見到的PA+kPB k豐1P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓或者圓弧的題型.PA+kPB,k豐1P點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓或圓弧的題型阿氏圓根本解法：構(gòu)造母子三角形相似【問題】

2、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,在x軸、y軸分別有點(diǎn)Cm, 0 , D0, n.點(diǎn)P是平面 內(nèi)一動點(diǎn),且 OP=r,求PC+kPD勺最小值.阿氏圓一般解題步驟：第一步：確定動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡 圓,以點(diǎn).為圓心、r為半徑畫圓；假設(shè)圓已經(jīng)畫出那么可省 略這一步第二步：連接動點(diǎn)至圓心 0將系數(shù)不為1的線段的固定端點(diǎn)與圓心相連接 ,即連接OR OD第三步：計算出所連接的這兩條線段OR OD長度；第四步：計算這兩條線段長度的比k;第五步：在 OD上取點(diǎn) M,使得 OM:OP=OP:OD=k第六步：連接CM與圓.交點(diǎn)即為點(diǎn)P.此時CMgP所求的最小值.【補(bǔ)充：假設(shè)能直接構(gòu)造相似計算的,直接計算,不能直接構(gòu)造相似計

3、算的,先把k提到一,1括號外邊,將其中一條線段的系數(shù)化成；,再構(gòu)造相似進(jìn)行計算 】習(xí)題【旋轉(zhuǎn)隱圓】如圖,在Rt A ABC中,/ ACB=90 , D為AC的中點(diǎn),M為BD的中點(diǎn),將線段AD繞A點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點(diǎn)M為BD的中點(diǎn)),假設(shè)AC=4, BC=3那么在旋轉(zhuǎn)過程中,線段C咔度的取值范圍是 .1. Rt ABC中,/ ACB=90 , AC=4 BC=3 點(diǎn).為 ABC內(nèi)一動點(diǎn),滿足 CD=2 貝U AD+2 BD3的最小值為.2. 如圖,菱形 ABCD勺邊長為2,銳角大小為 60° , O A與BC相切于點(diǎn)E,在O A上任取一-3點(diǎn)P,貝U PB+業(yè)3 PD的最小

4、值為2【旅轉(zhuǎn)隱圓】第1鞭第2題3. 如圖,菱形 ABCD勺邊長為4, / B=60° ,圓B的半徑為2, P為圓B上一動點(diǎn),貝U PD+11 PC的最小值為.24. 如圖,點(diǎn) A, B在O.上,OA=OB=12,OA OB點(diǎn)C是OA的中點(diǎn),點(diǎn) D在OB上,OD=10.動., 1點(diǎn)P在.上,貝U PC+ PD的最小值為 .25. 如圖,等邊 ABC的邊長為6,內(nèi)切圓記為.O P是圓上動點(diǎn),求 2PB+PC勺最小值.第3題第4題第5題6. 如圖,邊長為4的正方形,內(nèi)切圓記為 O, P是圓上的動點(diǎn),求 J2pa+pb勺最小值.7. 如圖,邊長為4的正方形,點(diǎn) P是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn),且BP

5、=2那么PD+1PC的最小值2為; <2 PD+4PC勺最小值為.8. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,A(2 , 0) , B(0,2) , C(4, 0), D(3, 2) , ?是左AOB7卜部的第 象限內(nèi)一動點(diǎn),且/ BPA=135 ,貝U 2PD+PC勺最小值是 .9,在 ABC中,AB=& BC=8ZABC=60 , O A的半徑為6, P是O A上的動點(diǎn),連接PB PC,那么3PC+2PB勺最小值為4為半徑作O C.10.如圖,在 Rt ABC中,/ A=30° , AC=8,以 C為圓心,試判斷O C與AB的位置關(guān)系,并說明理由；點(diǎn)F是C上一動點(diǎn),點(diǎn) D在A

6、C上且CD=2試說明 FCLA ACF1 EF+ FA的最小值.2 點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn),在(2)的情況下,試求出B11.(1)如圖1,正方形 ABCD勺邊長為4,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn),求PD+1 PC的最小值和PD-1 PC的最大值；2 2如圖2,正方形 ABCD勺邊長為9,圓B的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上的一個動點(diǎn),那,2, 一2,么PD+PC的最小值為 , PD-PC的最大值為 .3 3如圖3,菱形 ABCD勺邊長為4, Z B=60° ,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B上的一個 動點(diǎn),那么PD+1PC的最小值為 , PD-1PC的最大值為 .2212.問題提出：如圖

7、1,在Rt ABC中,/ ACB=90 , CB=4, CA= OC半徑為2, P為圓上 _ ,、 _ 1- 一動點(diǎn),連結(jié) AP、BP,求AP+BP的最小值.2(1)嘗試解決：為解決這個1可題,卜面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在CB上取點(diǎn)D,使CD=1,那么有 CDC1,又.PCDW BCP PCEA BCP.二-D-,CPCB2BP2PD=1 BP, AP+1 BP=AP+PD22 1,請你完成余下的思考,并直接寫出答案：AP+BP的最小值為 .2自主探索：在“問題提出的條件不變的情況下,-AP+BP的最小值為 .3 拓展延伸：扇形 COW, / COD=90 , OC=6 OA=3

8、 OB=5,點(diǎn)P是弧CD上一點(diǎn),求 2PA+PB的最小值.【二次函數(shù)結(jié)合阿氏圓題型】13.如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3 (a豐0)與x軸交于點(diǎn) A (4, 0),與y軸交于點(diǎn)B,在 x軸上有一動點(diǎn)E (m 0) ( 0v rnK 4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線 AB于點(diǎn)N,交拋物線 于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作P機(jī)AB于點(diǎn)M求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；設(shè) PMN!勺周長為 C1, AEN的周長為 C2, 假設(shè)C 6,求m的值； C25如圖2,在(2)條件下,將線段 OE繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到 OE',旋轉(zhuǎn)角為a ( 0° Va V90° ),連接 E'

9、A、E' B,求 E' A+2 E' B 的最小值.3,AC=D,求CD的長.問題背景：如圖1,在 ABC中,BC=4, AB=2AC問題初探：請寫出任意一對滿足條件的AB與AC的值：AB=問題再探：如圖2,在AC右側(cè)作/ CADW B,交BC的延長線于點(diǎn) 問題解決：求 ABC的面積的最大值.1.小明的數(shù)學(xué)探究小組進(jìn)行了系列探究活動.類比定義：類比等腰三角形給出如下定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做鄰等四邊形.探索理解：如圖1,A、B C在格點(diǎn)(小正方形的頂點(diǎn))上,請你協(xié)助小明用兩種不同的方法 畫出格點(diǎn)D,連接DA DC使四邊形 ABCC鄰等四邊形；r_r T-r -i

10、r rr r _r _i嘗試體驗(yàn)：如圖 2,鄰等四邊形 ABCW, AD=CD Z ABC=120 , / ADC=60 , AB=2, BC=1,求四邊 形ABCD勺面積.解決應(yīng)用：如圖 3,鄰等四邊形 ABCW, AD=CD Z ABC=75 , Z ADC=60 , BD=4小明爸爸所在的工廠,需要裁取某種四邊形的材料板,這個材料板的形狀恰巧是符合如圖3條件的鄰等四邊形, 要求盡可能節(jié)約.你能求出這種四邊形面積的最小值嗎如果能,請求出此時四邊形 ABCE®積的最小值；如果不能,請說明理由.2. 我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形.(1)如圖1,在四邊形ABC/,添加一個條件使得四邊形 ABCD是“等鄰邊四邊形.