平面向量的概念及線性運算知識梳理

1、平面向量的概念、線性運算及坐標運算【考綱要求】1. 了解向量的實際背景；理解平面向量的概念及向量相等的含義；理解向量的幾何表示2. 掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾何意義；掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義；了解向量線性運算的性質及其幾何意義3. 了解平面向量的根本定理及其意義,掌握平面向量的正交分解及其坐標表示,會用坐標表示平面 向量的加法、減法與數(shù)乘運算,理解用坐標表示的平面向量共線的條件【知識網絡】【考點梳理】401193知識要點】【高清課堂：平面向量的概念與線性運算 考點一、向量的概念1 .向量：既有大小又有方向的量.通常用有向線段 AB表示,其中A為起點,B為

2、終點.向量AB的長度|AB|又稱為向量的模;長度為0的向量叫做零向量,長度為 1的向量叫做單位向量.2.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,規(guī)定零向量與任一向量平行平行向量可通過平移到同一條直線上,因此平行向量也叫共線向量3.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等.4. 與a長度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,規(guī)定零向量的相反向量是零向量要點詮釋:有向線段的起、終點決定向量的方向,AB與BA表示不同方向的向量;有向線段的長度決定向量的大小,用|AB |表示,|AB |=|BA |. 任意兩個非零的相等向量可經過平移重合在一起,因此可用一個有向線段表示,而與起點無關 考

3、點二、向量的加法、減法1. 向量加法的平行四邊形法那么平行四邊形ABC% (如圖),T T T T 向量AD與AB的和為AC ,記作：AD +AB = AC .(起點相同)2. 向量加法的三角形法那么t TT T T根據向量相等的定義有：AB =DC,即在 ADC中,AD +DC =AC .首尾相連的兩個向量的和是以第一個向量的起點指向第二個向量的終點.T T規(guī)定：零向量與向量 AB的和等于AB .3. 向量的減法T rT T向量AB與向量BA叫做相反向量.記作：AB = -BA .T T T T 貝U AB -CD =AB DC .要點詮釋： 關于兩個向量的和應注意：兩個向量的和仍是一個向量

4、；使用三角形法那么時要注意“首尾相連；當兩個向量共線時,三角形法那么適用,而平行四邊形法那么不適用 向量減法運算應注意：向量的減法實質是加法的逆運算,差仍為一個向量；用三角形法那么作向量減法時,記住"連結兩個向量的終點,箭頭指向被減向量"要點三、實數(shù)與向量的積1. 定義：一4一般地,實數(shù)A與向量a的積是一個向量,記作,a ,它的長與方向規(guī)定如下：4,(1) |2 閂 A|,| a |；、 、珅、 一、珅 4(2) 當>0時,7a的方向與a的方向相同；當兀<0時,"a的方向與a的方向相反；當乳=0時,Aa = 0；2. 運算律設九,P為實數(shù),那么44(1

5、) 杪a)=(汐)a；4 *(2) (赤 + H)a = %a + Ma ；(3) 7"a+b) =君a / Ab3. 向量共線的充要條件一 一 , * 一 一 向量a、b是兩個非零共線向量,即 a / b,那么a與b的方向相同或相反.向量a(t 0)與b共線,當且僅當有唯個實數(shù)舄,使b=?°a.要點詮釋： 向量數(shù)乘的特殊情況：當離=0時,乳：=0；當*= 0時,也有$；實數(shù)和向量可以求積,但是不能求和、求差. 平面向量根本定理是建立向量坐標的根底,它保證了向量與坐標是一一對應的,在應用時,構成兩個基地的向量是不共線的向量 考點四、平面向量的坐標運算1. 平面向量的坐標表示

6、一、4 4、r選取直角坐標系的x軸、y軸上的單位向量i , j為基底,由平面向量根本定理, 該平面內任一向量a 一 -表示成a = x i + y j的形式,由于a與數(shù)對(x,y )是一一對應的,因此把(x,y )叫做向量a的坐標表示.2. 平面向量的坐標運算 a = (x,yi), b= gy),那么一、 7 ,、(1) a±b = (x土x2,y1 ±y2)T(2) Ka= *1,瑚)3. 平行向量的坐標表示4T4 4* t a= (x1,y1), b = (x2, y2),那么 a / bu x1y2 x2y1 =0 ( b# 0)要點詮釋： 假設a= (x,yi),

7、 b= (x2,y2),那么a/b的充要條件不能表示成 五=火,由于x2,y2有可能等x2 y一、, 于O ,所以應表示為x1 y x2y 0同時a / / b的充要條件也不能錯記為x1yx2y 0 , 乂叫-yg =.等.4T4 44 假設a=(x1,y1), b = (x2,y2),那么a/b的充要條件是b = 7a,這與xiy2x2y=0在本質上是沒有差異的,只是形式上不同.【典型例題】類型一、平面向量的相關概念例1. 以下說法中正確的選項是 非零向量a與非零向量b共線,向量b與非零向量c共線,那么向量a與向量c共線； 任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點； 向量a

8、與b不共線,那么a與b所在直線的夾角為銳角； 零向量模為0,沒有方向； 始點相同的兩個非零向量不平行； 兩個向量相等,它們的長度就相等； 假設非零向量AB與CD是共線向量,那么 A B、G D四點共線.【答案】【解析】 向量共線即方向相同或相反,故非零向量間的共線關系是可以傳遞的； 相等向量是共線的,故四點可能在同一直線上； 向量不共線,僅指其所在直線不平行或不重合,夾角可能是直角或銳角； 零向量不是沒有方向,它的方向是任意的； 向量是否共線與始點位置無關； 兩個向量相等,它們的長度相等,方向相同； 共線向量即平行向量,非零向量 AB與CD是共線向量,可能 A、B、G D四點共線,也可能 AB

9、CD平行.【總結升華】從向量的定義可以看出,向量既有代數(shù)特征又有幾何特征,因此借助于向量可將代數(shù)問題與幾何問題 相互轉化.零向量是一特殊向量,它似乎很不起眼,但又處處存在.因此,正確理解和處理零向量與非零 向量之間的關系值得我們重視.對于平行向量或共線向量,它們可以在同一直線上,也可以所在直線互相 平行,方向可以相同也可以相反；相等向量那么必須大小相等、方向相同.舉一反三：【變式1】判斷以下各命題是否正確,并說明理由：假設 |a |=|b|,那么 a = b；單位向量都相等；兩相等向量假設起點相問,那么終點也相問；假設 a = b, c = b,那么 a = c；假設 |a |>| b|

10、,那么 a > b；(6)由于零向重方向不確7E ,故匕不能與任息向重平仃【答案】(1) 錯；模相等,方向未必相同；(2) 錯；模相等,方向未必相同；(3) 正確；因兩向量的模相等,方向相同,故當他們的起點相同時,那么終點必重合；(4) 正確；由定義知是對的；(5) 錯；向量不能比較大?。?6) 錯；規(guī)定：零向量與任意向量平行.【變式2】在復平面中,點 A (2, 1), B (0, 2), C (-2, 1), O (0, 0).給出下面的結論：TTT T T TT直線OC與直線BA平行；AB +BC =CA ；OA + OC =OB ；AC =OB 2OA.其中正確結論的個數(shù)是()A

11、 . 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】k°C =11=-,2 -11- 一一kBA = = ,二 OC / AB ,正確;-220-22.鬲.云 ,錯誤;. OA+OC=0,2=OB,.正確;晶-2#=頊,0,定=-4,0,.正確.應選C.類型二、平面向量的加減及其線性運算比2日如冬已梯形 ABCD中,AB/ CD ,且AB =2CD , M、 設AD = a, AB = &,試以a、b為基底表示 DC、BC、mN .N分別是CD、AB的中點,【解析】連結ND ,那么1 1DC = AB = b; 22r i i 寸DC AB b= NB 22DC/ NB , D

12、C =NB一T 一 "I i,- BC = ND =AD AN =a b；2小-4 i r i4又 DM = DC = -b2 4一T 一 ： 一 i, TMN =DN - DM =CB - DM = b-a .4【總結升華】此題實質上是平面向量根本定理的應用,由于 AD , AB是兩個不共線的向量,那么 平面內的所有向量都可以用它們表示出來此題的關鍵是充分利用幾何圖形中的線段的相等、平行關系,結合平行向量、相等向量的概念,向 量的線性運算,變形求解.舉一反三：工一 口 、一T iT T【變式】在八ABC中,D是AB邊上一點,假設AD =2DB , CD =-CA 十九CB,那么舄=

13、32【答案】-3T【解析】由圖知 CD=CA+AD CD =CB +BD , Z且 AD +2BD =0.+ x 2 得：3CD =CA+2CB, . CD =CA +2 CB , .九=3 33* 一 4【變式2】 ABC中,點D在AB上,CD平分ACB,假設CB = a , CA = b ,a. i a 2 b33【答案】BB.2日14 a b C.333 4-a b D.5543,a b55ABCD邊AD上一點,且 淀=7D, 設 XB = a , EC = * ,假設4【變式3】如圖,E為平行四邊形ir t t ,AF=AC, BF=kBE,求 k 的值.T T 1,時又,BF =kB

14、E =k(AE-AB) =k( b-a)4I T 一 、- k"而 BF = AF -a , AF = (1 - k)a + b4,-4由解礙k = 一 .5【變式4】假設O, E, F是不共線的任意三點,那么以下各式中成立的是()T T T T T T T J T T T T【答案】B【變式5】O是 ABC所在平面內一點,D為BC邊中點,且2OA +OB +OC = 0,那么(A. EF =OF OEB. EF =OF -OE C. EF - -OF OED. EF - -OF - OEH-H =-H KA. AO = ODB . AO = 2ODC . AO = 3ODD . 2

15、AO = OD【答案】A【解析】由于 D為BC邊中點,所以由平行四邊形法那么可知:又囂+OC2OA,T T所以 OD = -OA = AO例3.設兩個非零向量a,b不共線,T 4 T * 4 4 4(1)假設 AB=a+b, BC = 2a+8b,CD= 3(a-b).求證：A , B , D 三點共線.(2)試確定實數(shù)k,使ka + b和a + kb共線.【解析】(1)證實：'；AB=a+b, BC = 2a+8b,CD= 3( a-b),二 BD =BC +CD = 2a + 8b+ 3(a -b) =5(a + b) =5AB ； 二 AB, BD 共線, 又/它們有公共點B,二

16、A , B , D三點共線.(2) * k a + b 和 a+ kb 共線,二存在實數(shù)九,使 k a+b = 7ja + k b),即(ka=(7*1)b,'；a,b是不共線的兩個非零向量,2.k " '-.k -1=0,. k -1=0.k=1.【總結升華】證實三點共線問題,可以用向量共線來解決,但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向 量共線且有公共點時,才能得到三點共線向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時,通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數(shù)與方程思想的運用【變式1】平面內有一點P及一個 ABC,那么B .點P在線段D .點P在

17、線段AB上AC上A.點P在 ABC外部C.點P在線段BC上【答案】Dr?黛京PA +PB +PC =AB , PA + PB +【解析】p?x=0,即由囂+依長=0,.靛故云+ b , CD = a-2b, A、A. k=1且c與d同向B. k=1且c與d反向C. k= 1且c與d同向D. k= 1且c與d反向=0 , 2pA=CP, 點 P 在線段 AC 上.【變式2】假設a、b是兩個不共線的向量,#=2：+kb,BC 三點共線,求實數(shù)k的值.【答案】k = -7T4 T *【解析】AC=AB+BC=(2a+ kb)+(a+b)=3a+ (k+1)b , CD = a-2b,/ A,C,D三

18、點共線,二ZC,CD共線, T令AC =丸CD , A不為零,.3a + (k 1)b = M(a -2b) K.a -2 b, = 3 i 3,k = -7k 1 = 2,.【變式3】向量a、b不共線,c = ka + bkw R,d=a-b,如果c / d ,那么【答案】D【解析】 c / d且a、b不共線,.存在唯一實數(shù) A使c =,2, I ' 土 k =, k = -1 _ka + b = A (a - b)S ,應選 D.1 = -,= -1【高清課堂：平面向量的概念與線性運算401193例2】【變式4】向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6：,cD =72b,那么

19、一定共線的()(A) A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D) A、C、D【答案】A類型三、平面向量的根本定理、坐標表示及綜合應用例 4、(I) (2021 全國 I 高考)設向量 a=(x, x+1), M=(1 , 2),且 lb,那么 x=.( ) (2021 全國 II 高考)向量 a=(m,4), b=(3,-2),且"a / b,貝U m=.2【答案】(i) (n) -63【解析】(I)a=(x, x+i), b=(1, 2),由于 a_ib,所以 x+(x+1)2=0,出2即 3x+2=0,解得 x=3 .(n )由于 a / b,那么-2m=12,解得 m=-

20、6.,準備掌握公式,靈活【總結升華】 考查向量的坐標運算及平行垂直的坐標表示是測試命題的主要方式之 運用.舉一反三：【變式1】(2021春 拉薩期末)向量a =(1,2 ), b = (-1,4)4 4 11 4 時假設(ka +2b )LI(a 3b ),求 k 的值.假設(ka +2b )_L (a 3b ),求 k 的值.【解析】(1)?a=(1,2), b=(1,4),ka+2b =(k-2,2k+8 ), a-3b=(4,-10)ka 2ba-3b-10 k -2 -4 2k 8 =0解得：k=26(2)當(ka +2b )_L(a -3b )時, c c c114(k2)10(2k

21、+8)=0解得 k =-歹【變式2設向量a= (1, 2) , b= (2, 3).假設向量a + b與向量c= ( 4, 7)共線,那么入=,【答案】2【解析】赤a+b =(九+2,2丸+3) ,(Aa+b)/c,7(九+2)=頊(2兀+3)n 九=2.故填 2.【變式 3】如圖,在 ABC 中,AD ± AB , BC = JSBD , | AD | = 1 ,4那么AC AD =.炒岑c【答案】.3【解析】建系如下列圖：令 B(XB, 0), C (XC, Yc), D (0, 1),- BC =(xc -XB%),BD =(-xB,1), BC=、/3bD,Ixc -XB =

22、、-3(-xb)S L , yC = . 3ac=(i-73)xb,佝,jxc = (1 - 3)xb<L,1 yC = '、3AD = (0,1),貝U AC A =V3【變式4】 右 平面向量a、b滿足a十b =1,a +b平行于x軸,b= (2,1),那么a =【答案】(一1 , 1)或(一3, 1)【解析】設 a =(x, y),那么：+b =(x+2, y-1),5 H20(yT)2=1"y.或懺1x = -1x = -3- a = ( 1, 1)或(一3, 1).【高清課堂：平面向量的概念與線性運算 401193例3】【變式5】假設直線2x - y + c

23、= 0按向量a = (1,一1)平移后與圓x2 + y2 = 5相切,貝U c的值為()A . 8 或2 B . 6 或4 C . 4或6D. 2 或一8【答案】A例5. A, B, C是不共線三點,點 O是A, B, C確定平面內一點,假設|OA|2 +|OB |2 +|OC |2取最小 值時,.是 ABC)A.重心 B .垂心 C .內心 D .夕卜心【答案】A【解析】設 O (x, y) , A (xi, yD, B (x2, y2), C (x3, v3那么 S =|OA|2 |OB |2 |OC |22 2 2 2 2 2= (xxi) (y yi)(xX2)(y y2) (x X3)(y y3)= 3x222222222(為x2x3)x為x2