平面向量的概念及線性運(yùn)算知識梳理

1、平面向量的概念、線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算【考綱要求】1. 了解向量的實(shí)際背景；理解平面向量的概念及向量相等的含義；理解向量的幾何表示2. 掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義；掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義；了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義3. 了解平面向量的根本定理及其意義,掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示,會用坐標(biāo)表示平面 向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算,理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】401193知識要點(diǎn)】【高清課堂：平面向量的概念與線性運(yùn)算 考點(diǎn)一、向量的概念1 .向量：既有大小又有方向的量.通常用有向線段 AB表示,其中A為起點(diǎn),B為

2、終點(diǎn).向量AB的長度|AB|又稱為向量的模;長度為0的向量叫做零向量,長度為 1的向量叫做單位向量.2.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,規(guī)定零向量與任一向量平行平行向量可通過平移到同一條直線上,因此平行向量也叫共線向量3.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等.4. 與a長度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,規(guī)定零向量的相反向量是零向量要點(diǎn)詮釋:有向線段的起、終點(diǎn)決定向量的方向,AB與BA表示不同方向的向量;有向線段的長度決定向量的大小,用|AB |表示,|AB |=|BA |. 任意兩個(gè)非零的相等向量可經(jīng)過平移重合在一起,因此可用一個(gè)有向線段表示,而與起點(diǎn)無關(guān) 考

3、點(diǎn)二、向量的加法、減法1. 向量加法的平行四邊形法那么平行四邊形ABC% (如圖),T T T T 向量AD與AB的和為AC ,記作：AD +AB = AC .(起點(diǎn)相同)2. 向量加法的三角形法那么t TT T T根據(jù)向量相等的定義有：AB =DC,即在 ADC中,AD +DC =AC .首尾相連的兩個(gè)向量的和是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).T T規(guī)定：零向量與向量 AB的和等于AB .3. 向量的減法T rT T向量AB與向量BA叫做相反向量.記作：AB = -BA .T T T T 貝U AB -CD =AB DC .要點(diǎn)詮釋： 關(guān)于兩個(gè)向量的和應(yīng)注意：兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量

4、；使用三角形法那么時(shí)要注意“首尾相連；當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí),三角形法那么適用,而平行四邊形法那么不適用 向量減法運(yùn)算應(yīng)注意：向量的減法實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算,差仍為一個(gè)向量；用三角形法那么作向量減法時(shí),記住"連結(jié)兩個(gè)向量的終點(diǎn),箭頭指向被減向量"要點(diǎn)三、實(shí)數(shù)與向量的積1. 定義：一4一般地,實(shí)數(shù)A與向量a的積是一個(gè)向量,記作,a ,它的長與方向規(guī)定如下：4,(1) |2 閂 A|,| a |；、 、珅、 一、珅 4(2) 當(dāng)>0時(shí),7a的方向與a的方向相同；當(dāng)兀<0時(shí),"a的方向與a的方向相反；當(dāng)乳=0時(shí),Aa = 0；2. 運(yùn)算律設(shè)九,P為實(shí)數(shù),那么44(1

5、) 杪a)=(汐)a；4 *(2) (赤 + H)a = %a + Ma ；(3) 7"a+b) =君a / Ab3. 向量共線的充要條件一 一 , * 一 一 向量a、b是兩個(gè)非零共線向量,即 a / b,那么a與b的方向相同或相反.向量a(t 0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯個(gè)實(shí)數(shù)舄,使b=?°a.要點(diǎn)詮釋： 向量數(shù)乘的特殊情況：當(dāng)離=0時(shí),乳：=0；當(dāng)*= 0時(shí),也有$；實(shí)數(shù)和向量可以求積,但是不能求和、求差. 平面向量根本定理是建立向量坐標(biāo)的根底,它保證了向量與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的,在應(yīng)用時(shí),構(gòu)成兩個(gè)基地的向量是不共線的向量 考點(diǎn)四、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1. 平面向量的坐標(biāo)表示

6、一、4 4、r選取直角坐標(biāo)系的x軸、y軸上的單位向量i , j為基底,由平面向量根本定理, 該平面內(nèi)任一向量a 一 -表示成a = x i + y j的形式,由于a與數(shù)對(x,y )是一一對應(yīng)的,因此把(x,y )叫做向量a的坐標(biāo)表示.2. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 a = (x,yi), b= gy),那么一、 7 ,、(1) a±b = (x土x2,y1 ±y2)T(2) Ka= *1,瑚)3. 平行向量的坐標(biāo)表示4T4 4* t a= (x1,y1), b = (x2, y2),那么 a / bu x1y2 x2y1 =0 ( b# 0)要點(diǎn)詮釋： 假設(shè)a= (x,yi),

7、 b= (x2,y2),那么a/b的充要條件不能表示成 五=火,由于x2,y2有可能等x2 y一、, 于O ,所以應(yīng)表示為x1 y x2y 0同時(shí)a / / b的充要條件也不能錯(cuò)記為x1yx2y 0 , 乂叫-yg =.等.4T4 44 假設(shè)a=(x1,y1), b = (x2,y2),那么a/b的充要條件是b = 7a,這與xiy2x2y=0在本質(zhì)上是沒有差異的,只是形式上不同.【典型例題】類型一、平面向量的相關(guān)概念例1. 以下說法中正確的選項(xiàng)是 非零向量a與非零向量b共線,向量b與非零向量c共線,那么向量a與向量c共線； 任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)； 向量a

8、與b不共線,那么a與b所在直線的夾角為銳角； 零向量模為0,沒有方向； 始點(diǎn)相同的兩個(gè)非零向量不平行； 兩個(gè)向量相等,它們的長度就相等； 假設(shè)非零向量AB與CD是共線向量,那么 A B、G D四點(diǎn)共線.【答案】【解析】 向量共線即方向相同或相反,故非零向量間的共線關(guān)系是可以傳遞的； 相等向量是共線的,故四點(diǎn)可能在同一直線上； 向量不共線,僅指其所在直線不平行或不重合,夾角可能是直角或銳角； 零向量不是沒有方向,它的方向是任意的； 向量是否共線與始點(diǎn)位置無關(guān)； 兩個(gè)向量相等,它們的長度相等,方向相同； 共線向量即平行向量,非零向量 AB與CD是共線向量,可能 A、B、G D四點(diǎn)共線,也可能 AB

9、CD平行.【總結(jié)升華】從向量的定義可以看出,向量既有代數(shù)特征又有幾何特征,因此借助于向量可將代數(shù)問題與幾何問題 相互轉(zhuǎn)化.零向量是一特殊向量,它似乎很不起眼,但又處處存在.因此,正確理解和處理零向量與非零 向量之間的關(guān)系值得我們重視.對于平行向量或共線向量,它們可以在同一直線上,也可以所在直線互相 平行,方向可以相同也可以相反；相等向量那么必須大小相等、方向相同.舉一反三：【變式1】判斷以下各命題是否正確,并說明理由：假設(shè) |a |=|b|,那么 a = b；單位向量都相等；兩相等向量假設(shè)起點(diǎn)相問,那么終點(diǎn)也相問；假設(shè) a = b, c = b,那么 a = c；假設(shè) |a |>| b|

10、,那么 a > b；(6)由于零向重方向不確7E ,故匕不能與任息向重平仃【答案】(1) 錯(cuò)；模相等,方向未必相同；(2) 錯(cuò)；模相等,方向未必相同；(3) 正確；因兩向量的模相等,方向相同,故當(dāng)他們的起點(diǎn)相同時(shí),那么終點(diǎn)必重合；(4) 正確；由定義知是對的；(5) 錯(cuò)；向量不能比較大??；(6) 錯(cuò)；規(guī)定：零向量與任意向量平行.【變式2】在復(fù)平面中,點(diǎn) A (2, 1), B (0, 2), C (-2, 1), O (0, 0).給出下面的結(jié)論：TTT T T TT直線OC與直線BA平行；AB +BC =CA ；OA + OC =OB ；AC =OB 2OA.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A

11、 . 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】k°C =11=-,2 -11- 一一kBA = = ,二 OC / AB ,正確;-220-22.鬲.云 ,錯(cuò)誤;. OA+OC=0,2=OB,.正確;晶-2#=頊,0,定=-4,0,.正確.應(yīng)選C.類型二、平面向量的加減及其線性運(yùn)算比2日如冬已梯形 ABCD中,AB/ CD ,且AB =2CD , M、 設(shè)AD = a, AB = &,試以a、b為基底表示 DC、BC、mN .N分別是CD、AB的中點(diǎn),【解析】連結(jié)ND ,那么1 1DC = AB = b; 22r i i 寸DC AB b= NB 22DC/ NB , D

12、C =NB一T 一 "I i,- BC = ND =AD AN =a b；2小-4 i r i4又 DM = DC = -b2 4一T 一 ： 一 i, TMN =DN - DM =CB - DM = b-a .4【總結(jié)升華】此題實(shí)質(zhì)上是平面向量根本定理的應(yīng)用,由于 AD , AB是兩個(gè)不共線的向量,那么 平面內(nèi)的所有向量都可以用它們表示出來此題的關(guān)鍵是充分利用幾何圖形中的線段的相等、平行關(guān)系,結(jié)合平行向量、相等向量的概念,向 量的線性運(yùn)算,變形求解.舉一反三：工一 口 、一T iT T【變式】在八ABC中,D是AB邊上一點(diǎn),假設(shè)AD =2DB , CD =-CA 十九CB,那么舄=

13、32【答案】-3T【解析】由圖知 CD=CA+AD CD =CB +BD , Z且 AD +2BD =0.+ x 2 得：3CD =CA+2CB, . CD =CA +2 CB , .九=3 33* 一 4【變式2】 ABC中,點(diǎn)D在AB上,CD平分ACB,假設(shè)CB = a , CA = b ,a. i a 2 b33【答案】BB.2日14 a b C.333 4-a b D.5543,a b55ABCD邊AD上一點(diǎn),且 淀=7D, 設(shè) XB = a , EC = * ,假設(shè)4【變式3】如圖,E為平行四邊形ir t t ,AF=AC, BF=kBE,求 k 的值.T T 1,時(shí)又,BF =kB

14、E =k(AE-AB) =k( b-a)4I T 一 、- k"而 BF = AF -a , AF = (1 - k)a + b4,-4由解礙k = 一 .5【變式4】假設(shè)O, E, F是不共線的任意三點(diǎn),那么以下各式中成立的是()T T T T T T T J T T T T【答案】B【變式5】O是 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),D為BC邊中點(diǎn),且2OA +OB +OC = 0,那么(A. EF =OF OEB. EF =OF -OE C. EF - -OF OED. EF - -OF - OEH-H =-H KA. AO = ODB . AO = 2ODC . AO = 3ODD . 2

15、AO = OD【答案】A【解析】由于 D為BC邊中點(diǎn),所以由平行四邊形法那么可知:又囂+OC2OA,T T所以 OD = -OA = AO例3.設(shè)兩個(gè)非零向量a,b不共線,T 4 T * 4 4 4(1)假設(shè) AB=a+b, BC = 2a+8b,CD= 3(a-b).求證：A , B , D 三點(diǎn)共線.(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka + b和a + kb共線.【解析】(1)證實(shí)：'；AB=a+b, BC = 2a+8b,CD= 3( a-b),二 BD =BC +CD = 2a + 8b+ 3(a -b) =5(a + b) =5AB ； 二 AB, BD 共線, 又/它們有公共點(diǎn)B,二

16、A , B , D三點(diǎn)共線.(2) * k a + b 和 a+ kb 共線,二存在實(shí)數(shù)九,使 k a+b = 7ja + k b),即(ka=(7*1)b,'；a,b是不共線的兩個(gè)非零向量,2.k " '-.k -1=0,. k -1=0.k=1.【總結(jié)升華】證實(shí)三點(diǎn)共線問題,可以用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向 量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得到三點(diǎn)共線向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時(shí),通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,要注意待定系數(shù)與方程思想的運(yùn)用【變式1】平面內(nèi)有一點(diǎn)P及一個(gè) ABC,那么B .點(diǎn)P在線段D .點(diǎn)P在

17、線段AB上AC上A.點(diǎn)P在 ABC外部C.點(diǎn)P在線段BC上【答案】Dr?黛京PA +PB +PC =AB , PA + PB +【解析】p?x=0,即由囂+依長=0,.靛故云+ b , CD = a-2b, A、A. k=1且c與d同向B. k=1且c與d反向C. k= 1且c與d同向D. k= 1且c與d反向=0 , 2pA=CP, 點(diǎn) P 在線段 AC 上.【變式2】假設(shè)a、b是兩個(gè)不共線的向量,#=2：+kb,BC 三點(diǎn)共線,求實(shí)數(shù)k的值.【答案】k = -7T4 T *【解析】AC=AB+BC=(2a+ kb)+(a+b)=3a+ (k+1)b , CD = a-2b,/ A,C,D三

18、點(diǎn)共線,二ZC,CD共線, T令A(yù)C =丸CD , A不為零,.3a + (k 1)b = M(a -2b) K.a -2 b, = 3 i 3,k = -7k 1 = 2,.【變式3】向量a、b不共線,c = ka + bkw R,d=a-b,如果c / d ,那么【答案】D【解析】 c / d且a、b不共線,.存在唯一實(shí)數(shù) A使c =,2, I ' 土 k =, k = -1 _ka + b = A (a - b)S ,應(yīng)選 D.1 = -,= -1【高清課堂：平面向量的概念與線性運(yùn)算401193例2】【變式4】向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6：,cD =72b,那么

19、一定共線的()(A) A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D) A、C、D【答案】A類型三、平面向量的根本定理、坐標(biāo)表示及綜合應(yīng)用例 4、(I) (2021 全國 I 高考)設(shè)向量 a=(x, x+1), M=(1 , 2),且 lb,那么 x=.( ) (2021 全國 II 高考)向量 a=(m,4), b=(3,-2),且"a / b,貝U m=.2【答案】(i) (n) -63【解析】(I)a=(x, x+i), b=(1, 2),由于 a_ib,所以 x+(x+1)2=0,出2即 3x+2=0,解得 x=3 .(n )由于 a / b,那么-2m=12,解得 m=-

20、6.,準(zhǔn)備掌握公式,靈活【總結(jié)升華】 考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平行垂直的坐標(biāo)表示是測試命題的主要方式之 運(yùn)用.舉一反三：【變式1】(2021春 拉薩期末)向量a =(1,2 ), b = (-1,4)4 4 11 4 時(shí)假設(shè)(ka +2b )LI(a 3b ),求 k 的值.假設(shè)(ka +2b )_L (a 3b ),求 k 的值.【解析】(1)?a=(1,2), b=(1,4),ka+2b =(k-2,2k+8 ), a-3b=(4,-10)ka 2ba-3b-10 k -2 -4 2k 8 =0解得：k=26(2)當(dāng)(ka +2b )_L(a -3b )時(shí), c c c114(k2)10(2k

21、+8)=0解得 k =-歹【變式2設(shè)向量a= (1, 2) , b= (2, 3).假設(shè)向量a + b與向量c= ( 4, 7)共線,那么入=,【答案】2【解析】赤a+b =(九+2,2丸+3) ,(Aa+b)/c,7(九+2)=頊(2兀+3)n 九=2.故填 2.【變式 3】如圖,在 ABC 中,AD ± AB , BC = JSBD , | AD | = 1 ,4那么AC AD =.炒岑c【答案】.3【解析】建系如下列圖：令 B(XB, 0), C (XC, Yc), D (0, 1),- BC =(xc -XB%),BD =(-xB,1), BC=、/3bD,Ixc -XB =

22、、-3(-xb)S L , yC = . 3ac=(i-73)xb,佝,jxc = (1 - 3)xb<L,1 yC = '、3AD = (0,1),貝U AC A =V3【變式4】 右 平面向量a、b滿足a十b =1,a +b平行于x軸,b= (2,1),那么a =【答案】(一1 , 1)或(一3, 1)【解析】設(shè) a =(x, y),那么：+b =(x+2, y-1),5 H20(yT)2=1"y.或懺1x = -1x = -3- a = ( 1, 1)或(一3, 1).【高清課堂：平面向量的概念與線性運(yùn)算 401193例3】【變式5】假設(shè)直線2x - y + c

23、= 0按向量a = (1,一1)平移后與圓x2 + y2 = 5相切,貝U c的值為()A . 8 或2 B . 6 或4 C . 4或6D. 2 或一8【答案】A例5. A, B, C是不共線三點(diǎn),點(diǎn) O是A, B, C確定平面內(nèi)一點(diǎn),假設(shè)|OA|2 +|OB |2 +|OC |2取最小 值時(shí),.是 ABC)A.重心 B .垂心 C .內(nèi)心 D .夕卜心【答案】A【解析】設(shè) O (x, y) , A (xi, yD, B (x2, y2), C (x3, v3那么 S =|OA|2 |OB |2 |OC |22 2 2 2 2 2= (xxi) (y yi)(xX2)(y y2) (x X3)(y y3)= 3x222222222(為x2x3)x為x2