二項式定理典型例題解析匯報

1、實用標準文案二項式定理 概念篇【例1】求二項式(a 2b)4的展開式.分析：直接利用二項式定理展開解：根據(jù)二項式定理得(a 2b)4=C 4 a4+C 4 a3( 2b)+C 4 a2( 2b)2+C 4 a(2b)3+C 4 ( 2b)4=a4 8a3b+24 a2b2 32ab3+16 b4.說明：運用二項式定理時要注意對號入座，本題易誤把2b中的符號“”忽略3【例2】展開（2x 二）5.2x分析一：直接用二項式定理展開式解法一：3013233(2x 2x2)5=C 5(2x)5+C5(2x)4(- 2x2)+C 5(2x)3(- 2x2)2+C5(2x)2(-3、3壽)3+434C5(2

2、x)(-麥 IM5(=32 x5 120 x2+1802)52x21354 +x243405710 .8x 32x文檔分析二：對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開解法二：(2x 2)5=空孕2x232 x10=以C5(4x3)5+C1(4x3)4(3)+C 5(4x3)3(3)2+C5(4x3)2(3)3+C4(4x3)(3)4+132xC；(3)5: (1024 x15 3840 x12+5760 x9 4320 x6+1620 x3 243)=32 x5 120 x2+ 型x135 405243+ x48x732x10 .說明：記準、記熟二項式（a+ b）n的展開式是解答好與二項式定理

3、有關問題的前提條件 對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便【例3】在（x、3 ）10的展開式中，x6的系數(shù)是 .解法一：根據(jù)二項式定理可知x6的系數(shù)是C：0.解法二：(X ,3)10 的展開式的通項是 Tr+1=C；0X10 - r( - .3)r.令10 r=6,即r=4,由通項公式可知含x6項為第5項，即T4+1=C 4oX6(-, 3)4=9C 4oX6.x6的系數(shù)為9Cfo.上面的解法一與解法二顯然不同，那么哪一個是正確的呢？問題要求的是求含X6這一項系數(shù)，而不是求含X6的二項式系數(shù)，所以應是解法二正確如果問題改為求含 X6的二項式系數(shù)，解法一就正確了，也即是 c4o.說明：要注意

4、區(qū)分二項式系數(shù)與指定某一項的系數(shù)的差異二項式系數(shù)與項的系數(shù)是兩個不同的概念，前者僅與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關，與二項 式無關，后者與二項式、二項式的指數(shù)及項數(shù)均有關【例4】已知二項式(3 X )10, 3x(1) 求其展開式第四項的二項式系數(shù)；(2) 求其展開式第四項的系數(shù);(3)求其第四項分析：直接用二項式定理展開式解: (3 .X )10 的展開式的通項是Tr+i=C ；0(3X)10 r( )r(r=0 , 1，10).3x3x(1)展開式的第4項的二項式系數(shù)為C；0=12O.展開式的第4項的系數(shù)為C1o37( 2 )3= 77760.展開式的第4項為77760( 、x )73，即7776

5、0 、x . X說明：注意把(3 -X )10寫成3 x+( ) 10，從而湊成二項式定理的形式3x3x1【例5】求二項式(X2+1)10的展開式中的常數(shù)項2jx1分析：展開式中第r+1項為C1o(x2)10 r()r,要使得它是常數(shù)項，必須使“x”的2Jx指數(shù)為零，依據(jù)是 X0 = 1 , X M0.解：設第r+1項為常數(shù)項，則5120 _r 15Tr+i=C ；o(x2)10 - r( 一)r=C；x2(_)r(r=0, 1，10)，令 20 r=0，得 r=8.2仮2245256第9項為常數(shù)項，其值為45256說明：二項式的展開式的某一項為常數(shù)項，就是這項不含“變元”，一般采用令通項Tr

6、+1 中的變元的指數(shù)為零的方法求得常數(shù)項【例6】(1)求(1+2 x)7展開式中系數(shù)最大項;(2)求(1 2x)7展開式中系數(shù)最大項.分析：利用展開式的通項公式,可得系數(shù)的表達式，列出相鄰兩項系數(shù)之間關系的不等式，進而求出其最大值解:(1)設第r+1項系數(shù)最大，則有r rC72C72rr 1 rC7 2C7 12r7!2r7!2r 1r !(7r)!(r1)!(7r1)!7!2r7!2r 116亍又0，-r=5.133 r !(7r)!(r1)!(7r1)!2 1, r化簡得r 8 r解得1 2 r 7 r r 1系數(shù)最大項為T6=C；25x5=672 x5.(2)解：展開式中共有 8項，系數(shù)

7、最大項必為正項，即在第一、三、五、七這四項中取得又因(1 2x)7括號內(nèi)的兩項中后兩項系數(shù)的絕對值大于前項系數(shù)的絕對值，故系數(shù)最大值必在中間或偏右，故只需比較C4( 2)4C3T5和T7兩項系數(shù)的大小即可.C7( 2)6 = 4C7 1，所以系數(shù)最大項為第五項，即T5=560 x4.說明：本例中(1)的解法是求系數(shù)最大項的一般解法，(2)的解法是通過對展開式多項分析，使解題過程得到簡化，比較簡潔【例7】(1+2 x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最 大的項和系數(shù)最大的項分析：根據(jù)已知條件可求出 n,再根據(jù)n的奇偶性確定二項式系數(shù)最大的項解：T6=C n(2x)5，T

8、7=C 6(2x)6，依題意有。注5/6，解得 n =8. (1+2 x)8 的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5=C * (2x)4=1120 x4.設第r+1項系數(shù)最大，則有C72rc7 12r 1C72r C712r 1.C.與bn的奇偶性相反D.與a有相同的奇偶性.5 r6. r=5 或 r=6.系數(shù)最大的項為 T6=1792 x5, T7=1792 x6.說明：(1)求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負變化情況，一般采用列不等

9、式，再解不等式的方法求得 應用篇【例 8 】若 n N , (+1) n= - 2 an+ bn(an、bn Z)，則 bn 的值()B. 一定是偶數(shù)A. 一定是奇數(shù)分析一：形如二項式定理可以展開后考查.解法一：由(-2+1) n= -2an+ bn，知 .2 an+ bn=(1 +2 )n=C n+C ； .2+C n( -2)2+C 3.2)3+ +cn(、2)n. bn=1+C 2r-2)2+C 4( 2 )4+ bn為奇數(shù).答案：A分析二：選擇題的答案是唯一的，因此可以用特殊值法解法二：n N*，取 n=1 時，(-.2+1) 1=( ,2+1)，有 bi=1 為奇數(shù)取 n=2 時，(

10、.2+1) 2=2 . 2 +5，有 b2=5 為奇數(shù)答案：A【例9】若將(x+ y+ z)10展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為()A.11B.33C.55D.66分析：(x+y+z)10看作二項式(x y) z10展開解：我們把x+y+z看成(x+y)+z,按二項式將其展開，共有11 “項”，即(x+y+z)10 =10(x y) z10=Ck(x+y)10 - kzk.k 0這時，由于“和”中各項z的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式(x+y) 10 k展開，不同的乘積Ck(x+y)10-kzk(k=0 , 1，10)展開后，都不會出現(xiàn)同類項下面，再分別考慮每一個乘積Ck(x + y

11、)10-kzk(k=0 , 1，10).其中每一個乘積展開后的項數(shù)由(x+y)10-k決定，而且各項中 x和y的指數(shù)都不相同，也不會出現(xiàn)同類項故原式展開后的總項數(shù)為11+10+9+ +1=66.答案：D說明：化三項式為二項式是解決三項式問題的常用方法1【例10】求(I x | + 2)3展開式中的常數(shù)項|x|分析：把原式變形為二項式定理標準形狀1；1解： ( | x I + 2)3=( ,|x|)6,|x|V|x|展開式的通項是 Tr+1 =C 6/|x|)6 r( -X )r=( 1)匸6(寸兩)6 2r.v|x|若Tr+1為常數(shù)項，則6 2r=0 , r=3.展開式的第4項為常數(shù)項，即 T

12、4= c3= 20.說明：對某些不是二項式，但又可化為二項式的題目，可先化為二項式，再求解 【例11】求( .x 3x)9展開式中的有理項分析：展開式中的有理項，就是通項公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項.1127 r解： Tr+1=c9(x2)9 r( x3)r=( 1)rc9x27 r3 r令 Z,即卩 4+ Z,且 r=0 , 1 , 2，9.6 6-r=3 或 r=9.27 r3當 r=3 時，=4 , T4=( 1)3c9x4= 84 x4.627 r當 r=9 時， =3 , T10=( 1)9c9x3= x3.6x 3 x )9的展開式中的有理項是第4項一84 x4，第10項一x3.說明：

13、利用二項展開式的通項Tr+1可求展開式中某些特定項.【例 12 】若(3x 1)7= a7X7+a6X6+ +a1x+ao,求(1) a1+ a2+ a7；(2) a1+ a3+ a5+ a7 ；(3) ao+ a2+ a4+ a6.分析：所求結果與各項系數(shù)有關可以考慮用“特殊值”法，整體解決.解：(1)令 x=0 ,則 ao= 1，令 x=1 ,則 a7+a6+ + a1+ ao=2 7=128.81+ a2+ + a7=129.(2)令 x= 1，貝U a7+ a6+ a5+ a4+ a3+ a2+ a1+ ao=( 4)7.由(1) 得：a1+a3+a5+a7= * : 128 ( 4)

14、7: =8256. 由(1) 得 ao+ a2+a4+a6= - : 128+( 4)7: = 8128.2 2說明：(1)本解法根據(jù)問題恒等式特點來用“特殊值”法，這是一種重要的方法，它用 于恒等式.一般地，對于多項式g(x)=( px+q)n= ao+aix+a2X2+a3X3+a4X4 + a5X5+a6X6+a7X7， g(X)各項的系數(shù)和為g(1)，g (x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為 一 g(1)+ g( 1):, g(X)的偶數(shù)項的系21 數(shù)和為g(1) g( 1):.2【例13】證明下列各式(1) 1+2C n +4C n + +2 n 1cn 1+2 nCn=3 n；(2) (C 0

15、 )2 + (C ；)2+ +(c n)2=C；(3) C 1 +2C n +3C n + + nC； = n2n 1.分析：(1)(2)與二項式定理的形式有相同之處可以用二項式定理，形如數(shù)列求和，因此 可以研究它的通項尋求規(guī)律證明：(1)在二項展開式(a+b)n=C nan+C ；an 1b+C 2an2b2+ +C；1abn- 1+C ；bn中，令 a=1 , b=2，得(1+2) n=1+2C 1+4C 2 + +2 n 1C； 1+2 nC；，即 1+2C n+4C n+ +2 n 1Cn 1+2 nCn =3 n.(2)(1+ x)n(1+ x)n=(1+ x)2n,12cr12cr

16、(1+C n x+C n x2+C n xr+ xn)(1+Cn x+C nx2+C n xr+ xn)=(1+ x)2n.而C2n是(1+ X)2n的展開式中Xn的系數(shù)，由多項式的恒等定理，得c0c；+cnCn1 +C1+C n C 0 =Cn2nCm=C n m , 0m n, c)2+(c n)2+ +(c n)2=c 2n.證法一：令 S=C n +2C 2+3C 3+ +nC；12n 1n令 S=C n +2C n + +( n 1)C n + nC n=ncn+(n 1)cn 1+ +2C 半+C ；n1n 2 n 1= nCn+(n 1)Cn+ +2C n +Cnn、+C n)由

17、 + 得 2S= ncn + nC2 + nC+ + nC；= n(C+C n+C n+C 3 + =n (cn +c; +c n+c n+ +c n)=佰.s= n2n 1,即卩 Cn+2C n+3C 3 + + nC； = n2n 1.證法二：觀察通項：kcn=kn n一 n丄1 k!(n k)! (k 1) !(n k)!原式=nC0 i+nC； | + nC2 0時，把三項式(x+ 2)n轉(zhuǎn)化為(.X )2n ;當x v 0時,XJx同理(x+丄一2)n=( 1)n(、x 1 )2n.然后寫出通項，令含 x的幕指數(shù)為零，進而解出n.x 0 時，(x+ 2) n=( . x 一 )2n

18、,xJx1 _其通項為 Tr+1 =C 2nr.x)2n r(一 )r=( 1)rC2nL-x)2n 2r.Jx令2n 2r=0，得n=r,.展開式的常數(shù)項為(1)rC；n ;當x v 0時，(x+ - 2)n=( 1)n(.X 1 )2n .同理可得，展開式的常數(shù)項為(一1)rC2n. xJx無論哪一種情況，常數(shù)項均為(一1)rC2n.n=3.令(1)rC2n =20.以n=1 , 2 , 3，逐個代入，得說明：本題易忽略 xv0的情況.【例19】利用二項式定理證明 U )n-1 v厶.2分析：不易從二項展開式中得到，可以考慮其倒數(shù)n 1證明：欲證(2 )n 13n 12-成立.2而(3 )

19、n1=(1 +2n 1=1+ +C2n 1 .2v 成立，只需證(3)n 1v -n 121(-)2+ +c n12bn- 1=c 021 21( )2+ 21 1 21 +C n 1 - +C n2+c n ；d)n -121(_)n-123說明：本題目勺證明過程中將(-)n-1轉(zhuǎn)化為(1+ g)n -21 ,然后利用二項式定理展開式是3 n 1解決本問題的關鍵.1【例 20 】求證：2 2.1 證明：當 n=1 時，(1+)n=2.n1(1+)n=1+Cn當n 2時,1+Cn冷+1+c n ( )n=1+1+cn2+ +c n(-)nnn1 又cn(戶n1所以(1+ _)n 2bn.分析：

20、題中雖未出現(xiàn)二項式定理的形式，但可以根據(jù) a、 b、 c 成等差數(shù)列創(chuàng)造條件使 用二項式定理 .證明：設公差為 d，則a= b d, c=b + d.an+cn2bn=(bd)n+(b+d)n2bn=:bn C；bn- 1d+C 2 bn 2d2+ +( 1)ndn: + : bn+C ； bn- 1d+C n bn 2d2+ +dn=2(C 2bn 2d2+C bn 4d4)0.說明：由a、b、c成等差，公差為 d，可得a=b d, c=b + d，這就給利用二項式定 理證明此問題創(chuàng)造了可能性 .問題即變?yōu)?(b d )n +( b + d )n 2b n ，然后用作差法改證 (b d)n+

21、(b+d)n2bn0.【例23】求(1+2 x 3x2)6的展開式中x5項的系數(shù).分析：先將 1+2 x 3x2 分解因式，把三項式化為兩個二項式的積，即(1+2 x3x2)6=(1+3 x)6(1 x)6.然后分別寫出兩個二項式展開式的通項，研究乘積項x5的系數(shù)，問題可得到解決.解：原式=(1+3 x)6(1 x)6，其中(1+3 x)6展開式之通項為 Tk+i =C k3kxk, (1 x)6展開 式之通項為 Tr+1 =C r6 ( x)r.原式=(1+3 x)6(1 x)6展開式的通項為 C：C6( 1)r3kxk+r.現(xiàn)要使 k+r=5，又Tk 0, 1 , 2, 3 , 4 , 5

22、 , 6, r 0, 1 , 2, 3, 4 , 5 , 6,k0,亠 k1,十 k2,十k 3,十k4,十k5,必須或或或或或r5 r4 r3r 2r1r0.故x5 項系數(shù)為C00 30C5 (- 1)5+C 631C4 ( -1)4+C 632C 6 ( - 1)3+C 3 33C2 (-1)4+C634c6(- 1)+C；35c6(- 1)0=- 168.說明：根據(jù)不同的結構特征靈活運用二項式定理是本題的關鍵一 1【例24】(2004年全國必修+選修1)( .X - -)6展開式中的常數(shù)項為()XA.15B. - 15C.20D203l3 _r3解析：Tr+1 =( - 1)rc6( . x )6-rx-r=( - 1)rc6x 2，當 r=2 時，3- r=0 , T3=(-21)2C2=15.答案：A【例25】(2004年江蘇)(2x+ . x)4的展開式中x3的系數(shù)是()A.6B.12C.24D.482