壽險(xiǎn)中的破產(chǎn)理論及應(yīng)用

1、壽險(xiǎn)中的破產(chǎn)理論及應(yīng)用在我國(guó)保險(xiǎn)公司的運(yùn)作中，保費(fèi)收入是主要收入，理陪是主要 風(fēng)險(xiǎn)因素， 為了保障保險(xiǎn)公司的正常運(yùn)作， 保險(xiǎn)公司必須充分考慮所 面臨的風(fēng)險(xiǎn)，而破產(chǎn)理論的研究主要針對(duì)保險(xiǎn)公司如何估計(jì)所面臨的 風(fēng)險(xiǎn)，它主要研究在較長(zhǎng)時(shí)間上保險(xiǎn)公司發(fā)生盈余或破產(chǎn)的概率， 以 前我們所研究的破產(chǎn)理論主要是針對(duì)非壽險(xiǎn)進(jìn)行研究， 并且主要考慮 在理賠次數(shù) N(t) 為泊松過程，理賠額 S(t) 為復(fù)合泊松過程情況下的 盈余過程，在非壽險(xiǎn)研究中得到一個(gè) Lundberg 不等式，這個(gè)破產(chǎn)概 率上界為保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)分析提供了有力工具。本文利用(文獻(xiàn) 1 )風(fēng)險(xiǎn)理論，考慮在壽險(xiǎn)中破產(chǎn)理論的研究， 得到壽險(xiǎn)破產(chǎn)模

2、型， 設(shè)計(jì)了求解壽險(xiǎn)中的破產(chǎn)概率的一種算法， 并得 到壽險(xiǎn)破產(chǎn)概率的一個(gè)上界。二、單一年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型 設(shè)壽險(xiǎn)中，剛投保時(shí)( t=0 時(shí)刻)，年齡均為 x 的被保險(xiǎn)人有 n,1 個(gè)，每個(gè)被保險(xiǎn)人的死亡概率遵循相同的生命表，初始準(zhǔn)備金 為 u,1 ，并且設(shè)n,k ：第 k 年年初時(shí)的被保險(xiǎn)人數(shù)c ：被保險(xiǎn)人每年所交的保險(xiǎn)費(fèi)d,k ：第 k 年內(nèi) (k,k+1) 被保險(xiǎn)人死亡的人數(shù) (1)q,x ；被保險(xiǎn)人在 (x,x+1) 死亡的人數(shù)的概率b ：每個(gè)被保險(xiǎn)人死亡時(shí)，保險(xiǎn)人要支付的保險(xiǎn)金由此假定我們知：t=0 時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總數(shù) n,1,n,k=n,k+1+d,k 。定義1對(duì)任意t >0

3、,設(shè)c>0為單位時(shí)間內(nèi)的保費(fèi)收入率，s(t) 為到時(shí)刻 t 保險(xiǎn)公司支付的理賠總額， u(0)=u 為時(shí)刻 0時(shí)的初始準(zhǔn) 備金,則u(t)=u+ct-s(t) (2)稱為時(shí)刻 t 時(shí)的盈余由(2) 可見：這里的盈余并沒有考慮除了保費(fèi)和理賠以外的影響 盈余的因素,如附加費(fèi)和保單持有人的分紅等,顯然,這種盈余并不 是財(cái)務(wù)意義上的盈余，只是為了數(shù)學(xué)上處理方便而已當(dāng)盈余在某一 時(shí)刻為負(fù)時(shí),我們稱“破產(chǎn)”發(fā)生,既然此處盈余并不是財(cái)務(wù)意義上 的盈余, 則此時(shí)破產(chǎn)就不等價(jià)于保險(xiǎn)公司真的破產(chǎn), 但破產(chǎn)是衡量保 險(xiǎn)公司金融風(fēng)險(xiǎn)的極其重要的尺度。 我們僅定義時(shí)間不連續(xù)時(shí)的破產(chǎn) 概率定義 2 稱,t(u,n)

4、二Pru(t) v 0/ u( t ) >0,對(duì)某 t , t=1,2,t-1 ，為給定u,n時(shí)，第t年首次出現(xiàn)破產(chǎn)的概率。設(shè)u,k表示第k年年初的準(zhǔn)備金，且此時(shí)尚未收取第 k年的 保險(xiǎn)費(fèi), v,k 表示第 k 年年末的準(zhǔn)備金,且此時(shí)尚未支付第 k 年年 末的保險(xiǎn)金, i 是常數(shù)利率,則v,k=(u,k+n,kc)(1+i) u,k+1=v,k-bd,k定理 1 壽險(xiǎn)中，設(shè)初始準(zhǔn)備金為 u,1,t=0 時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總數(shù)n,1，且，c,q,x,b 滿足(1)的假設(shè)條件，則保險(xiǎn)人在第t年末 的破產(chǎn)概率附圖證明：被保險(xiǎn)人在第一年末， 可能發(fā)生死亡也可能不發(fā)生死亡， 當(dāng)死亡時(shí)，保險(xiǎn)人由于支付保

5、險(xiǎn)金，可能導(dǎo)致破產(chǎn)發(fā)生，也可能不發(fā) 生破產(chǎn)，我們考慮臨界狀態(tài)： 即第 1 年年初所收保費(fèi)與初始準(zhǔn)備金之 和等于第一年年末支付的保險(xiǎn)金。 bd,1=(u,1+n,1c)(1+i) ，即附圖對(duì)給定的 n,1 ，在第 1 年內(nèi)死亡人數(shù)的概率分布服從參數(shù)為 (n,1,q,x) 的二項(xiàng)分布，由此我們推得：附圖注：定理 1 給出求解破產(chǎn)概率的公式，實(shí)際上我們可以利用迭 代法求解保險(xiǎn)期內(nèi)任意年的破產(chǎn)概率。實(shí)際上，壽險(xiǎn)保險(xiǎn)人數(shù)相當(dāng)大，而且被保險(xiǎn)人死亡的概率非常 小，存活過保險(xiǎn)期的人數(shù)也相當(dāng)大。我們知道二項(xiàng)分布中當(dāng) n,1 充 分大， q,x 充分小時(shí)，由概率論中泊松定理知，泊松分布可更好逼 近二項(xiàng)分布，記入,1=n,1q,x，由泊松定理及定理1可得：推論 1 壽險(xiǎn)中，設(shè)初始準(zhǔn)備金為 u,1,t=0 時(shí)刻被保險(xiǎn)人的總 數(shù)n,1，且c,d,k,q,x,b 滿足(1)的假設(shè)條件，則保險(xiǎn)人在第t