線性代數(shù)秩和逆

1、一、 矩陣的秩定義1在一個mxn矩陣A中，任意選定k行和k列（k蘭minm, n）,位于這些選定的行和列的交點上的 k2個元素按原來的次序所組成的 k k矩陣的行 列式，稱為A的一個k階子式。例1在矩陣"131、0 214A =0 005衛(wèi) 00 0;中，選第1,3行和第3,4列，它們交點上的元素所成的2階行列式3 1=150 5就是一個2階子式。又如選第1,2,3行和第1,2,4列，相應(yīng)的3階子式就是1 1 1024 =10.0 0 5定義2非零矩陣的不為零的子式的最高階數(shù)稱為該矩陣的秩，零矩陣的秩 規(guī)定為0。矩陣A的秩記為rank A。例2證明：矩陣A與其轉(zhuǎn)置矩陣A有相同的秩。例

2、3證明：階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù)。證 設(shè)A是一個階梯形矩陣，不為零的行數(shù)是 r。選取這r個非零行以及各 非零行第一個非零元素所在的列，由這些行和列交點上的元素所成的r階子式是 一個上三角行列式，并且主對角線上的元素都不為零，因此它不等于零。而A的 所有階數(shù)大于r的子式都至少有一行的元素全為零，因而子式為零。所以r a n A = r。由于矩陣的子式的階數(shù)不超過矩陣的行數(shù)及列數(shù)，所以m n矩陣A的秩rank A乞min m,n 。而如果rank A二m，就稱A是行滿秩的；如果rank A二n， 就稱A是列滿秩的。此外，如果 A的所有r 1階子式全為零，由行列式的定義 可知，A的r 2階

3、子式也一定為零，從而 A的所有階數(shù)大于r的子式全都為零。 因此秩有下面等價的定義：定理1 m n矩陣A的秩為r充分必要條件是：在A中存在一個r階子式不為零，且在rank A : min m, n時，矩陣A的所有r 1子階式都為零。定理2初等變換不改變矩陣的秩。換句話說，等價的矩陣具有相同的秩。證 設(shè)Am n經(jīng)初等行變換變?yōu)?Bmn，且ranA = r1, r a nB二r2。當(dāng)對A施 以交換兩行或以某非零數(shù)乘某一行的變換時，矩陣 B中的任何r1 1階子式等于 某非零數(shù)c與A的某個ri 1階子式的乘積，其中c=：T或其他非零數(shù)。因為A的 任何r11階子式皆為零，故B的任何r11階子式也都為零。當(dāng)

4、對A施以第i行的k倍加到第j行的變換時，矩陣B的任何一個r1 1階子 式|BJ，若它不含B的第j行或既含第j行又含第i行，則它等于A的一個*十1階 子式；若冋|含B的第j行但不含第i 行,則B1 =|州+k A?，其中|鯨悶是A的 兩個r1 1階子式，由A的任何r1 1階子式均為零，知B的任何幾 1階子式也全 為零。根據(jù)以上分析，若對A施以一次初等行變換得到B，則r2 ： r1 1，即r2 _ *。 由于B可經(jīng)一次適當(dāng)?shù)男凶儞Q變回 A，同樣地就有r,乞r2。所以r r2。顯然，上述結(jié)論對列變換也成立?，F(xiàn)在我們來看一下，怎樣計算一個矩陣的秩。因為初等變換不改變矩陣的秩， 而階梯形矩陣的秩就等于它

5、的非零行的個數(shù)。所以，為了計算一個矩陣的秩， 只要用初等變換把它變成階梯形（根據(jù)第一節(jié)定理1,僅用行的初等變換就可以 做到），這個階梯形矩陣中非零行的個數(shù)就是原來矩陣的秩。例4設(shè)136-2-43-164、-1A =2015-3<32050丿求矩陣A的秩，并求A的一個最高階非零子式 解 對A作初等行變換，使之變成階梯形:q6-4-14、16-4-14、r20-431-10-431-1AtT2015-34 -3<10-1297-11<32050<016128-12;6-4-14、6-4-14、3-320-431-14丄0-431-14-420004-80004-800480

6、00°因為上式右端階梯形矩陣的非零行數(shù)是 3，所以rank A = 3。再求A的一個最高階非零子式。由rank A =3知，A的最高階非零子式是3 階的，A的3階子式共有C：C； =40個,要從中找出一個非零子式是比較麻煩的。如果B是矩陣A僅用行的初等變換變成的階梯形矩陣，用B的各非零行第一 個非零元素所在的列按在 B中的次序構(gòu)成矩陣B1，把A中相應(yīng)列按在A中的次 序構(gòu)成的矩陣記作A,。那么Bi也是階梯形的，它的非零行個數(shù)與 B的相同，并 且就等于B,的列數(shù)。因此，Bi是一個與B有相同秩的列滿秩矩陣。同時，用那 些將A變成B的行變換可將A變成Bi，這說明A是與A有相同秩的列滿秩矩陣。

7、 考慮到A是由A的某些列按在A中的次序構(gòu)成的矩陣，A的子式必是A的子式， A的最高階非零子式必是A的最高階非零子式。在本例中，卩6-4-14、卩6-T卩6-1、0-431-10-413-26B =，B1 =A1 =lt;00000丿<000丿<325丿A的三階子式只有C：二4 個,其中必有不為零的，如子式1 6 -13-26 =-32205就不為零，那么它也是A的一個最高階非零子式。 例5設(shè)Z1 -1 1 2、A= 3 人-12<53 卩6已知rank A 1=2，求與丄的值2亠-112、C2 C4<12 1 1 '解 At0九十3-

8、4-4T0-4-4 扎+3r3 -5r18卩-5-4>-44-58 ;q 21-13上T0-4-4Z + 3e o4 -15 °因 rank(A )=2，故卩1 =0,5 -人=0，從而卩=1,九=5。例6證明：矩陣添加一列（或一行），則秩或不變，或增加1。證 設(shè)矩陣A =匕耳逑的秩為r。在A中任意添加一列B =也,b2，,bm f , 通過一些列的交換，總可以使所得矩陣變成 A= A,B，而秩不變。因此我們只 需研究A的秩與A的秩之間的關(guān)系。用初等行變換將 A化成階梯形矩陣 A，相應(yīng)地，A的子矩陣A也化成了 A = Ai,Bi的m n階子矩陣A，并且Ai也是階梯形的，其非零行

9、都在矩陣的上 部。因為rank A二r，所以A恰好有r個非零行。這樣，A的前r行也都是非零 行。如果A只有這r個非零行，則rank A = r。要不然，A的第r 1行也是非零 行。這時，因為A只有r個非零行，所以A的第r 1行的前n個元素必定都是零， 只有最后那個元素不為零，由于A|是階梯形矩陣，A的第r 1行之后的各行（如果還有的話）必定都是零行，因此，ran k（A）=r+1。這就證明了添加一列的情形，類似地可證明添加行的情形定理2還說明，在m n矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形Er0r,nm £r中，r二rank A。從而，n階方陣A非退化的充分必要條件是n二rank A 。逆方陣定義3對于方陣

10、A，如果存在同階方陣 B，使得AB = BA 二 E則稱A可逆，B就稱為A逆矩陣，記為 A。若方陣A可逆，那么A的逆矩陣是唯一的。事實上，如果A還有一個逆矩陣C，則由定義AC二CA二E，所以C 二 EC 二 AAC 二 A，AC 二 AE 二 A，F(xiàn)面要解決的問題是：在什么條件下方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求AJ ？定義4設(shè)Aj是方陣aiiai2ai na2ia22a2na nian2ann J中元素aj的代數(shù)余子式，矩陣AiiA2iAniAi2A22An2AinA2 nAnn稱為A的伴隨矩陣。由行列式的定義和性質(zhì)立即得出如果A = 0，那么Aa =aAA= E(ii 3 i)定理 矩陣A

11、可逆的充分必要條件是 A非退化，而證明當(dāng) AO，由(ii 3 i)可知,A可逆，且A4_ i=A反過來，如果A可逆，那么有A*，使AA = E，兩邊取行列式，得 a| A j = E|因而A =0,即卩A非退化。逆方陣適合以下規(guī)律：AJ =Aat < atAB=B *丄 1 jkA A ,k=0 kA二其中A, B都是可逆方陣，k是不為零的常數(shù)。推論 對于同階方陣 代B，如果AB = E，那么代B都是可逆的并且它們互為逆矩陣。證 B =EB 二 AAB 二 A AB 二 AE 二 A不難看出，初等矩陣都是可逆的，它們的逆矩陣還是初等矩陣。事實上Pi,j =P i,j ,Pi k '

12、;二 Pi k,Pi, j k '二 Pi,j k 。定理 n階方陣A可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積：定理兩個矩陣乘積的秩不超過每個因子的秩。特別地，當(dāng)有一個因子是可逆矩陣時， 乘積的秩等于另一因子的秩。證 設(shè)A是一個丨m矩陣，B是一個m n矩陣，并且rank A二r。由第一節(jié)定理2, 可以用初等變換將 A化為fEr 0、 A =。<0 0丿換句話說，存在I階初等矩陣P,，Ps和m階初等矩陣Ps1 / ,Pt，使PPsAPs卅P = A，于是RRAB = RRAR十RPPsB = APPsB = ABi，這里Bi =R4Ps；B。顯然，A Bi除了前r行外，其余各 行的元素 都是零，所以rank A