2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修第一冊(cè)學(xué)案：1.2 集合間的基本關(guān)系 Word版含解析

1、1.2集合間的基本關(guān)系【素養(yǎng)目標(biāo)】1理解集合之間包含和相等的含義，并會(huì)用符號(hào)和venn圖表示(直觀想象)2會(huì)識(shí)別給定集合的真子集，會(huì)判斷給定集合間的關(guān)系，并會(huì)用符號(hào)和venn圖表示(直觀想象)3在具體情境中理解空集的含義(數(shù)學(xué)抽象)【學(xué)法解讀】1在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要以義務(wù)教育階段學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，依據(jù)老師創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，理解子集、真子集、集合相等、空集等概念2要注意集合之間關(guān)系的幾種表述方法：自然語言、符合語言、圖形語言，應(yīng)理解并掌握以上方法的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用必備知識(shí)探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1子集、真子集的概念1子集的概念定義一般地，對(duì)于兩個(gè)集合a，b，如果集合a中_任意一個(gè)_元素都是集合b中的

2、元素，就稱集合a為集合b的子集記法與讀法記作_ab_(或_ba_)，讀作“a包含于b”(或“b包含a”)圖示或結(jié)論(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即aa(2)對(duì)于集合a，b，c，若ab，且bc，則ac2.真子集的概念定義如果集合ab，但存在元素_xb_，且_xa_，就稱集合a是集合b的真子集記法記作ab(或ba)圖示結(jié)論(1)ab，bc，則ac(2)ab且ab，則ab思考1：(1)任意兩個(gè)集合之間是否有包含關(guān)系？(2)符合“”與“”有什么區(qū)別？提示：(1)不一定，如集合a1,3，b2,3，這兩個(gè)集合就沒有包含關(guān)系(2)“”是表示元素與集合之間的關(guān)系，比如1n，1n.“”是表示集合與集合之間的

3、關(guān)系，比如nr，1,2,33,2,1“”的左邊是元素，右邊是集合，則“”的兩邊均為集合知識(shí)點(diǎn)2集合相等自然語言如果集合a的任何一個(gè)元素都是集合b的元素，同時(shí)集合b的任何一個(gè)元素，都是集合a的元素，那么集合a與集合b相等，記作ab符號(hào)語言ab且baab圖形語言思考2：怎樣證明或判斷兩個(gè)集合相等？提示：(1)若ab且ba，則ab，這就給出了證明兩個(gè)集合相等的方法，即欲證ab，只需證ab與ba均成立(2)判斷兩個(gè)集合相等，可把握兩個(gè)原則：設(shè)兩集合a，b均為有限集，若兩集合的元素個(gè)數(shù)相同，對(duì)應(yīng)元素分別相同，則兩集合相等，即ab；設(shè)兩集合a，b均是無限集，只需看兩集合的代表元素滿足的條件是否一致，若一致

4、，則兩集合相等，即ab知識(shí)點(diǎn)3空集定義不含任何元素的集合叫做空集記法規(guī)定空集是任何集合的子集，即a特性(1)空集只有一個(gè)子集，即它的本身，(2)a，則a思考3：，0，0與之間有怎樣的關(guān)系？提示：與0與0與相同點(diǎn)都表示無的意思都是集合都是集合不同點(diǎn)是集合；0是實(shí)數(shù)不含任何元素；0含一個(gè)元素0不含任何元素；含一個(gè)元素，該元素是關(guān)系00或知識(shí)點(diǎn)4venn圖在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常用平面上_封閉曲線_的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為venn圖，這種表示集合的方法叫做圖示法注意：1.用venn圖可以直觀、形象地表示出集合之間的關(guān)系abbaab2venn圖適用于元素個(gè)數(shù)較少的集合思考4：venn圖的優(yōu)點(diǎn)是什么？提示：形象

5、直觀基礎(chǔ)自測(cè)1已知集合m1，n1,2,3，則有(d)amnbmncnmdmn解析11,2,3，11,2,3故選d2下列四個(gè)集合中，是空集的為(b)a0bx|x8，且x4解析x8，且x5的數(shù)x不存在，選項(xiàng)b中的集合不含有任何元素，故選b3用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：(1)a_a，b，c；(2)0_x|x20；(3)_xr|x210；(4)0,1_n；(5)0_x|x2x；(6)2,1_x|x23x204寫出集合a，b，c的所有子集解析，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c5判斷下列兩個(gè)集合之間的關(guān)系：(1)ax|x0，bx|x1；(2)ax|x3k，kn，bx|x6z，zn；(3)axn|x是4

6、與10的公倍數(shù)，bx|x20m，mn解析(1)ab(2)ab(3)ab關(guān)鍵能力攻重難題型探究題型一集合間關(guān)系的判斷例1 (2020石家莊高一教學(xué)質(zhì)檢)指出下列各組集合之間的關(guān)系：(1)ax|1x5，bx|0x0，b(x，y)|x0，y0或x0，y0得x0，y0或x0，y0，y0或x0，y0，從而ab方法二集合a中的元素是平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，集合b中的元素也是平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，從而ab(5)對(duì)于任意xa，有x1a2(a2)24(a2)5.an，a2n，xb由子集的定義知，ab，設(shè)1b，此時(shí)a24a51，解得a2，an1a21在an時(shí)無解，1a

7、綜上所述，ab歸納提升判斷集合間關(guān)系的常用方法(1)列舉觀察法當(dāng)集合中元素較少時(shí)，可列出集合中的全部元素，通過定義得出集合之間的關(guān)系(2)集合元素特征法首先確定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系一般地，設(shè)ax|p(x)，bx|q(x)，若由p(x)可推出q(x)，則ab；若由q(x)可推出p(x)，則ba；若p(x)，q(x)可互相推出，則ab；若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，則集合a，b無包含關(guān)系(3)數(shù)形結(jié)合法利用venn圖、數(shù)軸等直觀地判斷集合間的關(guān)系一般地，判斷不等式的解集之間的關(guān)系，適合畫出數(shù)軸【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】 (2020四川廣

8、元外國(guó)語高一段考)下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是(d)0；0；0；00；00；11,2,3；1,21,2,3；a，bb，aa1b2c3d4解析表示空集，沒有元素，0有一個(gè)元素，則0，故錯(cuò)誤；空集是任何集合的子集，故正確；和0都表示集合，故錯(cuò)誤；0表示元素，0表示集合，故錯(cuò)誤；00，故正確；1，1,2,3都表示集合，故錯(cuò)誤；1,2中的元素都是1,2,3中的元素，故正確；由于集合的元素具有無序性，故a，bb，a，故正確綜上，正確的個(gè)數(shù)是4個(gè)題型二確定集合的子集、真子集例2 設(shè)ax|(x216)(x25x4)0，寫出集合a的子集，并指出其中哪些是它的真子集分析解析由(x216)(x25x4)0，得(x4)

9、(x1)(x4)20，則方程的根為x4或x1或x4.故集合a4，1,4，由0個(gè)元素構(gòu)成的子集為：.由1個(gè)元素構(gòu)成的子集為：4，1，4由2個(gè)元素構(gòu)成的子集為：4，1，4,4，1,4由3個(gè)元素構(gòu)成的子集為：4，1,4因此集合a的子集為：，4，1，4，4，1，4,4，1,4，4，1,4真子集為：，4，1，4，4，1，4,4，1,4歸納提升(1)若集合a中有n(nn)個(gè)元素，則集合a有2n個(gè)子集，有(2n1)個(gè)真子集，有(2n1)個(gè)非空子集，有(2n2)個(gè)非空真子集(2)寫出一個(gè)集合的所有子集時(shí)，首先要注意兩個(gè)特殊的子集：和自身其次，依次按含有1個(gè)元素的子集，含有2個(gè)元素的子集，含有3個(gè)元素的子集一一

10、寫出，保證不重不漏【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】 滿足a，baa，b，c，d，e的集合a的個(gè)數(shù)是(c)a2b6c7d8解析由題意知，集合a可以為a，b，a，b，c，a，b，d，a，b，e，a，b，c，d，a，b，c，e，a，b，d，e題型三由集合間的關(guān)系求參數(shù)范圍問題例3 已知集合ax|3x4，bx|2m1xm1，且ba求實(shí)數(shù)m的取值范圍分析借助數(shù)軸分析，注意b是否為空集解析(1)因?yàn)閎a，當(dāng)b時(shí)，m12m1，解得m2.(2)當(dāng)b時(shí)，有解得1m2，綜上得m1.歸納提升(1)分析集合間的關(guān)系時(shí)，首先要分析、簡(jiǎn)化每個(gè)集合(2)借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)

11、確無誤，一般含“”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“”用空心點(diǎn)表示此類問題要注意對(duì)空集的討論【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】 (1)已知集合a1,3,2m1，集合b3，m2，若ba，則實(shí)數(shù)m_1_；(2)已知集合ax|x4，bx|2axa3，若ba，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)因?yàn)閎a，所以m22m1，即(m1)20，所以m1.當(dāng)m1時(shí)，a1,3,1，b3,1，滿足ba，故m1.(2)當(dāng)b時(shí)，只需2aa3，即a3；當(dāng)b時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或，解得a4或2a3.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a2.誤區(qū)警示忽視“空集”的存在例4 已知集合a1,1，bx|ax10，若ba，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合為(d)a1b1c

12、1,1d1,0,1錯(cuò)解因?yàn)閎a，而bx|x，因此有a，所以a1，故選c錯(cuò)因分析空集是一個(gè)特殊而重要的集合，它不含任何元素，記為.在解隱含有空集參與的集合問題時(shí)，極易忽視空集的特殊性而導(dǎo)致錯(cuò)解本例求解過程中有兩處錯(cuò)誤，一是方程ax1的解不能寫成x，二是忽視了ba時(shí)，b可以為空集事實(shí)上a0時(shí)，方程無解正解因?yàn)閎a，所以當(dāng)b，即a0時(shí)，bx|x，因此有a，所以a1；當(dāng)b，即a0時(shí)滿足條件綜上可得實(shí)數(shù)a的所有可能取值的集合是1,0,1故選d方法點(diǎn)撥已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要根據(jù)集合間的關(guān)系來確定元素之間的關(guān)系，需關(guān)注子集是否為空集一般地，當(dāng)集合為有限集時(shí)，往往通過列方程或方程組來處理，此時(shí)需注

13、意集合中元素的互異性；當(dāng)集合為連續(xù)型無限集時(shí)，往往借助數(shù)軸列不等式或不等式組來求解，要注意運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法，尤其需注意端點(diǎn)值能否取到學(xué)科素養(yǎng)分類討論思想的應(yīng)用分類討論，通俗地講，就是“化整為零，各個(gè)擊破”分類討論要弄清楚是依據(jù)哪個(gè)參數(shù)進(jìn)行分類的，采用的標(biāo)準(zhǔn)是什么分類討論的原則是：(1)不重不漏；(2)一次分類只能按所確定的同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行例5 已知集合aa，ab，a2b，ba，ac，ac2，若ab，求c的值分析根據(jù)集合相等的定義和集合元素的互異性求解由于ab，元素a在兩個(gè)集合中都有，故其余兩個(gè)元素的情況需分類討論解析若，消去b得aac22ac0，即a(c22c1)0，當(dāng)a0時(shí)，集合b中的三個(gè)元素相同，不滿足集合中元素的互異性，故a0，c22c10，即c1.當(dāng)c1時(shí)，集合b中的三個(gè)元素也相