(1502)黃金分割專項練習30題

1、 精選文檔黃金分割專項練習1.定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB ,則稱點C為線段AB的黃金分割點.如圖 2, ABC中，AB=AC=1,/ A=36 BD 平分/ ABC AC 于點 D .可編輯(1 )求證：點D是線段AC的黃金分割點;(2)求出線段AD的長.2.如圖，用長為 40cm 的細鐵絲圍成一個矩形 ABCD (ABAD).4(jcm5(1)若這個矩形的面積等于99cm 2,求AB的長度;(2)這個矩形的面積可能等于101cm 2嗎？若能，求出 AB的長度，若不能，說明理由;(3)若這個矩形為黃金矩形(AD與AB之比等于黃金比西-1、),求該矩形的面積.(結(jié)果

2、保留根號)9.在數(shù)學上稱長與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形,，一 ,，1+V5,一如在矩形ABCD中，當時，稱矩形ABCD為黃金矩形ABCD .請你證明黃金矩形是由一個正方形和一個更小的黃金矩形構(gòu)成.精選文檔10 .如圖，設(shè) AB是已知線段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中點E,連接EB;延長DA至F,使EF=EB ;以線段AF為邊作正方形 AFGH .則點H是AB的黃金分割點.為什么說上述的方法作出的點H是這條線段的黃金分割點，你能說出其中的道理嗎？請試一試，說一說.12 .已知AB=2，點C是AB的黃金分割線，點 D在AB上，且 AD2=BD?AB ,求的值.14 .五角星是

3、我們常見的圖形，如圖所示，其中，點 C, D分別是線段AB的黃金分割點，AB=20cm ,求EC+CD的長.可編輯 精選文檔可編輯,是比較好看的黃15 .人的肚臍是人的身高的黃金分割點，一般來講，當肚臍到腳底的長度與身高的比為0.618金身段.一個身高1.70m的人，他的肚臍到腳底的長度為多少時才是黃金身段（保留兩位小數(shù)）？PB為寬和以AB17 .如圖，點P是線段AB的黃金分割點，且 APBP,設(shè)以AP為邊長的正方形面積為 Si,試比較S1與S2的大小.AD- 2 AE,18 .如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為邊AD延長線上的一點，且 D為AE的黃金分割點,BE交DC于點F,已知 相求CF

4、的長.精選文檔20.（如圖1）,點P將線段AB分成一條較小線段 AP和一條較大線段 BP,如果備考，那么稱點P為線段AB 的黃金分割點，設(shè)里二k ,則k就是黃金比，并且 k- 0.618 .BP AB圖I圖2圖3可編輯（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰 APB （如圖2）,等腰 AP耿黃金三角形，黃金三角形的定義為:滿足0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請你給出黃金矩形的定義:（2）如圖1 ,設(shè)AB=1 ,請你說明為什么 k約為0.618 ;（3）由線段的黃金分割點聯(lián)想到圖形的“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積）a工，那么稱直線l為該圖形的黃金分

5、割線.（如S，八5S1為S的圖形分成面積為 S1和面積為S2的兩部分（設(shè)SK S2）,如果一S2圖3）,點P是線段AB的黃金分割點，那么直線 CP是 ABC勺黃金分割線嗎？請說明理由;（4）圖3中的 ABC黃金分割線有幾條?21 .在人體軀干（腳底到肚臍的長度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比例越接近0.618 ,越給人以美感.張女士原來腳底到肚臍的長度與身高的比為0.60,她的身高為1.60m ,她應(yīng)該選擇多高的高跟鞋穿上看起來更美？（精確到十分位）23 .如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片 ABCD ,先折出BC的中點E,再折出線段AE ,然后通過折疊 使EB落到線段E

6、A上，折出點B的新位置B,因而EB =EB .類似地，B上折出點B使AB =AB .這時就是AB的黃金分割點.請你證明這個結(jié)論.A丁 &25 .如圖，在 ABC 點 D 在邊 AB 上，且 DB=DC=AC ,已知/ ACE=108 BC=2 .（1）求/B的度數(shù)；（2）我們把有一個內(nèi)角等于 36。的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長與底邊長的比（或者底邊長與腰長的比）等于黃金比22. 2寫出圖中所有的黃金三角形，選一個說明理由；求AD的長；在直線AB或BC上是否存在點P （點A、B除外），使 PDC黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點P,簡要說明畫出點P的方法（不要求證明）；若不存在，說明理

7、由.28.折紙與證明用紙折出黃金分割點:第一步：如圖(1),先將一張正方形紙片 ABCD對折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的對角線BF.第二步：如圖(2),將AB邊折到BF上，得到折痕BG,試說明點G為線段AD的黃金分割點(AGGD)PAD(1)29 .三角形中，頂角等于36 的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖 1,在 ABC,已知：AB=AC ,且/ A=36(1)在圖1中，用尺規(guī)作 AB的垂直平分線交 AC于D,并連接BD (保留作圖痕跡，不寫作法)；(2) BC牖不是黃金三角形？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由；(3)設(shè)3二k，試求k的值；(4)如圖2,在A1B1C1中，已

8、知 A1B1=A 1C1 , /A1=108 ,且A1B1=AB ,請直接寫出 眈 的值.B1C1ffil精選文檔30 .如圖1,點C將線段AB分成兩部分，如果維真,那么稱點C為線段AB的黃金分割點.某研究小組在進行 AB AC課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的S So圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為Si, S2,如果二二，那么稱直線1為該圖形的黃金分割線.S S (1)研究小組猜想：在 ABCK若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是 ABC勺黃金分割線.你 認為對嗎？為什么？(2)請你說明：三角形的中線是否也

9、是該三角形的黃金分割線？(3)研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點C任作一條直線交 AB于點E,再過點D作直線DF/ CE,交AC于點F,連接EF (如圖3),則直線EF也是 ABC黃金分割線.請你說明理由.(4)如圖4,點E是平行四邊形 ABCD的邊AB的黃金分割點，過點 E作EF/ AD,交DC于點F,顯然直線EF 是平行四邊形 ABCD的黃金分割線.請你畫一條平行四邊形 ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形 ABCD 各邊黃金分割點.可編輯黃金分割專項練習30題參考答案)=721 . (1 )證明： AB=AC=1ABC=Z C=( 180 - Z 2 BN分/ AB咬AC于點D/ A

10、BD= / CB叢/ ABC=36 2BDC=180- 36 - 72 =72 DA=DB , BD=BC ,AD=BD=BC ,易得 BDCA ABC,BC:AC=CD : BC,即 BC2=CD?AC ,A=CD?AC ,.點D是線段AC的黃金分割點；(2)設(shè) AD=x ,貝U CD=AC - AD=1 x, A吳CD?AC ,2，x2=1 - x ,解得 X1 =, X2=kiilj t Vs -1即AD的長為22 .解：(1)設(shè) AB=xcm ,貝U AD= (20 x) cm ,根據(jù)題意得x (20 - x) =99 ,整理得 x2 - 20x+99=0 ,解得 x1 =9 , x2

11、=11 ,當 x=9 時，20 - x=11 ;當 x=11 時，20-11=9 ,而 AB AD,所以x=11 ,即AB的長為11cm ;(2)不能.理由如下:設(shè) AB=xcm ,貝I AD= (20 - x) cm ,根據(jù)題意得x (20 - x) =101 ,整理得 x2- 20x+101=0 ,因為 =202 - 4X 1014BD）,AD=； Ub=10 Vs- 10, EC+CD=AC+CD=AD ,EC+CD= （10 后-10 ） cm .15 .解：設(shè)他的肚臍到腳底的長度為xm時才是黃金身段，根據(jù)題意得x： 1.70=0.618 ,即 x=1.70 X 0.618 =1m1）

12、.（答：他的肚臍到腳底的長度為1.1m時才是黃金身段.16 .解：（1）在Rt AP砰,AP=1 , AD=2 ,由勾股定理知 PD= 好+研2=山訐！=粕,AM=AF=PF - AP=PD - AP=f/T,DM=AD - AM=3 -網(wǎng).故AM的長為詆-1 , DM的長為3-加；（2）點M是AD的黃金分割點.點M是AD的黃金分割點.17 .解：二.點P是線段AB的黃金分割點，且 APBP,Af2=BP X AB,又. SimAP 2, S2=PB X AB,S1=S 2.18 .解：二四邊形ABCD為平行四邊形,/ CBF= / AEB , / BCF= / BAE , . BCFs ea

13、b,區(qū)普前ad ctCP BA AE 四可編輯 精選文檔把AD= 在二！他，AB= 限1代入得，由二厘_, 2 他2y+1解得：CF=2 .故答案為：2 .19 .解：矩形EFDC是黃金矩形，可編輯證明：:四邊形ABEF是正方形,20 .解:(1 )滿足長寬十長0.618的矩形是黃金矩形;(2)由(孑k得,即 k2= (1 - k) x 1 ,BP=1 x k=k ,從冰P=1 k,解得k= k4, 0.618(3)因為點P是線段AB的黃金分割點，所以AP BP.BP阻設(shè) ABC勺AB上的高為h,則精選文檔工二理一史工 %EPC 23Pxh BF saabc 曲Xh 期AAPC AEPC2AB

14、PC AABC,直線CP是 ABC勺黃金分割線.W,則過(4)由(2)知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點 Q,則AQ也是黃金分割線，設(shè) AQ與CP或點W的直線均是ABC金分割線，故黃金分割線有無數(shù)條.21 .解：根據(jù)已知條件得下半身長是160 x 0.6=96cm設(shè)選擇的高跟鞋的高度是xcm ,則根據(jù)黃金分割的定義得:96打160+x解得： x= 7.5cm故她應(yīng)該選擇7.5cm左右的高跟鞋穿上看起來更美.22 .解：設(shè)正方形 ABCD的邊長為2a,在Rt AE呻，依題意，得 AE=a , AB=2a ,由勾股定理知EB= Ha，AH=AF=EF -AE=EB - AE= (“T) a,HB

15、=AB - AH= (3 -V5) a；AH2= (6 -2近)a2,AB?HB=2a x (3-) a= (6-2 訴)a2,AH2=AB?HB ,所以點H是線段AB的黃金分割點.23 .證明：設(shè)正方形 ABCD的邊長為2,E為BC的中點,BE=1AE私西i*瓜又 B E=BE=1 ,AB =AE -君n-1 ,ABV 出工（五-1） : 2點8是線段AB的黃金分割點.24 .證明：二正方形 ABCD的邊長為2, E為BC的中點,BE=1ae=/.AB2+BE2=居， EF=BE=1 ,AF=AE -EF=相-1 ,AM=AF= V5- 1 ,AM: AB= （V5- 1）:2,.點M是線段

16、AB的黃金分割點.25.解：（1） ; BD=DC=AC .則/ B=Z DCB, / CDA=Z A.設(shè)/ B=x ,則/ DCB=x , / CDA=Z A=2x .又/ BOC=108 ,x+2x=108x=36B=36 ;（2）有三個：BDC, ADC, BAG. DB=DC, / B=36 , . DBG黃金三角形，（或: CD=CA, / ACD=180 - Z CDA- Z A=36 . . CDA黃金三角形.或 : /ACE=108 , ./ ACB=72 ,又/ A=2x=72 ,. A=/ACB.BA=BC . . BAG黃金三角形. BAG1黃金三角形，出巫二BC- 2

17、? BC=2 , A詆1 . BA=BC=2 , BD=AC=立-1 ,AD=BA -BD=2 -（代T） =3 -質(zhì)，存在，有三個符合條件的點P1、P2、P3.i）以CD為底邊的黃金三角形：作 CD的垂直平分線分別交直線 AB、BC得到點P1、P2 .ii）以CD為腰的黃金三角形：以點 C為圓心，CD為半徑作弧與 BC的交點為點 P3.可編輯精選文檔可編輯26.證明：在正方形 ABCD中，取AB=2a , N為BC的中點，NCBC=a .2在 Rt DNO，陽印附之（2a）二泥口又 NE=ND,OE=NE -NO= （lx/1- 1） a. CE_-1）a_VT.三CD- 2a - 2故矩形

18、DOEF為黃金矩形.27 .解：（1）（2） OM=AB （4 分）28 .證明：如圖，連接 GF,設(shè)正方形ABOD的邊長為1 ,則DF=在 Rt BO中,BF= 7eC+CF則Ak/5 F=BF - BA- 1 .2設(shè) AG=A G=x ,則GD=1 x,在 Rt A和FRt DG中，有 AF 2+AG 2=DF 2+DG 2即-1) % J 6)4 (1 - K ) 2解得x= 三二-2即點G是AD的黃金分割點（AG GD ）.G29.解：（1）如圖所示;(3)設(shè) BC=x , AC=y ,由(2)知，AD=BD=BC=x. / DBC=Z A, Z C=Z C, . BDCA ABC,.必里，即二q,AC K y r整理，得 x2+xy - y2=0 ,解得1因為x、y均為正數(shù)，所以;石)Y 23 -屈v理由：延長 BC至Ij E,使CE=AC ,連接AE. . / A=36 AB=AC , ./ ACB=Z B=72 , ./ ACE=180 - 72 =108 , ./ ACE=/A1C1. . AiBi=AB ,AC=CE=A1B1=A 1C1 , . ACEA1C1,