2019-2020學(xué)年北京市石景山區(qū)高三上期末數(shù)學(xué)試卷(理)(含答案解析)

1、北京市石景山區(qū)高三（上）期末測試數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1 .設(shè)集合 M=0, 1,2, N=x|x2 3x+2W0,貝U Mp n=（）A. 1B. 2 C. 0 , 1D. 1 , 2x+y22 .若變量x, y滿足約束條件，工1,則z=2x+y的最大值為（）1 y0A. 0B. 2C. 3 D. 43 .如圖的程序框圖表示算法的運(yùn)行結(jié)果是（）1r開始/輸心/結(jié)束hdA. - 2 B. 2C. - 1 D. 14 .已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a3=8, a4=4,則前n項(xiàng)和與中最大的是（）A.S3B.S4或S

2、5C.S5或&D.S65 . ab=4是直線 2x+ay-1=0 與直線 bx+2y-2=0 平行”的（）A.充分必要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件6 .若曲線y2=2px （p0）上只有一個(gè)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1,則p的值為（）A. 4B. 3C. 2D. 17.如圖，點(diǎn)。為正方體 ABCD- ABCD的中心，點(diǎn) E為面BBCC的中心，點(diǎn)F為BC 的中點(diǎn), 則空間四邊形D OEF&該正方體的各個(gè)面上的投影不可能是（8.如圖，在等腰梯形 ABCM,使得面BEFCL面ADFE若動(dòng)點(diǎn)PC平面ADFE設(shè)PB, PC與平面ADFE/f成的角分別為Q,團(tuán)（Q, &均

3、不為0）.若6=,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（）A.直線B.橢圓C.圓 D.拋物線AB4cL E，F(xiàn)分別是底邊AB, CD的中點(diǎn)，把四邊形BEFCg直線EF折起,U二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.2i9 .在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) -一丁對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為 1 - 110 . （5的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）11 .在4ABC中，角 A, B, C所對的邊長分別為 a, b, c,且 a=15 , b=10, A=60 ,貝U cosB=12 .在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線（=2和pcos 9=1相交于點(diǎn)A, B,則|AB尸.13 . 2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若 3位女生中有且

4、只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 種.（用數(shù)字作答）14 .股票交易的開盤價(jià)是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報(bào)某種股票的意向買價(jià)或意向賣價(jià)以及相應(yīng)的意向股數(shù)，然后由計(jì)算機(jī)根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當(dāng)?shù)膬r(jià)格，使得在該價(jià)位上能夠成交的股數(shù)最多.（注：當(dāng)賣方意向價(jià)不高于開盤價(jià)，同時(shí)買方意向價(jià)不低于開盤價(jià)，能夠成交）根據(jù)以下數(shù)據(jù)，這種股票的開盤價(jià)為 元，能夠成交的股數(shù)為 .賣家意向價(jià)（元） 2.1TT2-23r-24200400500100意向股數(shù)頭豕忌向價(jià)(兀)2.12.22.32.4意向股數(shù)600300300100三、解答題共15.已知函數(shù)6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

5、(I )求函數(shù)f (x)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間;(n)求函數(shù)f (x)在0,9上的最大值與最小值.16.某教育主管部門到一所中學(xué)檢查學(xué)生的體質(zhì)健康情況.從全體學(xué)生中，隨機(jī)抽取12名進(jìn)行體質(zhì)健康測試，測試成績(百分制)以莖葉圖形式表示如圖所示.根據(jù)學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)，成績不低于76的為優(yōu)良.(I )寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);(n)將頻率視為概率.根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，在該校學(xué)生中任選3人進(jìn)行體質(zhì)健康測試，求至少有 1人成績是“優(yōu)良”的概率;(出)從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記E表示成績“優(yōu)良”的學(xué)生人數(shù)，求 E的分布列及期望.成績產(chǎn)678917.在四棱錐P- ABCN,側(cè)面 PCDL底面A

6、BCD PD) CD E為PC中點(diǎn)，底面 ABC皿直角梯形，AB/ CD/ADC=90 ,AB=AD=PD=1 CD=2(I )求證:BE/平面 PAD(n)求證:BC1平面PBDf (x) =2/5或門8工 - 2sirix，xe R.(m)在線段18.已知函數(shù)f (x)PC上是否存在一點(diǎn) Q使得二面角Q- BD- P為45 ?若存在，求的值；若不存在，請=x- 1+ (aC R, e為自然對數(shù)的底數(shù)). e(I )若曲線y=f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線平行于 x軸，求a的值;(n)求函數(shù)f (x)的極值；(出)當(dāng)a=1的值時(shí)，若直線l ： y=kx - 1與曲線y=f (x)沒

7、有公共點(diǎn)，求 k的最大值.2219.已知橢圓C:工一十2二1 (ab0)的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.2 L 2 a b(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n )設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，M為直線x=- 3上任意一點(diǎn)，過 F作MF的垂線交橢圓 C于點(diǎn)P, Q證明：OM經(jīng)過線段PQ的中點(diǎn)N.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))20.給定一個(gè)數(shù)列an,在這個(gè)數(shù)列里，任取 m (m 3, mC N*)項(xiàng)，并且不改變它們在數(shù)列 an中的先后次 序，得到的數(shù)列an的一個(gè)m階子數(shù)列.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(nCN, a為常數(shù))，等差數(shù)列a2, a3, a6是數(shù)列an的一個(gè)3子階數(shù)列. n+a(1

8、)求a的值；(2)等差數(shù)列b1, b2,，bm是an的一個(gè)m(m 3, mC N)階子數(shù)列，且b14(k為吊數(shù)，kCN, k2), k求證：mK k+1*、，一(3)等比數(shù)列ci, C2,，cm是an的一個(gè) m (m 3, mC N)階子數(shù)列，求證： ci+ci+cm 2-.2015-2016學(xué)年北京市石景山區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1 .設(shè)集合 M=0, 1,2, N=x|x2 3x+2W0,貝U MT N=()A. 1B. 2 C. 0 , 1D. 1 , 2【考點(diǎn)】交集及其

9、運(yùn)算.【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論.【解答】 解：N=x|x 2- 3x+2 0=x|(x1) (x2) 0=x|1 x2,MT N=1, 2,故選：D.卜+y0A. 0B. 2C. 3D. 4【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐 標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.G+y2【解答】解：由約束條件l 作出可行域如圖，I y0Y=1化目標(biāo)函數(shù) z=2x+y為y= - 2x+z,由圖可知，當(dāng)直線 y=-2x+z過A (2, 0)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為4.故選：D.3 .如圖的程序框圖表示算

10、法的運(yùn)行結(jié)果是(開始/釁5/結(jié)束A. - 2 B. 2 C. - 1 D. 1【考點(diǎn)】程序框圖.【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S, i的值，當(dāng)i=5時(shí)滿足條件i 4,出S的值為-2.【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=0, i=1不滿足條件i 4,不滿足條件i是偶數(shù)，S=1, i=2不滿足條件i 4,滿足條件i是偶數(shù)，S= - 1, i=3不滿足條件i 4,不滿足條件i是偶數(shù)，S=2, i=4不滿足條件i 4,滿足條件i是偶數(shù)，S=- 2, i=5滿足條件i4,退出循環(huán)，輸出 S的值為-2.故選：A.4 .已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a3=8, a4=4,則前n項(xiàng)和S中最大的

11、是()A. SB. S4或 S5 C. &或& D. S6【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.【分析】由an是等差數(shù)列，a3=8, a4=4,解得 ai=16, d=-4.故 Sn=-2n2+18n=-2 (n-.11求出結(jié)果.【解答】 解：an是等差數(shù)列，a3=8, 34=4,(a+2d=8退出循環(huán)，輸2 ：12+保.由此能 1dB 1,解得 ai=16, d=- 4.&=16n+:2=-2n2+18n2+2，當(dāng)n=4或n=5時(shí)，Sn取最大值.故選B.5. ab=4是直線 2x+ay-1=0 與直線 bx+2y-2=0 平行”的（）A.充分必要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不

12、充分也不必要條件【考點(diǎn)】兩條直線平行的判定.【分析】本題考查線線平行關(guān)系公式的利用，注意2條線是否重合【解答】 解：二兩直線平行，斜率相等.即可得ab=4,又因?yàn)椴荒苤睾?，?dāng) a=1, b=4時(shí)，滿足ab=4,但是重合，所以選C6 .若曲線y2=2px （p0）上只有一個(gè)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1,則p的值為（）A. 4B. 3 C. 2D. 1【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】利用拋物線的性質(zhì)求出 p即可.【解答】解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于拋物線的軸對稱，所以拋物線頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離唯一，可得看p=2. U故選：C.7 .如圖，點(diǎn) 。為正方體 ABCD- A B C D的中心，點(diǎn) E為面 B BCC的中心，

13、點(diǎn)F為B C 的中點(diǎn),則空間四邊形D OEF&該正方體的各個(gè)面上的投影不可能是（【考點(diǎn)】簡單空間圖形的三視圖.【分析】根據(jù)平行投影的特點(diǎn)和正方體的性質(zhì)，得到分別從正方體三個(gè)不同的角度來觀察正方體，得到三 個(gè)不同的投影圖，逐個(gè)檢驗(yàn)，得到結(jié)果.【解答】 解：由題意知光線從上向下照射，得到C,光線從前向后照射，得到 A,光線從左向右照射得到 B,故空間四邊形 D OEF&該正方體的各個(gè)面上的投影不可能是D,故選：D8 .如圖，在等腰梯形ABCD43, AB=yCE，E，F(xiàn)分別是底邊AB, CD的中點(diǎn)，把四邊形BEFCg直線EF折起, 使得面BEFCL面ADFE若動(dòng)點(diǎn)PC平面ADFE設(shè)PB, PC與平

14、面ADF所成的角分別為 9,(自，&均不為 0) .若=機(jī)則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為()圖1國2A.直線B.橢圓C.圓 D.拋物線【考點(diǎn)】軌跡方程.【分析】 先確定PE=PF,再以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，求出軌跡方程， 即可得出結(jié)論.【解答】 解：由題意，PE=BEcot肌PF=CFcot今，- be=1cf, q=bPE=-PF.2以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè) E ( - a, 0), F (a, 0), P (x, y),則 (x+a) 2+y2= (xa) 2+y2,3x2+3y2+10ax+3a2=0,軌跡為圓.故選：C.、填空題共6小

15、題，每小題5分，共30分.9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 一三對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為此1 1【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)的基本概念.【分析】利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的哥運(yùn)算性質(zhì)化簡復(fù)數(shù)，求出其在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.- 2i 2i （1+i）- 2+21【解答】解：復(fù)數(shù)7失=7*共7七 j=T+i，其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1, 1）,1 - 1（1 - 1） Q+U 2該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于 。幣=的，故答案為就.10 . G/工一 5）5的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為 -5 .（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.【分析】 在二項(xiàng)展

16、開式的通項(xiàng)公式中，令x的哥指數(shù)等于1,求出r的值，即可求得展開式中 x項(xiàng)的系數(shù).【解答】解：（一工尸的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為+1 =%？（- 1） r? -y,令二三二1,求得r=1,可得展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為-cl= -5, 故答案為：-5.11 .在 ABC中，角 A, B, C所對的邊長分別為 a, b, c,且 a=15 , b=10, A=60 ,則 cosB二 3【考點(diǎn)】正弦定理.【分析】由正弦定理可得，一三可求sinB ,然后結(jié)合大邊對大角及同角平方關(guān)系即可求解sinA sinB【解答】 解： a=15, b=10, A=60由正弦定理可得,a _ bsinA sinB10sin6

17、0fl V3-=15.c bsinA sinB二aa b.B為銳角cosB=、1 ,匚：i-Jf=一：一號(hào)故答案為：.12.在極坐標(biāo)系中，設(shè)曲線k2和pcos9=1相交于點(diǎn)A, B,則|AB|二2立【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程.【分析】由-2,得x2+y2=4,由pcos 9=1,得x=1,由此聯(lián)立方程組能求出交點(diǎn)A B,由此能求出|AB| .【解答】解：:年2,x2+y2=4,pcos 9=1,x=1 ,聯(lián)立卜得產(chǎn)1廠或產(chǎn);lx=l I 尸一遮 IW3 A （1,-加），B （1,無），|AB|=2 低.故答案為：2花.13 . 2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若 3位女生中有且只有兩

18、位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是72種.（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.【分析】把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個(gè)復(fù)合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3個(gè)空中的2個(gè)空中，問題得以解決.【解答】 解：把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個(gè)復(fù)合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3個(gè)空中的2個(gè)空中，2 22故有 A3A2 A3 =72 種，故答案為：7214 .股票交易的開盤價(jià)是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報(bào)某種股票的意向買價(jià)或意向賣價(jià)以及相應(yīng)的意向股數(shù)，然后由計(jì)算機(jī)根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當(dāng)?shù)膬r(jià)格，使得在該價(jià)位上能夠成交的股數(shù)最多.（注:當(dāng)賣方意向價(jià)不高

19、于開盤價(jià)，同時(shí)買方意向價(jià)不低于開盤價(jià)，能夠成交）根據(jù)以下數(shù)據(jù)，這種股票的開盤價(jià)為 2.2 元，能夠成交的股數(shù)為600 .賣豕忌向價(jià)（兀）2.12.22.32.4意向股數(shù)200400500100頭豕忌向價(jià)（兀）2.12.22.32.4意向股數(shù)600300300100【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.【分析】分別計(jì)算出開盤價(jià)為 2.1、2.2、2.3、2.4元買家意向股數(shù)及賣家意向股數(shù)，進(jìn)而比較即得結(jié)論.【解答】 解：依題意，當(dāng)開盤價(jià)為 2.1元時(shí)，買家意向股數(shù)為 600+300+300+100=1300,賣家意向股數(shù)為200,此時(shí)能夠成交的股數(shù)為 200;當(dāng)開盤價(jià)為2.2元時(shí)，買家意向股數(shù)為 300

20、+300+100=700,賣家意向股數(shù)為200+400=600,此時(shí)能夠成交的股數(shù)為600;當(dāng)開盤價(jià)為2.3元時(shí)，買家意向股數(shù)為300+100=400,賣家意向股數(shù)為 200+400+500=1100,此時(shí)能夠成交的股數(shù)為400;當(dāng)開盤價(jià)為2.4元時(shí)，買家意向股數(shù)為100,賣家意向股數(shù)為 200+400+500+100=1200,此時(shí)能夠成交的股數(shù)為100;故答案為：2.2 , 600.三、解答題共15.已知函數(shù)6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.f (x) =2y3sinxcosx _ 2sinLx, x C R.(I )求函數(shù)f (x)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間;(n)

21、求函數(shù)f (x)在0, 7-上的最大值與最小值.【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法.【分析】(I)先化簡函數(shù)可得f (x) =2sin(2x+-) - 1,即可求函數(shù)f (x)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)6間;(n)由定義域根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f (x)在0, q上的最大值與最小值.解答解：f(x)=V3sin2x+cos2x- 1 = 2 Crsin2s+cos2z) - l=2sin(2x4-) - 1打.kZ,解得-口匹上看+k冗,所以函數(shù)f (x)的單調(diào)增區(qū)間為kn -k兀+kEZ.36(n)因?yàn)樗訲T 9 It12k+一,所以 7Csin(2xbiZ于

22、是負(fù)n(2篁所以0wf (x) 0討論，可知f (x)在C (- 00 , Ina )上單調(diào)遞減，在(Ina ,e+8)上單調(diào)遞增，從而可求其極值；(出)令 g (x) =f (x) - ( kx - 1) = (1 - k) x+1,則直線 l : y=kx - 1 與曲線 y=f (x)沒有公共點(diǎn)？ ex方程g (x) =0在R上沒有實(shí)數(shù)解，分 k1與k 0, f (x)為(-00 , +oo)上的增函數(shù)，所以 f (x)無極值；當(dāng) a0 時(shí)，令 f (x) =0,得 ex=a, x=lna ,xC (- 0, ina ), f(x) 0;f (x)在C (- 0, ina)上單調(diào)遞減，在

23、(Ina , +)上單調(diào)遞增，故f (x)在x=lna處取到極小值，且極小值為 f (Ina ) =lna ,無極大值.綜上，當(dāng)a0時(shí)，f (x)在x=lna處取到極小值Ina ,無極大值.1 . 1(出)當(dāng) a=1 時(shí)，f (x) =x- 1+下，令 g (x) =f (x) ( kx 1) = (1 k) x+,ee則直線I ： y=kx - 1與曲線y=f (x)沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程g (x) =0在R上沒有實(shí)數(shù)解.1 假設(shè) k1,此時(shí) g (0) =10, g (-7)=一1+-0,知方程g (x) =0在R上沒有實(shí)數(shù)解，e所以k的最大值為1.2 219.已知橢圓C:豈，+工二1 (

24、ab0)的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.a b(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n )設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，M為直線X=- 3上任意一點(diǎn)，過 F作MF的垂線交橢圓 C于點(diǎn)P, Q證明：OM經(jīng)過線段PQ的中點(diǎn)N.(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】(I)由橢圓C的焦距為4,及等邊三角形的性質(zhì)和 a2=b2+c2,求得a, b,即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(D)設(shè) M(3, m), P (xi, yi), Q(X2, y2), PQ 的中點(diǎn)為 N (xo, yo) , kM尸m,設(shè)直線 PQ 的方程為 x=my-2,代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理

25、和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合三點(diǎn)共線的方法：斜率相等，即可得證.【解答】 解：(I )由題意可得c=2,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，可得a=?2b,即有 a=&b, a2- b2=4,解得 a=，, b=V,22則橢圓方程為, + , =1;(n )證明：設(shè) M ( - 3, m), P (Xi, yi), Q(X2, y2)PQ的中點(diǎn)為 N (xo, yo), kMF=-m,由F ( - 2, 0),可設(shè)直線PQ的方程為x=my- 2,代入橢圓方程可得(m+3) y 4my 2=0, . 4m即有yi+y2=9,3+m則直線ON的斜率koN=- 又ko肝一三，可得ko=koN則O, N, M三點(diǎn)共線，即有 0睇過線段PQ