《線性代數(shù)與空間解析幾何》

1、整理課件0222321231312233222211 czbybxbyzaxzaxyazayaxa二次方程二次方程所表示的曲面稱為所表示的曲面稱為二次曲面二次曲面.討論二次曲面的性質(zhì)使用討論二次曲面的性質(zhì)使用截痕法截痕法： 用坐標(biāo)面或坐標(biāo)面平行的平面與曲面相截，考用坐標(biāo)面或坐標(biāo)面平行的平面與曲面相截，考察所得交線（截痕）的形狀，通過(guò)截痕形狀研究察所得交線（截痕）的形狀，通過(guò)截痕形狀研究曲面的性狀曲面的性狀.整理課件一、一、 橢球面橢球面)0, 0, 0(1222222 cbaczbyax1. 范圍范圍: |x | a, |y |b, |z |c . 圖形在圖形在 x = a, y = b, z

2、 = c 所圍成的長(zhǎng)所圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)方體內(nèi).2. 對(duì)稱性對(duì)稱性: 圖形關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面、三個(gè)坐標(biāo)軸及圖形關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面、三個(gè)坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱.整理課件3. 截截 痕痕ozyx 橢球面與橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面三個(gè)坐標(biāo)面的交線：的交線：,012222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax整理課件橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1整理

3、課件橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成z122222 czayx方程可寫為方程可寫為,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可寫為方程可寫為整理課件二、拋物面二、拋物面zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq(1) 范圍范圍: 若若p 0且且q 0, 則則 圖形在圖形在 xOy 平面上方，否則在平面上方，否則在 xO y 平面下方平面下方.(2) 對(duì)稱性對(duì)稱性: 圖形關(guān)于圖形關(guān)于z 軸、軸、yOz 平面、平面、xOz 平面

4、對(duì)平面對(duì)稱稱.1、橢圓拋物面、橢圓拋物面整理課件(3) 截截 痕痕qypxz2222 10 用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)(0zxOy截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn)截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn))0 , 0 , 0(O設(shè)設(shè)0, 0 qp原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn)頂點(diǎn).整理課件 11212122zzqzypzx當(dāng)當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種橢變動(dòng)時(shí)，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz )0(1 z與平面與平面 不相交不相交.1zz )0(1 z 20 用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 與曲面相截與曲面相截)(0yxOz 022ypzx截得拋物線截得拋物線整

5、理課件與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋物線.1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點(diǎn)頂點(diǎn) qyy2, 0211 3 0 用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截與曲面相截)(0 xyOz1xx 均可得拋物線均可得拋物線.同理當(dāng)同理當(dāng) 時(shí)可類似討論時(shí)可類似討論.0, 0 qp整理課件zxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：0, 0 qp0, 0 qp整理課件特殊地：特殊地：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)闀r(shí)，方程變?yōu)閝p zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p（由（由 面上的拋物線面上的拋物線 繞它的軸繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）旋轉(zhuǎn)而成的）xOzpzx22

6、 11222zzpzyx與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )0(1 z當(dāng)當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種圓變動(dòng)時(shí)，這種圓的中心都在的中心都在 軸上軸上.1zz整理課件)0(,2222 pqqypxz2. 雙曲拋物面（馬鞍面）(1) 范圍范圍: x, y, z R, 曲面可向各方向無(wú)限延伸曲面可向各方向無(wú)限延伸.(2) 對(duì)稱性對(duì)稱性: 圖形關(guān)于圖形關(guān)于z 軸、軸、yOz 平面、平面、xOz 平面對(duì)平面對(duì)稱稱.整理課件(3) 截 痕 (設(shè)p 0, q 0) 用平面用平面z = z0 (z0 0)截曲面所得截痕為雙曲線截曲面所得截痕為雙曲線00202122zzqzypzx 用平面用平面x = x0 與與

7、y = y0 截曲面所得截痕為截曲面所得截痕為 022022xxqypxz 020222yyqypxz這是兩條拋物線這是兩條拋物線.整理課件雙曲拋物面)0, 0(,2222 qpqypxz圖形如下：圖形如下：xyzo整理課件三、 雙曲面1. 單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax(2) 對(duì)稱性對(duì)稱性: 圖形關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸、三個(gè)坐標(biāo)面以圖形關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸、三個(gè)坐標(biāo)面以及原點(diǎn)都對(duì)稱及原點(diǎn)都對(duì)稱.(1) 范圍范圍: 12222 byax故曲面在橢圓柱面故曲面在橢圓柱面12222 byax的外部；的外部；整理課件(3) 截 痕用平面用平面z = z0 截曲面所得截痕為橢圓：截曲面所得截痕為橢

8、圓： 022022221zzczbyax用平面用平面x = x0 , y =y 0截曲面所得截痕為：截曲面所得截痕為： 022022221xxaxczby 022022221yybyczax這是兩條雙曲線這是兩條雙曲線.整理課件單葉雙曲面 xyoz1222222 czbyax的圖形如下：的圖形如下：思考題思考題:1222222 czbyax的形狀如何？的形狀如何？整理課件2. 雙葉雙曲面1222222 czbyax思考題思考題:1222222 czbyax的圖形怎樣？的圖形怎樣？xyoz整理課件例例1 將二次曲面將二次曲面z = f (x, y )= xy用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)用正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，并由此判斷是何形，并由此判斷是何 曲面？曲面？解解102102fA 的的矩矩陣陣),21)(21(| AI1211,22 得得TT12=1,1=1,1 所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的特特征征向向量量分分別別為為（），（- -）TT12122222,=,=,2222 將將，單單位位化化（），（）整理課件222121yxfz z = x y 為為雙曲拋物面雙曲拋物面.存在正交變換存在正交變換 X = CY ，其中，其中 使使2222C=2222 整理課件例例2 設(shè)設(shè) f (x1, x2, x3) = X TAX 為實(shí)二次型，則為實(shí)二次型，則 f (x1, x2, x