第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A卷小學(xué)高年級(jí)組

1、詳解第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A（小學(xué)高年級(jí)組） 一、填空題（每小題 10 分, 共80 分） 1. 計(jì)算: ×4)÷=。答案 2解析原式=-(+) ×=-×=- =22. 中國北京在2015年7月31日獲得了2022 年第24 屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的主辦權(quán). 預(yù)定該屆冬奧會(huì)的開幕時(shí)間為2022年2月4日，星期。（今天是2016年3月12日, 星期六） 答案五解析2022-20166（年），2020÷4=505，所以2020為閏年，有366天。2016年3月12日至2022年3月12日共有：365×5+366=2191

2、(天）；2022年2月4日至2022年3月12日共有：28-412=36(天）；2016年3月12日至2022年2月4日共有：2191-362155(天）；2155÷7=307（周）6（天）6+6-7=5.所以2022年2月4日是星期五。3. 右圖中,AB=5厘米, ABC=85,BCA=45,DBC=20,則AD=厘米。答案 5解析A180ABC BCA1808545=50 ;ABD= ABC DBC8520=65；ADB180 AABD18050 6565； 所以 ABDADB ，即ABD是等腰三角形。 所以ADAB5(厘米)在9×9的格子紙上,1×1小方格的

3、頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)。如右圖,三角形ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn). 若一個(gè)格點(diǎn)P 使得三角形PAB與三角形PAC的面積相等, 就稱P點(diǎn)為“好點(diǎn)”。那么在這張格子紙上共有個(gè)“好點(diǎn)”。答案 6解析如圖，因?yàn)锳B2AC，所以P點(diǎn)到AC的距離等于P點(diǎn)到AB距離的2倍，如圖所示，共有6個(gè)點(diǎn)。5. 對(duì)于任意一個(gè)三位數(shù)n, 用n表示刪掉n中為0的數(shù)位得到的數(shù)。例如n =102時(shí)n =12,那么滿足n <n且n 是n的約數(shù)的三位數(shù)有個(gè)。答案93解析分兩類情況來討論：個(gè)位為0的三位數(shù)有：100、110、120.990，共有90個(gè)均符合題目要求。設(shè)十位數(shù)字為0的三位數(shù)為a0b，依題意，a0b是ab的倍數(shù)。則：100a

4、+b是10a+b的倍數(shù)，且100a+b=10（10a+b）9b，因?yàn)?0（10a+b）是10a+b的倍數(shù)，所以9b是10a+b的倍數(shù)。當(dāng)b=5時(shí)，a1或a4符合，即105或405符合。當(dāng)b8時(shí)，a1符合，即108符合。所以，十位為0的三位數(shù)共有105、405、108這3個(gè)。綜上，符合題意的三位數(shù)共有90+3=93（個(gè)）。6. 共有12 名同學(xué)玩一種撲克游戲, 每次4人參加, 且任意2 位同學(xué)同時(shí)參加的次數(shù)不超過1。 那么他們最多可以玩次。答案9解析將12名同學(xué)分別編號(hào)為1-12，將這12人分成4組，每組3個(gè)人，要想玩的次數(shù)最多，則每人需要與其他組的3個(gè)人各玩一次，則12個(gè)人共玩次數(shù)：12

5、15;3=36（次），每次4人玩，最多玩36÷4=9（次） 編號(hào) 次數(shù)1234567891011121123421567318910425811526912637812736101184591194710127. 如果2×3能表示成k個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和,則k的最大值為。答案108解析設(shè)k個(gè)連續(xù)正整數(shù)的首項(xiàng)為n，則末項(xiàng)為nk1k個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和：（n+n+k+1)k÷2=2×38； （2n+k+1)k=22×38k最大可以取22×38108，此時(shí)n68符合。所以k最大為108.8. 兩把小尺與一把大尺組成套尺,小尺可以沿著大尺滑動(dòng)。大尺上

6、每一個(gè)單位都標(biāo)有自然數(shù), 第一把小尺將大尺上的11個(gè)單位等分為10, 第二把小尺將大尺上9個(gè)單位等分為10, 兩把小尺的起點(diǎn)都為0, 都分別記為1 至10?，F(xiàn)測(cè)量A,B 兩點(diǎn)間距離, A 點(diǎn)在大尺的0 單位處,B 點(diǎn)介于大尺的18與19單位之間；將第一把小尺的0單位處于B點(diǎn)時(shí), 其單位3恰好與大尺上某一單位相合. 如果將第二把小尺的0單位處置于B點(diǎn), 那么第二把小尺的第個(gè)單位恰好與大尺上某一單位相合。答案7解析設(shè)第二把小尺的第x個(gè)單位恰好與大尺上某一單位相合第一把小尺每個(gè)單位占大尺每個(gè)單位的： ；第二把小尺每個(gè)單位占大尺每個(gè)單位的： ；依題意， x-×3的結(jié)果為整數(shù)，當(dāng)x=7時(shí)，x-

7、×3=3，符合。第二把小尺的第7個(gè)單位恰好與大尺上的某一單位相合。二、解答下列各題（每題10 分, 共40 分, 要求寫出簡要過程） 9.復(fù)活賽上,甲乙二人根據(jù)投票結(jié)果決出最后一個(gè)參加決賽的名額。投票人數(shù)固定,每票必須投給甲乙二人之一。最后,乙的得票數(shù)為甲的得票數(shù)的,甲勝出。但是,若乙得票數(shù)至少增加4票,則可勝甲。請(qǐng)計(jì)算甲乙所得的票數(shù)。答案甲、乙得票分別為126，120或147，140.解析設(shè)甲、乙得票數(shù)分別為a, b.根據(jù)題意： b= ×a，b+4a-4，b+3a-3如果a是奇數(shù)，則b是偶數(shù)，即使乙的得票數(shù)增加了若干票，甲減少了相應(yīng)的票數(shù)，甲乙的得票數(shù)奇偶性不變。這時(shí)乙要

8、勝甲，只要比甲多得一票即可，也就是比甲減少4票后所得票數(shù)多一票，即等于甲減去3票所得之差，故，此時(shí)甲、乙二人得票數(shù)的差是3+4=7（票），甲得票數(shù)是7÷（1- ）147（票），乙得票數(shù)是147-7=140（票）。如果a是偶數(shù)，則b是偶數(shù)，即使乙的得票數(shù)增加4票，甲得的票數(shù)減少4票，二人的得票數(shù)仍然都是偶數(shù)。因此，這時(shí)乙要恰好勝甲，只需要比甲多得2票即可，而此時(shí)甲、乙得票數(shù)相差是2+4=6（票），甲得票數(shù)是6÷（1- ）126（票），乙得票數(shù)是126-6=120（票）。10.如右圖, 三角形ABC 中, AB=180 厘米, AC=204厘米, D, F是AB上的點(diǎn), E,

9、G 是AC上的點(diǎn),連結(jié)CD, DE, EF, FG, 將三角形ABC分成面積相等的五個(gè)小三角形. 則AFAG為多少厘米?答案解析在ABC中，SADC=4SDBC,所以AD=4BD=4×（180÷5）=144（厘米）在ADC中，SADE=3SEDC,所以AE=3EC=3×(204÷4)=153（厘米）在ADE中，SAFE=2SEFD,所以AF=2DF=2×(144÷3)=96（厘米）在AFE中，SAFG=SGFE,所以AG=GE=153÷（厘米）因此，（厘米）11. 某水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水閥. 只打開甲注水, 10小時(shí)可將空水

10、池注滿；只打開乙,15小時(shí)可將空水池注滿?，F(xiàn)要求7 個(gè)小時(shí)將空水池注滿, 可以只打開甲注水若干小時(shí), 接著只打開乙注水若干小時(shí), 最后同時(shí)打開甲乙注水。那么同時(shí)打開甲乙的時(shí)間是多少小時(shí)?答案5解析設(shè)單獨(dú)開甲進(jìn)水閥x小時(shí)，單獨(dú)開乙進(jìn)水閥y小時(shí)，同時(shí)打開甲、乙進(jìn)水閥z小時(shí)。由題設(shè)， x+y+z=7·························

11、83;·····(1)x+y+（+） z =1···········(2) 由（2）×15得1.5x+y+2.5z=15··········(3) 由（3）-（1）得0.5x+1.5z=8 z=此式有整數(shù)解：x1，z5；x4，z4;x7，z3;x10，z2;x13，z1.但只有一組解x1，z5符合要求，此時(shí)y1，即甲進(jìn)水閥開1小

12、時(shí)，乙進(jìn)水閥開1小時(shí)，甲、乙兩進(jìn)水閥同時(shí)開5小時(shí)，注滿水。12. 將一個(gè)五邊形沿一條直線剪成兩個(gè)多邊形,再將其中一個(gè)多邊形沿一條直線剪成兩部分,得到了三個(gè)多邊形,然后將其中一個(gè)多邊形沿一條直線剪成兩部分, 如此下去。在得到的多邊形中要有20 個(gè)五邊形, 則最少剪多少次?答案38解析一個(gè)多邊形被分成兩部分，其內(nèi)角和至多增加3600，剪k次共增加的度數(shù)至多為(k × 3600），所以這（k-1）個(gè)多邊形的度數(shù)和至多是k ×3600 +5400。另一方面，20個(gè)五邊形的度數(shù)和為20×5400，剩余的（k-19）個(gè)多邊形的度數(shù)和最小是（k19）×1800，這樣得

13、到：（k19）×1800+20×5400k ×3600 +5400整理得K38.。當(dāng)k=38時(shí)，可以先將一個(gè)五邊形切成一個(gè)五邊形和一個(gè)四邊形，然后用18次將四邊形分成19個(gè)四邊形，再用19次將每個(gè)四邊形切成五邊形，這樣就用38次將其切成20個(gè)五邊形。三、解答下列各題（每小題 15 分，共30 分，要求寫出詳細(xì)過程）13. 如右圖, 有一張由四個(gè)1×1的小方格組成的凸字形紙片和一張5×6的方格紙?，F(xiàn)將凸字形紙片粘到方格紙上, 要求凸字形紙片的每個(gè)小方格都要與方格紙的某個(gè)小方格重合,那么可以粘出多少種不同的圖形? (兩圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)后相同看作相同圖形)

14、答案31解析把凸字形上面那個(gè)小方格稱為它的頭。粘出的圖形可以分為兩類：凸字形的頭在方格紙邊框上為一類，凸字形的頭在方格紙的內(nèi)部為第二類。對(duì)于第一類，凸字形的頭不能黏在方格紙的四個(gè)角，邊框上（不是角）的小方格共有2×3+2×4=14（個(gè)），即有14個(gè)圖形。對(duì)于第二類，方格紙內(nèi)部的每一個(gè)小格都可以粘凸字形的頭，有頭朝上、頭朝下、頭朝左、頭朝右之分。所以，這類圖形有4×（3×4）=48（個(gè)）。由加法原理知，共有14+48=62種圖形。由于方格紙的每個(gè)小格都與另外一個(gè)小方格旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，所以，總的不同的圖形為62÷2=31（個(gè)）。14. 設(shè)n 是正整數(shù)。若從任意n個(gè)非負(fù)整數(shù)中一定能找到四個(gè)不同的數(shù) a, b,c,d 使得abcd 能被 20 整除,則n的最小值是多少?答案9解析存在8個(gè)數(shù)：0,1,2,4,7,12,20,40它們中的任何四個(gè)數(shù)都不滿足條件，所以，n的最小值大于或等于9.另一方面，對(duì)于任意9個(gè)非負(fù)整數(shù)，從中任取7個(gè)，它們的兩兩之和共有21個(gè)，這21個(gè)和數(shù)除以20的余數(shù)有21個(gè)。因?yàn)橛鄶?shù)最多有20個(gè)不同的值，所以有下述兩種情況之一發(fā)生：（1）有4個(gè)不同的數(shù)a, b, c, d使得a+