因式分解的一般步驟

1、    因式分解 因式分解（factorization） 因式分解指的是把一個多項式分解為幾個整式的積的形式，它是中學數(shù)學中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法而在競賽上，又有拆項和添項法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，輪換對稱法等 提公因式法 公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的. 提公因式法：一般

2、地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. ambmcmm（a+b+c） 具體方法：當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的. 運用公式法 平方差公式：. a2b2(ab)(ab) 完全平方公式： a2±2abb2(a±b)2 能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的

3、2倍. 立方和公式：a3+b3 (a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3-b3 (a-b)(a2+ab+b2). 完全立方公式： a3±3a2b3ab2±b3(a±b)3 an-bn=(a-b)a(n-1)+a(n-2)b+b(n-2)a+b(n-1) am+bm=(a+b)a(m-1)-a(m-2)b+-b(m-2)a+b(m-1)(m為奇數(shù)) 分組分解法 分組分解法：把一個多項式分組后，再進行分解因式的方法. 分組分解法必須有明確目的，即分組后，可以直接提公因式或運用公式. 拆項、補項法 拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或

4、幾項），使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形. 十字相乘法 x2（p q）xpq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的和.因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解： x2（p q）xpq（xp）（xq） kx2mxn型的式子的因式分解 如果能夠分解成kac，nbd，且有adbcm 時，那么 kx2mxn（ax b）（cx d） a -/b ack bdn c /-d adbcm 多項式因式分解的一般步驟： 如果多項式的各項有公因式，那么先提公因

5、式； 如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。 (6)應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x2+5x+6的一個因式。 經(jīng)典例題： 1.分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y

6、)-2x2(1+y2) =(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2 =(1+y)+x2(1-y)+2x·(1+y)+x2(1-y)-2x =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1) =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 2.證明：對于任何數(shù)x,y，下式的值都不會為33 x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5 解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) =x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y) =(x+3y)(x

7、4-5x2y2+4y4) =(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 當y=0時，原式=x5不等于33；當y不等于0時，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立 因式分解的十二種方法 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下： 1、 提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。 例1、 分解因式x3 -2x2 -x(2003淮安市中考題) x

8、3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1) 2、 應用公式法 由于分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b2 (2003南通市中考題) 解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b） 3、 分組分解法 要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，并提出公因式a，把它后兩項分成一組，并提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m2 +5n-mn-5m 解：m2+5n-mn-5m= m2-5m -mn+5n = (m

9、2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法 對于mx2 +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 對于那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。 例5、分解因式x2 +3x-40 解x2 +3x-40 =x2+3x+2.25-42.25 =(

10、x+1.5)2-(6.5)2 =(x+8)(x-5) 6、拆、添項法 可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 換元法 有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。 例7、分解因式2x4 -x3 -6x2 -x+2

11、解： 2x4 -x3 -6x2 -x+2 =2x4-2x2-2（2x2）-x3+x-2x+2 =2x2 （x2-1）- 2（2x2）- x（x2-1）-2（x-1) =（x2-1）(2x2-x)-2（2x2）- 2（x-1) =x(x2-1)(2x-1)-2(2x2+x-1) =x(x+1)(x-1)(2x-1)-2(2x-1)(x+1) =(2x-1)(x+1)x(x-1)-2 =(2x-1)(x+1)(x2-x-2) =(2x-1)(x+1)(x-2)(x+1) 或=(2x-1)(x-2)(x+1)2 8、 求根法 令多項式f(x)=0,求出其根為x1 ,x2 ,x3 ,xn ,則多項式可

12、因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )(x-xn ) 例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6 解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0 通過綜合除法可知，f(x)=0根為1/2 ，-3，-2，1 則2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 圖像法 令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖像，找到函數(shù)圖像與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )(x-xn ) 例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6

13、解：令y= x3 +2x2 -5x-6 作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2 則x3 +2x2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法 先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解。 例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將

14、質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 例11、分解因式x3 +9x2 +23x+15 解：令x=2，則x3 +9x2 +23x+15=8+36+46+15=105 將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7 注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值 則x3 +9x2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，驗證后的確如此。 12、待定系數(shù)法 首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。 例12

15、、分解因式x4 -x3 -5x2 -6x-4 分析：易知這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 解：設x4 -x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d) = x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd 所以 解得 則x4 -x3 -5x2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) 初學因式分解的“四個注意” 因式分解初見于九年義務教育三年制初中教材代數(shù)第二冊，在初二上學期講授，但它的內(nèi)容卻滲透于整個中學數(shù)學教材之中。學習它，既可以復習初一的整式四則運算，又為本冊下一章分式打好基礎；學好它，既可以培養(yǎng)學生的觀察、注意、

16、運算能力，又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。其中四個注意，則必須引起師生的高度重視。 因式分解中的四個注意散見于教材第5頁和第15頁，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”?，F(xiàn)舉數(shù)例，說明如下，供參考。 例1 把a2b22ab4分解因式。 解：a2b22ab4（a22abb24）（ab2）（ab2） 這里的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正的。防止學生出現(xiàn)諸如9x24y2（3x）2（2y）2（3x2y）（3x2y）（3x2y）（3x2y）的錯誤? 如例2 abc的三邊a、b、c有如下

17、關系式：c2a22ab2bc0，求證這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質(zhì)上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：c2a22ab2bc0，（ac）（ac）2b（ac）0，（ac）（a2bc）0 又a、b、c是abc的三條邊，a2bc0，ac0， 即ac，abc為等腰三角形。 例3把12x2yn18xn2yn16xnyn1分解因式。解：12x2nyn18xn2yn16xnyn16xnyn1（2xny3x2y21） 這里的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；這里的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉1。防止學生出現(xiàn)諸如6p（x1）38p2（x1）22p（1x）22p（x1）23（x1）4p2p（x1）2（3x4p3）的錯誤。 例4 在實數(shù)范圍內(nèi)把x45x26分解因式