《量子力學(xué)簡明教程》授課教案

1、量子力學(xué)電子教案楊子元編寶雞文理學(xué)院物理系一、簡單介紹量子力學(xué)在物理學(xué)中的地位與作用1物理學(xué)課程體系中，分為基礎(chǔ)課與專業(yè)課基礎(chǔ)課包括力、熱、光、電、原子物理專業(yè)課四大力學(xué)：理論、熱統(tǒng)、電動、量子力學(xué)2大學(xué)四年中所學(xué)所有課程大多為經(jīng)典物理（即十八、九世紀(jì)物理）只有在量子力學(xué)中才涉及近代物理的內(nèi)容3量子力學(xué)是從事物理教學(xué)及其研究中的一門基礎(chǔ)專業(yè)學(xué)科（講授意義）二、學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的幾個問題1 關(guān)于“概念”問題；量子力學(xué)中物理概念距離我們的生活越來越遠(yuǎn)，因此更加抽象。例“波函數(shù)”概念（與經(jīng)典概念比較，例“力”概念）2 克服經(jīng)典物理思想的束縛，防止用經(jīng)典物理方法解決量子力學(xué)問題。例：軌道概念在量子力學(xué)已拋

2、棄；不再成立，而用表示3必要的數(shù)學(xué)知識：偏微分方程，勒讓德多項(xiàng)式，貝塞爾函數(shù)，矩陣（尤其是矩陣的對角化），厄米多項(xiàng)式，傅里葉變換。三、教材與參考書1張懌慈 量子力學(xué)簡明教程 人民教育出版社2曾謹(jǐn)言 量子力學(xué)上、下冊 科學(xué)出版社3蔡建華 量子力學(xué)上、下冊 人民教育出版社4梁昆淼 物學(xué)物理方法 人民教育出版社5美玻姆 量子理論 商務(wù)印書館6大學(xué)物理（93.995.4） 量子力學(xué)自學(xué)輔導(dǎo)第一章 緒論量子力學(xué)是反映微觀粒子（分子、原子、原子核、基本核子等）運(yùn)動規(guī)律的基礎(chǔ)理論，它是本世紀(jì)二十年代總結(jié)大量事實(shí)和舊量子的基礎(chǔ)上建立起來的，它不僅是近代物理學(xué)的基礎(chǔ)，而且被廣泛的應(yīng)用于化學(xué)和電子學(xué)等領(lǐng)域。在介紹

3、量子力學(xué)之前，首先回顧一下量子力學(xué)產(chǎn)生的歷史過程。§1.1 經(jīng)典物理學(xué)的困難一、困難1687年，牛頓的劃時代巨著自然哲學(xué)的教學(xué)原理在倫敦出現(xiàn)。當(dāng)時，自然科學(xué)沒有完全從哲學(xué)分劃出來，而用了哲學(xué)這個名稱。牛頓經(jīng)典力學(xué)的主要內(nèi)容是它的三大定律，到了十九世紀(jì)末，二十世紀(jì)初牛頓建立的力學(xué)大廈遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了這三條定律，可以說整個經(jīng)典物理的大廈已竣工。機(jī)械運(yùn)動牛頓力學(xué)電磁現(xiàn)象麥?zhǔn)戏匠坦?學(xué)波動理論熱 學(xué)完整熱力學(xué)和玻耳茲曼和吉布斯建立的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)當(dāng)時物理學(xué)家非常自豪和得意，因?yàn)楫?dāng)時幾乎所有的新發(fā)現(xiàn)都能很好地套進(jìn)現(xiàn)有的模子中。然而正當(dāng)經(jīng)典物理大廈逐漸升高時，它龐大的軀體卻產(chǎn)生了兩大裂痕。其一是邁克爾遜莫

4、雷關(guān)于地球相對于以太漂移速度零的結(jié)果。經(jīng)典力學(xué)相對原理表明，力學(xué)規(guī)律在不同參照系中應(yīng)有相同形式S系 /系也就是說對一切力學(xué)現(xiàn)象而言，一切慣性系都是等價的。麥?zhǔn)想姶爬碚撝?，有一光速C（常數(shù)），在伽利略變換下，由麥?zhǔn)戏匠掏瞥龅牟▌臃匠痰男问揭l(fā)生變化。這就說明麥?zhǔn)侠碚撝荒軐σ惶厥饨^對靜止參照系成立，因此物理學(xué)家提出了以太這個模型，它是絕對透明充滿整個空間，物理學(xué)家企圖證明它的存在。但邁莫實(shí)驗(yàn)卻表明地球相對以太的速度是0，也就是說，以太是不存在的，而關(guān)于這一問題的成功解決導(dǎo)致了狹義相對論的建立。其二是黑體輻射、光電效應(yīng)、原子光譜線系以及固體在低溫下的比熱問題這些現(xiàn)象都無法用經(jīng)典理論得出完滿的解釋。關(guān)

5、于黑體輻射，光電效應(yīng)的研究使人們發(fā)現(xiàn)了光的波粒二象性。對原子光譜的研究則經(jīng)歷了一個艱難的過程，1900年普提出了量子假設(shè)，玻爾提出了一些新的假設(shè)企圖將這一現(xiàn)象納入經(jīng)典物理的框架內(nèi)，然而卻未成功（它只解決一些氫原子及類氫原子的光譜問題），量子力學(xué)就在這樣的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了。科學(xué)中沒有無源之流，量子力學(xué)是經(jīng)典力學(xué)智慧之子。二、量子力學(xué)發(fā)展概況1舊量子論階段（19001913）：玻爾為解決氫原子光譜的問題而提出氫原子的定態(tài)假設(shè)以及輻射躍遷假設(shè)；（從普朗克提出能量子到玻爾舊量子論階段）2量子力學(xué)建立階段（19241927）：從1924年德布羅意提出實(shí)物粒子同樣具有波粒二象性（德布羅意因此于1946年獲諾貝

6、物理學(xué)獎）三、量子力學(xué)的幾種表示形式1薛定諤的波動力學(xué)：用偏微分方程來表示：（它源于德布羅意的物質(zhì)波思想）2海森堡的矩陣力學(xué)：（在批判舊量子論基礎(chǔ)上建立起來的）3狄拉克表述（更普遍形式）§1-2 光的波粒二象性一、光的波動性1.光的干涉和衍射現(xiàn)象以及光的電磁理論從理論和實(shí)驗(yàn)兩個方面證明了光的波動性.大約在十七世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了光的波動性。 是通過S1狹縫到達(dá)P點(diǎn)的光波振動 是光通過S2狹縫到達(dá)P點(diǎn)的光波振動。光線S2P與S1P的光程差。光程差為一個時，位相差為2，所以光程差為時，位相差為，則E2=P點(diǎn)光強(qiáng)度P點(diǎn)的全振動 討論） 光強(qiáng)最強(qiáng)） 光強(qiáng)最弱 光的波動性已為實(shí)驗(yàn)事件和理論所支持，但黑體

7、輻射，光電效應(yīng)現(xiàn)象卻揭示了把光看為波動的局限性。二、光的粒子性1黑體輻射、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)顯示了光的粒子性2實(shí)驗(yàn)（1）黑體輻射問題所謂黑體：若一個物體能全部吸收投射在它上的輻射而無反射，這種物體就稱為黑體（這是一理想模型）例：一個開有小孔的空腔就是一個近似的黑體實(shí)驗(yàn)結(jié)果當(dāng)腔壁與空腔內(nèi)部的輻射在某一絕對溫度下達(dá)到熱平衡時，頻率在之間的輻射能量密度只與有關(guān)，與空腔的形狀和本身的性質(zhì)無關(guān)，即表示一普適函數(shù)，當(dāng)時雖不能寫出它的具體解析式，但許多物理學(xué)家還是力圖從經(jīng)典物理出發(fā)導(dǎo)出了其能譜分布公式，維恩（wien），瑞利金斯（Ray leighJeans），就是其中兩個物理學(xué)家。維恩公式它由熱力學(xué)方法

8、和一些假設(shè)得到 （C1，C2為常數(shù)）它在短波區(qū)域與實(shí)驗(yàn)符合，但在長波區(qū)域它與實(shí)驗(yàn)相差甚遠(yuǎn)。瑞利金斯公式由經(jīng)典電動力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理得出它在長波區(qū)域符合實(shí)驗(yàn)，在短波區(qū)域與實(shí)驗(yàn)相差甚遠(yuǎn)。普朗克假設(shè)與公式（1900年）（planck）a)假設(shè)：黑體以為能量單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為的輻射，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)地發(fā)射和吸收輻射能量，（為能量子）焦·秒b)公式k是波爾茲曼常數(shù) k=1.38054×10-23焦·度-1它是在假設(shè)基礎(chǔ)上，由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論和電磁理論導(dǎo)出：c)普朗克假設(shè)的意義）解決了黑體輻射問題）提出了與經(jīng)典物理概念相對應(yīng)的概念能量子）第一次揭示了微觀

9、物體與宏觀物體有著根本不同性質(zhì)，為揭示光的粒子性奠定了基礎(chǔ)。普提出假設(shè)后本應(yīng)進(jìn)一步確認(rèn)光的性質(zhì)，但由于形而上學(xué)思想的影響，也卻徒勞地把能量子假設(shè)納入經(jīng)典物理范疇，因而后來沒有對量子論的發(fā)展作出貢獻(xiàn)。（2）光電效應(yīng)光電效應(yīng)最早由赫茲（H.Herts）1888年發(fā)現(xiàn)，但當(dāng)時對其機(jī)制不十分清楚，直到電子由湯姆遜發(fā)現(xiàn)后，人們才認(rèn)識到它是由于紫外線照射在金屬表面，而大量電子從金屬表面逸出的結(jié)果。光電效應(yīng)現(xiàn)象最終由愛因斯坦解釋。a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果）只有當(dāng)光頻率大于某一定值時，才有光電子從金屬表面逸出，若小于某一值時，無論光強(qiáng)多大，照射時間多長，都沒有光電子產(chǎn)生。（紅限頻率存在，當(dāng)時，才發(fā)生光電效應(yīng)）光電子的能量

10、與光頻率有關(guān)，而與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)僅影響光電子的數(shù)目，光強(qiáng)愈大，光電子數(shù)目愈多。（光電子的能量與光強(qiáng)無關(guān)，僅與光頻率有關(guān)）當(dāng)入射光時，不管光多弱，只要光一照，即可觀測到光電子。（瞬時性）光電效應(yīng)是經(jīng)典理論無法解釋的，光的電磁理論表明，光能量決定于光強(qiáng)度而與頻率無關(guān)。b)愛因斯坦假設(shè)愛因斯坦在普朗克假設(shè)的基礎(chǔ)上第一次肯定了光除了波動性還具有粒子性，他認(rèn)為：電磁輻射不僅在發(fā)射和吸收時以能量為的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式的速度c在空間運(yùn)動，這種粒子叫光量子或光子。c)愛因斯坦方程為電子質(zhì)量，為電子逸出金屬表面后的速度。是電子脫離金屬表面所需要的功，叫脫出功。若，則有電子逸出，則無電子逸出d）光子的能

11、量與動量）能量 由相對論知以運(yùn)動的粒子能量，對光子，靜止光子質(zhì)量由相對論中能量與動量關(guān)系）光子動量（為波長，為波矢）與有機(jī)的將光的二重性波動與粒子性了解起來，E與P是描述粒子性的物理量，而與是描述波動性的物理量。1907年愛將能量不連續(xù)概念，用到固體原子的振動上去，成功地解釋了固體比熱在時趨于零的現(xiàn)象，這時，普關(guān)于能量不連續(xù)的概念，才引起人們的極大關(guān)注（參曾P8）（3）康普頓效應(yīng)（compton effect）光的粒子性在1923年的康普頓的散射實(shí)驗(yàn)中直接證實(shí)（參A.H.Compton.Phys.Rew,22（1923），409）a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)表明：高頻的X射線被輕元素中的電子散射后，波長隨

12、散射角的增加而增加。按經(jīng)典電幼力學(xué)，電磁波被散射后波長不發(fā)生改變，若將這個過程看作光子與電子的碰撞，就能得到完滿解釋。b)康普頓公式能量守恒碰前光子： ，電子 （靜能） ：電子靜止質(zhì)量。碰后光子電子 有 動量守恒碰前光子，電子P=0碰后光子 電子方向，= 方向： 聯(lián)立求解這表明光子經(jīng)電子散射后波長隨散射角變化這一結(jié)果由康普頓和吳有訓(xùn)實(shí)驗(yàn)證實(shí)三個結(jié)論：）普朗克與愛的理論揭示了光的微粒性與波動性；）光的粒子性由康普頓實(shí)驗(yàn)直接證實(shí)；）普愛理論中關(guān)于能量的不連續(xù)概念揭示了微觀粒子的本質(zhì)屬性。§13原子結(jié)構(gòu)的波爾理論普愛的光量子，實(shí)物粒子不連續(xù)性的概念，為解決物理學(xué)重大問題開辟了一條道路，當(dāng)時

13、正值盧瑟福原子“核模型”提出，而經(jīng)典物理與原子的穩(wěn)定性發(fā)生了尖銳的矛盾，玻爾把這種量子概念用到原子結(jié)構(gòu)問題上提出了他的量子論（1913）（N.Bohr, Phil, Mag, 26(1913),1）.他的理論最終被量子力學(xué)所代替，但他的理論在歷史上為量子力學(xué)的建立起過重大作用，而且他的核心思想到現(xiàn)在還是正確的。1氫原子光譜的巴耳末公式（Balmer） 它表明：氫原子光譜線是分立的線譜若光譜中有兩光譜，則必有，譜線，這叫并合原則，這些結(jié)果無法用經(jīng)典理論加以解釋。a）首先是原子的穩(wěn)定性問題b）線狀譜問題五、玻爾假設(shè)1°原子只能處于一些能量不連續(xù)的定態(tài)的概念，他提出原子的穩(wěn)定性狀態(tài)可能是某

14、些具有一定分立值（E1，E2）的狀態(tài)。他提出原子的量子化條件，電子角動量， n叫量子數(shù)，是整數(shù)，只有具有的電子才能處于穩(wěn)定狀態(tài)。玻爾僅考慮電子的圓軌道，即電子有一個自由度。索末菲（Sommerfeld）將玻爾的量子化條件推廣為，是電子廣義坐標(biāo)，p是廣義動量。2°量子躍遷的概念原子處于定態(tài)時不輻射，但由于某種原子可以從一個定態(tài)向量一定態(tài)躍遷同時吸收（或發(fā)射一個光子），光子的頻率是 （頻率條件）a)量子躍遷概念深刻反映了微觀粒子運(yùn)動的特性b)而頻率條件則揭示了并合原則的實(shí)質(zhì)3玻爾理論的局限性）玻爾理論只能解釋氫原子及類氫原子的光譜（即核外只有一個電子的原子或離子）即使是氫原子也只能求出頻

15、率，而不能求出譜線強(qiáng)度）玻爾理論的主要缺陷是把微觀粒子（電子，原子等）看作經(jīng)典力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)，經(jīng)典力學(xué)的質(zhì)點(diǎn)只有粒子性，而微觀粒子有不同于質(zhì)點(diǎn)的波粒二象性。§ 14 實(shí)物粒子的波粒二象性在前面我們已看到，由于經(jīng)典物理的困難和玻爾舊量子論的不徹底性，便迫使人們?nèi)ふ曳从澄⒂^世界規(guī)律的理論。舊量子論為新理論的建立創(chuàng)造條件，一方面，在光的本性研究中，人們發(fā)現(xiàn)了光的波粒二象性；另一方面玻爾討論原子中電子的穩(wěn)定狀態(tài)時，提出的量子條件實(shí)際上是把普朗克的能量子假設(shè)從簡單的諧振子移植到周圍運(yùn)動的電子上。這些現(xiàn)象便啟示了德國物理學(xué)家、哲學(xué)家、德布羅意（De·Broglie），使他認(rèn)識到在認(rèn)識光

16、學(xué)理論的缺陷只是考慮了光的波動性而忽視了光的粒子性（電子、原子）的理論是否會產(chǎn)生相反的錯誤，即實(shí)物粒子性而忽視了波動性。1德布羅意假設(shè)1924年，英國哲學(xué)雜志9月份上刊載了物理學(xué)家路易·德布羅意的文章。在文中他提出了自己的假設(shè)。假設(shè)：具有確定動量P和確定能量E的自由粒子，相當(dāng)于頻率為和波長為的平面波，二者之間的關(guān)系如同光子與光波的關(guān)系一樣，有 =這就是著名德氏關(guān)系式，這種表示自由粒子的平面波被稱為德布羅意波（物質(zhì)波）2德布羅意平面波方程（自由粒子平面波方程）自由粒子動量與能量都是常量，由德布羅意關(guān)系，與自由粒子了解的波，它的頻率（或波長）都是常量，因此它是平面波。在經(jīng)典力學(xué)中，頻率為

17、，沒正方向傳播的平面波的波動方程為在彈性波中表示質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置大小，在光波中表示電場或磁場的某一分量。沿單位向量傳播的平面波在新坐標(biāo)系，P是從原點(diǎn)指向波面的任一點(diǎn)的矢徑，由坐標(biāo)變換關(guān)系：在中 波矢：故寫成復(fù)數(shù)形式（1）是（1）的實(shí)部又= E= 該式稱為德布羅意波（或自由粒子為平面波）在量子力學(xué)中，自由粒子平面波不用實(shí)數(shù)形式，而用復(fù)數(shù)形式。（若用實(shí)數(shù)形式則無法得到薛定諤方程）在2、3節(jié)將解釋，這個波方程描述的是能量為E，動量為P的自由粒子的平面波方程。3德布羅意波長線度設(shè)自由粒子動能為E，速度遠(yuǎn)小于光速，則由若電子被V伏的電勢加壓，E=ev電子伏特若所以德布羅意波長在數(shù)量上相當(dāng)于晶體原子間距。它比宏觀線度要短得多。這也是實(shí)物粒子的波動性長期沒