線性代數(shù)與解析幾何：第4章 第1－2節(jié)n 維向量

1、第四章第四章 向量向量的線性相關(guān)的線性相關(guān)第一節(jié)第一節(jié) n維向量的概念維向量的概念第二節(jié)第二節(jié) 線性相關(guān)性線性相關(guān)性第三節(jié)第三節(jié) 等價向量組等價向量組第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)第五節(jié)第五節(jié) 基，維數(shù)，坐標基，維數(shù)，坐標由第二章知道n維向量維向量n n個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組第一節(jié)第一節(jié) n n維向量維向量前面知識復習1 n矩陣1 n矩陣列向量列向量行向量行向量1212,TTnna aab bb向量和相等對應分量都相等1iiabin 222,Tnnab abab的和和 120,0,0,TTnaaa向量稱為向量的向量零零負負- -12nkkkakaka向量 與數(shù)

2、 的數(shù)乘：， ，。 1 ; 2:; 30; 40; 5 1; 6; 7 k lklkkk 加法交換律:加法結(jié)合律 向向量量加加法法和和向向量量與與數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)乘乘運運算算規(guī)規(guī)律律 : : 8klkln維實向量空間 n所有 維實向量的集合1212 ,TnnnRa aaa aa為實數(shù)n維復向量空間 n所有 維復向量的集合12n12n ,z,zTnCz zz z為復數(shù)線性組合線性組合1212,ssnk kk 設(shè)是一組 維向量，是一組數(shù)，稱向量1122 sskkk1122,mmk kk 。為向量組其的一個線性組合中數(shù)也稱為組合系數(shù)。線性表示線性表示1212,mmnk kk 設(shè)都是 維向量，若存在數(shù)使得

3、, , 1122 mmkkk1212,mm 則稱可由或線稱是性表示組合的線性例如：例如：Rn 中的任一個n維向量 = ( x1, x2 , , xn ) 都是單位向量組的一個線性組合。 = x1e1 + x2e2 + + xnene1 = ( 1, 0, , 0), e2 = ( 0, 1, , 0), , en = ( 0, 0, , 1)n維單位向量組向向量量線線性性表表示示與與線線性性方方程程組組的的關(guān)關(guān)系系11 1121112212221121 1222221211nnm2 , mmmmnnnmmna xa xa xba xa xaxba xa xaaaamnaxbaa給定具有 個變量

4、的 個線性方程組成的方程組12122nnm, bmmaaba1bm線性方程組向量方程形式1 12 nnxxx212,m 可由線性表示11 11221121 1222221 122 mmmmnnnmmna xa xa xba xa xaxba xa xaxb有有解解向向量量線線性性表表示示與與線線性性方方程程組組的的關(guān)關(guān)系系12m向量可由向量線性表示, , , rank, rank,12m12m, , , , , , , , , , 12m向量由向量地線性表示, , , 惟惟一一rank, rank,=12m12m , , , , , , , , m向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量的線性相關(guān)與線性無

5、關(guān)線性相關(guān)線性無關(guān)1212:0,0 mmmnAk kkkkkA 12m12對于一個 維向量組，如果存在一組不全為 的數(shù) ，使得：，則稱向量。組線線,性性相相關(guān)關(guān), ,121200 mmmkkkkkkA12若當且僅當時，才有成立，。則稱向量組線線性性無無關(guān)關(guān)解：即：含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)的。證明：零向量的組合系數(shù)取為1，其他非零向量的組 合系數(shù)都取為零，則其線性組合為零向量，且組合系數(shù)不全為零。兩個非零向量 1 ， 2 線性相關(guān) 即 1 ， 2 對應坐標成比例 1 = k 2，(其中 k 0)解：即：討論向量組的線性相關(guān)性。 1= ( 1, 1, 1), 2= ( 2, 2, 2),

6、繼續(xù)討論向量組的線性相關(guān)性。 1= ( 1, 1, 1), 2= ( 2, 2, 2), 3= ( 2, 1, 2)， 4= ( 1, 2, 3), 5= ( 4, 5, 6)，結(jié)論：部分相關(guān)，整體相關(guān)。練習練習1：考察 n 維向量組 解：解： 設(shè)有一組數(shù)1，2， ，n。使得1e1 + 2e2 + + nen = 0即：( 1, 0, , 0 ) + ( 0, 2, , 0 ) + + ( 0, 0, , n )= (1，2， ，n ) = 0 1= 2 = = n = 0故 e1，e2， ，en 線性無關(guān)。稱 e1，e2， ，en 為 n 維單位向量組e1 = ( 1, 0, , 0), e

7、2 = ( 0, 1, , 0), , en = ( 0, 0, , 1)的線性相關(guān)性。練習練習 2: 討論向量組 1= ( 1, 1, 1), 2= ( 2, 0, 2), 3= ( 2, 1, 0)的線性相關(guān)性。 解：設(shè)有一組數(shù)1， 2， 3 , 使1 1 + 2 2 + 3 3 = 0即 ( 1+ 22 + 23 , 13 , 122 ) = (0, 0, 0)有1+ 22 + 23 = 01 3 = 0 1 22 = 0解得：3 = 11221取 1= 2 , 得非零解 1= 2， 2 = 1, 3 = 2所以，向量組 1, 2 , 3 線性相關(guān)。 1 僅僅含含一一個個向向量量 的的向

8、向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) = 0 2 含含有有零零向向量量的的向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān) 3至少 向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)有有一一個個向向量量可可由由其其他他 向向量量線線性性表表示示定理定理 4 部部分分向向量量線線性性向向量量組組線線性性向向相相關(guān)關(guān)相相關(guān)關(guān)無無關(guān)關(guān)量量組組線線性性任任意意部部分分向向無無關(guān)關(guān)量量線線性性證明證明證明證明12,m 向量線性相關(guān)121122,0mmmk kkkkk存在不全為零的數(shù)使證明定理(3)向向量量可可用用其其他他向向量量線線性性表表示示122 mmcc反之，若12210mmcc12,m 線線性性相相關(guān)關(guān)m1313212110kkkkkkkm，則有

9、不妨設(shè)證明定理(4)1212, ,mkkm 向量組，中部分向量，線性相關(guān)121122,0kkkc ccccc存在不全為零的 使11221000kkkmccc1212 ,0,0 , ,mkc cc 不全為零向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)12,.m 反之 若線性無關(guān) 如果它有某一個部分向量組線性整個向量組也必定線性相關(guān),所以,它它的的任任意意一一個個部部分分向向量量組組也也必必線線性性無無關(guān)關(guān)引起矛盾11121121222212, , TTnnTmmmnmn維維向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)11112121222212, ,TTrrTmmmrm個組線關(guān)組前前r分r分量量 r n成r n成的的向向量量也

10、也是是性性相相的的向向量量逆否命題逆否命題12,mn 若干 維向量組線性無關(guān)12 , , ,m所得向把每個向量任意添加個分量量后組線性無關(guān)s 12,m 向量組線性相關(guān)定理定理11220mm 方程有非零解12,mrankrm 12,m 向量組線性無關(guān)1 1220mm 方程 只有零解12,mrankm 推論推論 1212121 ,det,0det,0nnn 線性 無線性相關(guān)關(guān) 12 2,mmnn 當時, 維向量組必定線性相關(guān)證明證明12,mnm nm 矩陣只有 維 它的秩不會大于所以向量組線性無關(guān)12,mnpn 維向量組向量組 是矩陣 A12,m向量組AAA定理定理線性線性相關(guān)相關(guān)線性線性相關(guān)相關(guān)

11、線性線性無關(guān)無關(guān)線性線性無關(guān)無關(guān)證明證明證1212,mmc cc 若線性相關(guān)則存在不全為零的數(shù)使11220mmccc兩邊左乘矩陣A1122 0mmcccAAA12,m線關(guān)AAA性相121212(,),mmmAAA 若線性相關(guān)線性相關(guān) 引起矛盾線性無關(guān)原向量組成也必線性無關(guān)AAA2,m 向量可由向量組惟一地線性表示1 1定理定理222,mmrankramnk 1 11 122,mm 線性無關(guān)而線性相關(guān)1 11 1證證2,m 可由惟一線性表示1 1練習練習3: 設(shè) 1 = (1, 1, 1)， 2 = (1, 2, 3)， 3 = (1, 3, 6) 討論其線性相關(guān)性。解：解：= (0, 0, 0

12、)有: 因為111|12310136A 故 1, 2 , 3 線性無關(guān)。練習4向量組:已知321,133322211,123:,. 試證也線性無關(guān)證明:用定義，設(shè)1122330kkk ，則0)()()(133322211kkk0)()()(323212131kkkkkk,321線性無關(guān)線性無關(guān)，而000322131kkkkkk，而02110011101故只有零解.0321kkk.,321線性無關(guān)所以,向量組線性相關(guān)性的矩陣判定法向量組線性相關(guān)性的矩陣判定法則稱：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211為由向量組 1 ， 2 ， m 構(gòu)成的矩陣定義定義 2 = ( a21 a22

13、a2n ) , , m = ( am1 am2 amn )設(shè)有 m 個 n 維向量 1 = ( a11 a12 a1n ), m 21A定理定理 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211設(shè)有設(shè)有m個個n維向量維向量 1 = ( a11 a12 a1n ), 2 = ( a21 a22 a2n ) , , m = ( am1 am2 amn )則 1 ， 2 ， m 線性相關(guān) r(A) n ，則m個n維向量必線性相關(guān)。( 因為 r (A) min (m , n) = n m )推論推論3：n個n維向量 1 ， 2 ， n 線性相關(guān)n個n維向量 1 ， 2 ， n 線性無關(guān)m個n維

14、向量 1 ， 2 ， m線性無關(guān)r(A) = m| A | = 0，即A降秩| A | 0，即A滿秩例例 4 判定下列向量組是否線性相關(guān)(1) 1 = ( 1, 2, 1 ), 2 = (2, 1, 1) , 3 = (7, 4, 0)解： 由于047112121A而 | A | = 5 0，所以 1 , 2 , 3 線性無關(guān)。(2) 1 = ( 1, 3, 7 ), 2 = (2, 0, 6) , 3 = (3, 1, 1)， 4 = (2, 4, 5)解： 由于向量組的個數(shù)大于向量的維數(shù)，所以 1 , 2 , 3 , 4 線性相關(guān)。解：8363211413712Ar1 r28363371221141(3) 1 = ( 2, 1, 7, 3 ), 2 = (1, 4, 11, 2